河北省保定市学年高二上学期期末调研考试数学理试题.docx
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河北省保定市学年高二上学期期末调研考试数学理试题
河北省保定市2020-2021学年高二上学期期末调研考试数学
（理）试题
学校:
姓名：
班级：
考号：
一、单选题
■
1.已知复数Z满足士=i,则£=（）
1I.
-+-1
22
11.
-+-Z22
2
.命题“以＞0,都有的否定是（
3.下列命题中，不是真命题的是（）
A.命题“若山/〈加则。
＜b"的逆命题.
B.“必＞1”是“"1且/?
＞1"的必要条件.
C.命题''若/=9,则x=3”的否命题.
D.“x＞l”是“，＜1”的充分不必要条件.
4
.某工厂在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且a,b,C构成等差数列，则第二车间生产的产品数为（）
5.在一次数学测验中，统计7名学生的成绩分布茎叶图如下图所示，若这7名学生的
平均成绩为77分，则x的值为（）
704x89
801
6.执行如图所示的程序框图，如果输入n=3,输出的S=（）
7.下而的程序运行后第3个输出的数是（）
x心I
rx）
PRINTi
i…I
x=r+Vi
LOOPUNTILi>5
END
3
A.2B.—C.1
2
8.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下
的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
A.-B.g
32
9.若A，3为互斥事件，则（）
B.P（A）+P（B）<1
D.P（A）+P（B）>1
A.P（A）+P（B）<1
C.P（A）+P（B）=1
io.如图是函数y=/（x）的导函数,，=/'（好的图象，给出下列命题：
①-2是函数y=/（x）的极值点:
②1是函数y=/（x）的极值点;
③丁=fM的图象在％=o处切线的斜率小于零;
④函数y=fM在区间（-2,2）上单调递增.
A.①③B.②④C.②③D.@（4）
11.已知点P为双曲线卷一3=1（。
>0,6>0）的右支上一点，F〉尸2为双曲线的左、
右焦点，若（而+比）・（而-厄）=0（为坐标原点），且|两|=施|丽|，则双曲线的离心率为（）
12.设奇函数/（x）在R上存在导函数/'（X）,且在（0,+s）上/若/（I-⑼一/（〃7）2,口_m）3_〃力，则实数”的取值范围为（）
B.
22
D.[：
+oo）
二、填空题
13.对四个样本点（1,2.98）,（2,5.01）,（3,阳点（4,9）分析后,得到回归直线方程为y=2x+\,则样本点中〃？
的值为.
14.若/（■¥）=-；/+》111（工+2）在（-1,”）上是减函数,则/?
的取值范围是
15.在区间（0,1）内任取两个实数，则这两个实数的和大于1的概率为.
3
16.对于三次函数f[x}=ax3+hx2+cx+dS工0）,给出定义：
设f\x）是y=f（x）的导数，/"（X）是/'（X）的导数，若方程/'*）=。
有实数解％,则称点C%J（X。
））为函数y=/（x）的“拐点”.某同学经过探究发现：
任何一个三次函数都有“拐点”，任
何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数
三、解答题
17.设〃：
实数x满足/一44工+3/＜0,其中。
＞o；q：
实数x满足/_不一640.
（1）若，，=1,且〃八^7为真，求实数x的取值范围：
（2）若r是r，的充分不必要条件，求实数。
的取值范围.
18.某学校为了解该校教师对教工食堂的满意度情况，随机访问了50名教师.根据这50名教师对该食堂的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：
[40,50）,[50,60）,…，[80,90）,[90J00].
（1）求频率分布直方图中。
的值:
（2）从评分在［40,60）的受访教师中，随机抽取2人，求此2人的评分都在［50,60）的
概率.
22
19.已知椭圆C：
=+==1（。
＞。
＞0）的一个焦点尸与抛物线），2=4x的焦点重合,crb-
且截抛物线的准线所得弦长为3.
（1）求该椭圆。
的方程；
（2）若过点"（1,；）的直线/与椭圆C相交于4,B两点,且点M恰为弦的中点,求直线/的方程.
20.如图，四面体A3CQ中，0、E分别8。
、8c的中点，AB=AD=2＞
CA=CB=CD=BD=2五.
（I）求证：
AO_L平面BCD：
（ID求异面直线AO与8c所成角的余弦值的大小：
（III）求点。
到平面ABC的距离.
21.已知点M到点/（1,0）的距离比到轴的距离大1.
（1）求点M的轨迹。
的方程；
（2）设直线/：
x+2y-4=0,交轨迹C于A、B两点,。
为坐标原点，
试在轨迹。
的AQ8部分上求一点尸，使得AABP的面积最大，并求其最大值.
22.已知函数/（x）=x—（4+l）lnx,g（x）=--3（aeR）.
X
（1）令，7（X）=C（X）-g（X）,讨论函数力（X）的单调性：
（2）若对任意xe[Le],都有/（x）Ng（x）恒成立,求实数。
的取值范围.
参考答案
1.A
【解析】
a=b
设Z=a+bi（a,bwR）,则由已知有z+i=zi,4+S+l）i=—〃+3，所以，，解得b+\=a
1
Cl——
•2，所以z=故］=；+，，选A.
0*JJ乙乙
b=
2
2.B
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题，即得解.
【详解】
根据全称命题的否定是特称命题，
命题“Vx>0,都有Y—的否定是:
“t>0,使得/一%>0”
故选：
B
【点睛】
本题考查了全称命题的否定是特称命题，考查了学生概念理解的能力，属于基础题.
3.A
【解析】
命题“若则的逆命题为：
若acb,则加/，显然是错误的，当
m=0时则不成立，故A是假命题.
4.C
【分析】
根据等差数列的性质建立条件关系，利用分层抽样的定义即可得到结论.
【详解】
因为a,b,c成等差数列，所以2b=a+c,即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即为1200双皮靴.
故选：
C.
【点睛】
本题主要考查分层抽样的定义和方法，等差数列的定义和性质，属于基础题.
5.C
【解析】这7名学生的平均成绩等于:
70+74+70+X+78+79+80+81
x
=—+76=77=>x=7故选C7
【详解】试题分析：
由题意得，输出的为数列｛诙布而｝的前三项和，而
（2—+1，（n-向'故选B.
考点：
1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.
【名师点睛】
本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，属于容易题，解题过程中首先要弄清程序框图所表达的含义，解决循环结构的程序框图问题关键是列出每次循环后的变量取值情况,循环次数较多时，需总结规律，若循环次数较少可以全部列出.
7.A
【解析】
第一次：
i=l,x=l,第二次：
/=2/=工第三次：
，=3,工=2,故选A
8.C
【解析】
试题分析：
将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6
2
种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为二，选C.
【考点】古典概型
【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大，解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏，避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.
9.B
【解析】
因为A.B互斥，但A.B不一定对立，所以尸（A）+P（3）41
10.D
【解析】
根据导函数图像可知，-2是导函数得零点且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号不一致，。
处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，导函数在（-2,2）恒大等于零，故为函数的增区间，所以选D
点睛：
根据导函数和原函数的关系很容易分析单调性，然后要注意对极值点的理解，极值点除了是导函数得解还一定要保证在导函数值在此点两侧异号
11.B
【解析】
【详解】
由（而+瓯）•（而一瓯）=0可得|而|=|瓯|,
又|而|=|瓯|=c,
所以/PF]F2为直角三角形，
由|的卜丽利用勾股定理求出IPF2I=c,IPFJ=有c,
根据双曲线的定义有|PFj-IPF2I=2a,即於c—c=2a,c=（\/3+l）a,
所以双曲线的离心率e=£=巡+1,选B.a
12.D
【解析】
由/（I一6）一/（〃1）2-一〃/得：
/（I一〃7）——（1-/H）3>f（m）——〃?
’，构造
3L」33
函数g"）=/（X）—；/，g〈x）=r（x）—/<。
故g（x）在（0,一）单调递减,由函数“X）
为奇函数可得g（x）为奇函数，故g（x）在R上单调递减，故1一〃?
£〃?
=加之:
选口点睛：
本题解题关键为函数的构造，由要想到此条件给我们的作用，通常情况下是提示我们需要构造函数得到新函数的单调性，从而得不等式求解
13.7
【解析】
由回归直线一定过样本中心点可得：
无=2.5=y=6=〃?
=7
14.（f,-1]
【分析】
由题意得出广（“工。
对任意的xe（-1.欣）恒成立，利用参变量分离法得出b求出二次函数），=/+2工在区间（一1,一）上的值域，即可得出实数b的取值范围.
【详解】
/f（x）=-^x2+〃ln（x+2）,f\x）=-x+—^-^,
由于函数/（x）=—在（-1,+8）上是减函数，
2
则了（工）40对任意的xw（T+<»）恒成立,即上尸,得b«x（x+2）=炉+2x,人I4
♦・♦二次函数y=V+2x在区间（一L—）上为增函数,则），>（—l『+2x（—1）=-1,
因此，实数〃的取值范围是-
故答案为：
（f,7].
【点睛】
本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，一般转化为导数不等式在区间上恒成立，利用参变量分离法求解是一种常用的方法，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
15.12
18
【解析】
如图，由几何概型的定义知q33217
"一访—"18
16.2017
【解析】
由题可得：
g"（x）=2x—l,所以对称中心为（；，1）,设g（x）上任意一点P（±，x）,因为关于（；，1）对称，所以P关于其对称的对称点为尸’（不，力）在g（x）上，且
三=]_$，匕=2-凹所以g（X]）+g（l_%）=x+2_x=2,故+-2—
\ZU1o/\ZUic?
17.
（1）（1,3）；
（2）（0川.
【解析】
试题分析：
（1）根据题意先求出命题P和q的不等式解集，然后根据〃八9为真，则命题都
为真，求交集即可；
（2）若f是r，的充分不必要条件则「9u-1PX
解析：
（1）由X2—4ax+3a3<0得析一3a）由-a）<0,又a>0,所以a
当a=l时，1
由q为真时，实数x的范围是一2若pAq为真，则P真且q真，
所以实数x的取值范围是（1,3）.
（2）：
xWa或x23a,f：
x<-2或x>3,
a>-2
由r是r，的充分不必要条件，有（3。
43
a>0
得or，工>r,即a的取值范围为（o,i].
3
18.
（1）0.022：
（2）—.
10
【解析】
试题分析：
（1）根据频率分布直方图的性质可知各频率之和为1即可得a=O.O22;
（2）先计算出受访教师中评分在［50,60）的人数：
50X0.006X10=3（人），然后列出所有组合可能即可
解析：
（1）因为（0.004+0.006+0.018+aX2+0.028）X10=1,
所以a=0.022
⑵受访教师中评分在［50,60）的有：
50X0.006X10=3（人），记为
受访教师中评分在［40,50）的有：
50X0.004X10=2（人）,记为艮，B,…8分
从这5名受访教师中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{k,A：
},{k,&},（Ai,B），{Ai»B：
},{A：
»Ao：
{A：
＞Bi},{A：
B：
},{k,BJ,{As，Bj,{Bi,B』.
又因为所抽取2人的评分都在［50,60）的结果有3种，即血,A=},{A：
&},{%,&},故3
所求的概率为历.22
19.
（1）—+—=1；
（2）3x+2y-4=0.
43,
【解析】
试题分析：
（1）由已知条件求出，尸，从的值，得出椭圆的方程；
（2）由“点差法''求出直线
的斜率，由直线的点斜式求出直线方程。
试题解析：
（1）抛物线y:
=4x的焦点为F（1,0）,准线方程为x=-l,
-b2=l①，
又椭圆截抛物线的准线X二-1所得弦长为3,
319
.二口J得上而的交点为（-1，-），,--+n=1②
2cr4Zr
3
由①代入②得4b'-9b'-9=0»解得b"=3或b'=——（舍去），
4
22
从而aJb，l=4,J该椭圆的方程为二+二=1
43
（2）设A（%,%）,B（羯，%）,代入椭圆方程可得，
3xj+4yJ=12,3xj+4y/=12,
相减可得3（Xi-必）（xi+x2）+4（yx-y3）（%+yD=0,
由Xi+x:
=2,w+y：
=1,可得直线AB的斜率为———=；7=~~»
内一々4（弘+必）2
13.
即直线AB的方程为），一7=一5"-1），即为3乂+2丫-4=0.
20.（I）证明见解析：
（II）叵;（III）2疝.
47
【解析】
试题分析：
（1）由已知条件得出由计算得出4。
2+。
。
2=4。
2,得出
ZAOC=90,AO±OC,再由线而垂直的判定定理得出AO_L平面8C。
：
（2）以0为原点，如图建立空间直角坐标系，写出各点的坐标,求出高，沅的坐标，求出cos（而，祝）
的值为立，得出结果：
（3）求出平而ABC的一个法向量，由点到平面的距离公式算出结果。
4
试题解析：
（1）连接0C,•「BORO,AB=AD,AA01BD,
VB0=D0,BC=CD,AC0±BD>
/T_
在△AOC中，由题设知A0=&,CO=—x2>/2=x/6,AC=2^2，2
AA0=+C0:
=AC\AZA0C=90°,RPA0±0C,
VA01BD,BDA0C=0,••・AOJ_平面BCD；
（2）以0为原点，如图建立空间直角坐标系，
贝ijA（0,0,&）,B（右，0,0）,C（0,娓，0）,D（-6,0,0）,而=（一点,。
一应）,
的余弦值大小为立4
（3）解：
由
（2）知：
AB=,BC=>/2,>/6,oj.
设平而ABC的一个法向量为二（x,y,z）,则
令y=L得二（，b）
又而=（-点•••点D到平而ABC的距离h=1..1
21.
（1））J=4x,或y=O（xKO）
（2）（4,T）,32点
【解析】
试题分析：
（1）求轨迹方程可直接根据题意设点列等式化简即可或者根据我们所学的椭圆、双曲线、抛物线的定义取对比也行本题因为点M到点F（1,O）的距离比到y轴的距离大1,所以点V到点F（1,O）的距离等于它到直线m:
x=-l的距离由抛物线定义知道，点M的轨迹是以F为焦点，m为准线的抛物线或x轴负半轴；
（2）根据题意先分析如何使MBP的面积最大，可知当直线1的平行线与抛物线相切时4ABP的面积最大,然后根据点到线的距离公式求出高，弦长公式求出底，即得出而积
解析：
（1）因为点M到点F（1,O）的距离比到y轴的距离大1,所以点M到点F（1,O）的距离等于它到直线m：
x=-l的距离
由抛物线定义知道，点M的轨迹是以F为焦点，m为准线的抛物线或x轴负半轴设轨迹C的方程为：
y2=2px,g=\,
轨迹C方程为：
y2=4x,或y=0（/«0）.
（2）设A（Xi,yi）,B（x2,y3）,P（x0,y0）,
直线1化成斜截式为y=-Jx+2,当直线1的平行线与抛物线相切时AABP的面积最大,由图知P点在第四象限.抛物线在X轴下方的图象解析式：
），=/（力=一2«,所以
/'（玉））=一亡=一：
，解得%=4,尤=-4,所以P点坐标（4,T）,P点到1的距离
1-8+4-418
d=?
==一尸,A,B两点满足方程组，
x：
x2为该方程的根.所以司+占=24,4％=16
11.O
S*i8P=-=—x8>/10x-j==325/2
点睛：
本题解题关键在于要熟悉抛物线定义，然后第二问先要分析出什么时候可以使三角形面积达到最大，此题显然是与直线平行且与抛物线相切时，最后按照三角形而积公式一一求出所需条件即可
22.
（1）“40时，在。
+8）递增，（0,1）递减；”=1时，力（“在（0,+“）递增：
0<4<1时，人（力在（°，。
）和。
，内）递增，（。
』）递减：
01时，〃（力在（。
，1）和（凡丑°）
递增，（1,。
）递减；
（2）心"（"-21
G+1
【解析】试题分析：
（1）求出函数力。
）的解析式和定义域，求导，对实数。
分情况讨论得出单调性:
（2）若任意xw[l同，都有/（x）Ng（x）恒成立。
令h（x）=f（x）-g（x）,
只需/?
（1）而n^O即可，由
（1）中的单调性，求出力（X）的最小值，再求出。
的范围。
试题解析：
（1）解：
h（x）=f（x）-g（x）=x-（«+l）lnv--+3，定义域为（0,+8）
，/、a+1ax1-（a+\）x^a—
h（x）=1-+—=:
——「=,（x>0）
x厂厂厂
aWO时，力'
（1）>0得工>1;力'
（1）<0得O〈x所以h（x）在（1,-FOD）递增，（0,1）递减
机时，八,（加亨士。
’所以h⑸在。
S递增
0l;/?
'（X）〈O得a〈x〈L所以h（x）在（0,a）和（1,〜）递增，（a,1）递减
a>l时，〃'（X）>O得0a：
/?
'（X）〈O得l综上：
a<0时，h（x）在（1,+s）递增，（0,1）递减
a=l时，h（x）在（0,+s）递增
0a>l时,h（x）在（0,1）和（a,+«0）递增,（l,a）递减
（2）若任意xw[l,e],都有f（x）/g（x）恒成立,令h（x）=f（x）-g（x）,
只需h（x）.>0即可\/min
由⑴知，a<\时，h（x）在［1,0递增，/?
（x）m.n=h（l）=4-a>0,解得a44.又。
<1,
所以4W1，
e,所以C/W,l〈a〈e时，h（x）在[1,可递减，递增。
〃（工需=h（a）=a-（a+1）lna-l+3=a+2-（a+1）Ina>0
因为“（〃）=1-In^+—=-ln«-l<0,所以h（a）在（l,e）递减,所以
力（。
）>力（6）=1,则h（a）20恒成立，所以lat"‘十”）e+1
点造：
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，求闭区间上的最值，考查分类讨论思想,恒成立问题的转化等，属于中档题。
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