解一元二次方程课程教案.docx

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解一元二次方程课程教案

24.2　解一元二次方程

┃教学整体设计┃第1课时配方法

【教学目标】

1.使学生了解用配方法解一元二次方程的基本步骤.

2.使学生掌握用配方法解数字系数的一元二次方程.

3.理解配方法的含义与方法,认识“配方”是一种常用的数学方法.培养学生运用变形的思维方式来获得方程的解,培养学生的逻辑思维能力,体会转化的数学思想.

【重点难点】

重点：

用配方法解一元二次方程的步骤.

难点：

用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.

┃教学过程设计┃

　　教学过程

设计意图

　　一、创设情境,导入新课

问题1：

根据平方根的意义,解下列方程：

（1）x2＝4；　

（2）（x－3）2－9＝0.

师生活动：

教师引导学生根据平方根的意义解方程,完成解题过程.

问题2：

解方程x2＋2x＋1＝4.

师生活动：

教师引导学生观察方程的特征,学生进行解题.

　　教师引导学生根据一个正数的平方根有两个,它们互为相反数,从而可以将一个一元二次方程化为两个一元一次方程,使学生体会直接开平方法解方程的一般特征.

　　二、师生互动,探究新知

1.探究配方法.

问题1：

观察下面方程的解法,你有什么感受？

教师出示教材第37页“做一做”中方程的解法.

师生活动：

教师引导,学生观察得出方程转化的方法：

①将常数项移到方程的右边；②方程两边同时加上一次项系数一半的平方；③写成（x＋m）2＝n的形式；④直接开平方法求解.

问题2：

教师出示教材第37页“做一做”.

师生活动：

学生独立完成,教师巡回指导,关注程度偏差的学生.

问题3：

用配方法解方程2x2＋4x＋1＝0.

师生活动：

学生观察方程的特点,教师引导学生寻求方程之间的关系,从而解决问题.

问题4：

上述我们解方程的方法,是通过配方,把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方,另一边为常数,当常数为非负数时,利用开平方的方法求出一元二次方程的根,这种方法叫做解一元二次方程的配方法.你能总结一下配方法的一般步骤吗？

师生活动：

学生以小组的形式进行讨论,最后师生共同得出利用配方法解一元二次方程的一般步骤与特征.

2.例题讲解.

教师出示教材第37页例1.

师生活动：

学生独立完成,并选部分学生进行板演,然后师生共同关注解题的过程.

　通过问题设置,让学生感受配方法,体会配方的关键：

在方程两边同时加上一次项系数一半的平方.

　分层次的问题设置让学生在已有的基础上,独立完成问题,增强学生的自信心,符合学生的认知特点.

由于前面的铺垫,学生对配方法不再陌生,通过总结配方法的步骤,使知识得到了一个理性的升华.

　　三、运用新知,解决问题

教材第39页练习第1,2题.

师生活动：

学生独立完成并小组交流,教师巡回指导,学生完成后,交流用配方法解一元二次方程的步骤,方法.

　　在解题过程中,使学生对所学内容进行巩固,并体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性.

　　四、课堂小结,提炼观点

这节课你学习了什么知识？

有哪些收获？

　　由学生讨论、归纳总结,然后教师再做适当的补充.

　　五、布置作业,巩固提升

必做：

教材第39页A组第1题,第2题

（1）,

（2）.

选做：

教材第40页B组第1,2题.

┃教学小结┃

【板书设计】

配方法

一、直接开平方法

二、用配方法解一元二次方程的步骤：

1.整：

化一般式.

2.化：

二次项系数为1.

3.配：

方程两边同时加上一次项系数一半的平方.

4.解：

开平方法解方程.

【教学反思】

本节课的设计环环相扣,步步深入,使学生由简单的问题和已知的知识经验出发,通过一系列的分层次问题,自然过渡到本节课的重、难点上.

本节课在教学中最关键的是让学生掌握如何配方,配方的对象是含有未知数的二次三项式,其理论依据是完全平方式.配方的方法是通过添项：

加上一次项系数一半的平方构成完全平方式.

┃教学整体设计┃第2课时公式法

【教学目标】

1.理解求根公式的推导过程和根的判别式.通过求根公式的推导,培养学生数学推理的严密性及严谨性.

2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程.

【重点难点】

重点：

求根公式的推导及用公式法解一元二次方程.

难点：

对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解.

┃教学过程设计┃

　　教学过程

设计意图

　　一、创设情境,导入新课

用配方法解下列方程：

（1）6x2－7x＋1＝0；　　　

（2）9x2＝12x＋14.

解：

（1）移项,得6x2－7x＝－1.

二次项系数化为1,得x2－

x＝－

.

配方,得x2－

x＋（

）2＝－

＋（

）2.

即（x－

）2＝

.

两边开平方,得x－

＝±

所以x1＝

＋

＝

＝1,

x2＝－

＋

＝

＝

.

（2）略.

师生活动：

学生独立完成上述问题,师生共同复习回顾用配方法解一元二次方程的步骤.

　　巩固配方法解一元二次方程的步骤,既训练了解一元二次方程的技能,又为下面的求根公式的推导做好铺垫.

　　二、师生互动,探究新知

1.公式法解方程.

利用上述的配方法,我们能否求关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解.

对于这个一元二次方程,首先方程两边同时除以a,得x2＋

x＋

＝0.

将常数项移到方程的右边,得x2＋

x＝－

.

方程两边同时加上（

）2,得x2＋

x＋（

）2＝－

＋（

）2.

左边写成完全平方式,右边通分,得（x＋

）2＝

.

因为a≠0,所以4a2>0,则当b2－4ac≥0时,

方程两边直接开平方,得

x1＝

x2＝

.

师生活动：

让学生尝试独立完成,教师做好引导,特别对于基础薄弱的学生要关注他们的解题中存在的问题.让他们把方程中的a,b,c看成一个具体的数,这样会降低学生学习的难度.

问题1：

不解方程,判别下列方程根的情况.

（1）x2＋3x＋2＝0；　　　

（2）x2－4x＋4＝0；

（3）2x2－4x＋5＝0.

师生活动：

学生以小组为单位讨论,在讨论中,寻求解决问题的途径,体会根的判别式的作用.教师做好巡回指导,及时发现学生存在的问题,对于共性问题,集中进行点拨指导.

问题2：

根的判别式与一元二次方程的根的情况有什么关系？

师生活动：

学生以小组为单位进行讨论,然后师生共同总结,得出结论.

2.例题训练.

例1　用公式法解下列方程：

（1）2x2－4x－1＝0；　　　

（2）5x＋2＝3x2；

（3）（x－2）（3x－5）＝0;（4）4x2－3x＋1＝0.

师生活动：

由学生独立完成,教师做好指导.

　让学生在实践探索中总结规律,得出用公式法解一元二次方程的方法,激发学生自主学习的信心.

根据求根公式,进行判断,让学生意识到因为b2－4ac作为被开方数,它若是一个正数,则有两个平方根,即方程有两个不等的实数根；若是等于0,它的平方根就是0,即方程有两个相等的实数根；若是小于0,它就是没有平方根,即原方程无解.

通过小组合作,让学生在讨论中寻求知识间的关系,由特殊到一般,提升了学生的解题能力.

　　三、运用新知,解决问题

1.一般地,对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）,当b2＋4ac≥0时,它的根是____,当b2－4ac<0时,方程____.

2.用公式法解方程x2＝－8x－15,其中b2－4ac＝____,x1＝____,x2＝____.

3.不解方程,判断方程：

①x2＋3x＋7＝0；②x2＋4＝0；③x2＋x－1＝0中,有实数根的方程有____个.

4.若方程x2－4x＋a＝0的两根之差为0,则a的值为____.

师生活动：

学生独立完成后小组交流讨论,并汇报结果,此时教师做好点评工作,及时发现解题中的问题,及时解决.

　　通过学生交流合作学习,加深对所学知识的理解与运用.

　　四、课堂小结,提炼观点

通过本节课的学习,你收获了哪些知识？

你还有哪些疑问？

师生活动：

采用学生小结、教师补充的方式来概括本节课的知识.

　　学生小结可以考查学生对新知识的掌握,教师补充是在学生掌握基本的求根公式基础上对知识深度的拓展与延伸.

　　五、布置作业,巩固提升

必做：

教材第42页A组第1,2题.

选做：

教材第42页B组第1,2题.

　　体现了作业的层次性,又减轻了学生的学习负担.

┃教学小结┃

【板书设计】

公式法

一、回顾配方法

二、公式法推导

三、步骤

四、例题

五、课堂小结

【教学反思】

公式法是解一元二次方程的通法,是配方法的延续,它实际上是配方法的一般化和程式化,利用它可以更为简捷地解一元二次方程.在教学中,首先指导学生自主探索一元二次方程的求根公式,然后在师生共同的讨论中,得到求根公式,并利用公式解一些简单的数字系数的一元二次方程.

┃教学整体设计┃第3课时因式分解法

【教学目标】

1.应用因式分解法解一些一元二次方程.

2.能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法.

【重点难点】

重点：

应用因式分解法解一元二次方程.

难点：

灵活应用各种因式分解的方法解一元二次方程.

┃教学过程设计┃

　　教学过程

设计意图

　　一、创设情境,导入新课

出示背景材料：

如果把一个物体以10m/s的速度竖直上抛,那么经过xs物体离地面的高度为10x－4.9x2.

问题：

你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？

师生活动：

学生交流讨论并进行汇报（大多用配方法或公式法）.

师设问：

除配方法或公式法外,能否找到更为简单的方法解方程？

今天我们来学习解一元二次方程的又一个方法.

　　用现实的背景材料营造学习氛围,用挑战性的问题激发探究欲望.

　　二、师生互动,探究新知

1.探究因式分解法.

活动1：

解下列方程,从中你能发现什么新的方法？

（1）2x2－4x＝0；　　

（2）x2－4＝0.

师生活动：

学生讨论后回答,在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法,感受因式分解的作用以及解方程的依据.

归纳：

利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.

活动2：

用因式分解法解方程x2＋2x－15＝0.

解：

原方程可变形为（x＋5）（x－3）＝0.

得x＋5＝0,或x－3＝0.

∴x1＝－5,x2＝3.

师生活动：

教师板演,学生回答,总结因式分解的步骤：

（1）方程化为一般形式；

（2）方程左边因式分解；（3）至少一个一次因式等于0,得到两个一元一次方程；（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解.

2.应用因式分解法.

（1）解下列方程：

①x（x－2）＋x－2＝0；

②5x2－2x－

＝x2－2x＋

.

问题：

你能用其他方法解这两个方程吗？

比较一下各种解法.（学生板演过程）

师生活动：

学生板演过程,教师个别辅导.

（2）用因式分解法解一元二次方程的优点是什么？

怎样的方程适用因式分解法？

师生活动：

学生用因式分解法解出情景引入问题,并汇报,教师巡回指导.

（3）解方程时,如何选用合适的方法？

说明：

当方程一边为含有未知数的完全平方式,另一边为非负数时,可用直接开平方法；如果一元二次方程缺少常数项,或方程的右边为0,左边很容易分解因式,可考虑用因式分解法；当一元二次方程的二次项系数为1,一次项的系数是偶数时,可考虑使用配方法；如果用以上几种方法都不易求解或者给出的是一元二次方程的一般形式时,可考虑用公式法求解.

让学生养成提炼解题思路,归纳解题步骤的能力,体验转化、降次的数学思想方法.

尝试比较各种解法的异同,使学生明确各种方程解法的优缺点.及时巩固所学知识,并对学生的表现给予及时评价,增强学生学习的信心.

　　三、运用新知,解决问题

用合适的方法解方程：

（1）x2－3x＝18；　

（2）3y（y－1）＝2－2y.

师生活动：

学生独立选择方法,并针对方法谈自己的认识,使学生解题能力得以提高.

　　四、课堂小结,提炼观点

通过本节课的学习,你学到了哪些知识？

学生畅谈本节课的收获和体会.

　　五、布置作业,巩固提升

必做：

教材第44页A组第2,3题.

选做：

教材第44页B组第1,2题.

　　让学生复习所有的解法,尝试比较各种解法的异同,从而体会因式分解法的简便之处.

┃教学小结┃

【板书设计】

因式分解法

一、因式分解法　　三、应用

二、步骤　　　　　四、巩固练习

【教学反思】

本节课根据学生已有的因式分解知识,让学生转化成x（x－a）＝0,x2－a2＝0的特殊一元二次方程,因此,教材将此方法作为解决问题的特殊方法给出,在探索过程中,借助了ab＝0,则a＝0或b＝0让学生感到了这一解法的合理性,学会接受也很容易,并在授课过程中锻炼培养了学生学数学用数学的良好习惯,同时在课堂中锻炼了学生的归纳概括能力和语言表达能力,对数学基本功作了巩固和提高.