五年级举一反三 第2627讲 最小公倍数.docx
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五年级举一反三第2627讲最小公倍数
第二十六周最小公倍数
(一)
专题简析:
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个公倍数,叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b],当(a、b)=1时,[a、b]=a×b。
两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系:
最大公约数×最小公倍数=两数的乘积
即(a、b)×[a、b]=a×b
要解答求最小公倍数的问题,关键要根据题目中的已知条件,对问题作全面的分析,若要求的数对已知条件来说,是处于被除数的地位,通过就是求最小公倍数,解题时要避免和最大公约数问题混淆。
例题1两个数的最大公约数是15,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少?
分析根据“两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”可先求出这两个数的乘积,再把这个积分解成两个数。
根据题意:
当a1b1分别是1和6时,a、b分别为15×1=15,15×6=90;当a1b1分别是2和3时,a、b分别为15×2=20,15×3=45。
所以,这两个数是15和90或者30和45。
练习一
1,两个数的最大公约数是9,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少?
2,两个数的最大公约数是12,最小公倍数是60,求这两个数的和是多少?
3,两个数的最大公约数是60,最小公倍数是720,其中一个数是180,另一个数是多少?
例题2两个自然数的积是360,最小公倍数是120,这两个数各是多少?
分析我们把这两个自然数称为甲数和乙数。
因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公约数与最小公倍数的积。
根据这一规律,我们可以求出这两个数的最大公约数是360÷120=3。
又因为(甲÷3=a,乙÷3=b)中,3×a×b=120,a和b一定是互质数,所以,a和b可以是1和40,也可以是5和8。
当a和b是1和40时,所求的数是3×1=3和3×40=120;当a和b是5和8时,所求的数是3×5=15和3×8=24。
练习二
1,求36和24的最大公约数和最小公倍数的乘积。
2,已知两个数的积是3072,最大公约数是16,求这两个数。
3,已知两个数的最大公约数是13,最小公倍数是78,求这两个数的差。
例题3甲、乙、丙三人是朋友,他们每隔不同天数到图书馆去一次。
甲3天去一次,乙4天去一次,丙5天去一次。
有一天,他们三人恰好在图书馆相会,问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会?
分析从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会,相隔的天数应该是3、4、5的最小公倍数。
因为3、4、5的最小公倍数是60,所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。
练习三
1,1路、2路和5路车都从东站发车,1路车每隔10分钟发一辆,2路车每隔15分钟发一辆,而5路车每隔20分钟发一辆。
当这三种路线的车同时发车后,至少要过多少分钟又这三种路线的车同时发车?
2,甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步,甲跑一圈用120秒,乙跑一圈用80秒,丙跑一圈用100秒。
问:
再过多少时间三人第二次同时从起点出发?
3,五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷,二班的同学每6天去看一次,三班的同学每两周去看一次。
如果“六一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷,那么,再过多少天他们三个班的同学再次同一天去张爷爷家?
例题4一块砖长20厘米,宽12厘米,厚6厘米。
要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块?
分析把若干个长方体叠成正方体,它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。
现在要求长方体砖块最少,它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数,求出正方体棱长后,再根据正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。
练习四
1,用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体,至少需要用这样的长方体多少块?
2,有200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块,要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体,这个正方体的体积是多少立方厘米?
3,一个长方体长2.7米、宽1.8分米、高1.5分米,要把它切成大小相等的正方体小块,不许有剩余,这些小正方体的棱长最多是多少分米?
例题5甲每秒跑3米,乙每秒跑4米,丙每秒跑2米,三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步,经过多少时间三人又同时从出发点出发?
分析甲跑一圈需要600÷3=200秒,乙跑一圈需要600÷4=150秒,丙跑一圈需要600÷2=300秒。
要使三人再次从出发点一齐出发,经过的时间一定是200、150和300的最小公倍数。
200、150和300的最小公倍数是600,所以,经过600秒后三人又同时从出发点出发。
练习五
1,有一条长400米的环形跑道,甲、乙二人同时同地出发,反向而行,1分钟后第一次相遇;若二人同时同地出发,同向而行,则10分钟后第一次相遇。
已知甲比乙快,求二人的速度。
2,一环形跑道长240米,甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行,甲每秒行8米,乙每秒行6米,丙每秒行5米。
至少经过几分钟,三人再次从原出发点同时出发?
3,甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步,甲每秒跑4米,乙每秒跑5米,丙每秒跑3米。
若三人同时从一端出发,再经过多少时间三人又从此处同时出发?
第二十七周最小公倍数
(二)
专题简析:
最小公倍数的应用题,解题方法比较独特。
当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时,我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法,使问题转换成已知数的最小公倍数,从而求出结果。
例题1有一个自然数,被10除余7,被7除余4,被4除余1。
这个自然数最小是多少?
分析根据已知条件可知,假如把这个自然数增加3,所得的数就正好能被10、7和4这三个数整除,即10、7和4的最小公倍数,然后再减去3就能得到所求的数了。
[10,7,4]=140
140-3=137
即:
这个自然数最小是137。
练习一
1,学校六年级有若干个同学排队做操,如果3人一行余2人,7人一行余2人,11人一行也余2人。
六年级最少多少人?
2,一个数能被3、5、7整除,但被11除余1。
这个数最小是多少?
3,一袋糖,平均分给15个小朋友或20个小朋友后,最后都余下5块。
这袋糖至少有多少块?
例题2有一批水果,总数在1000个以内。
如果每24个装一箱,最后一箱差2个;如果每28个装一箱,最后一箱还差2个;如果每32个装一箱,最后一箱只有30个。
这批水果共有多少个?
分析根据题意可知,这批水果再增加2个后,每24个装一箱,每28个装一箱或每32个装一箱都能装整箱数,也就是说,只要把这批水果增加2个,就正好是24、28和32的公倍数。
我们可以先求出24、28和32的最小公倍数672,再根据“总数在1000以内”确定水果总数。
[24,28,32]=672
672-2=670(个)
即:
这批水果共有670个。
练习二
1,一所学校的同学排队做操,排成14行、16行、18行都正好能成长方形,这所学校至少有多少人?
2,有一批乒乓球,总数在1000个以内。
4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。
这批乒乓球到底有多少个?
3,食堂买回一些油,用甲种桶装最后一桶少3千克,用乙种桶装最后一桶只装了半桶油,用丙种桶装最后一桶少7千克。
如果甲种桶每桶能装8千克,乙种桶每桶能装10千克,丙种桶每桶能装12千克,那么,食堂至少买回多少千克油?
例题3一盒围棋子,4颗4颗数多3颗,6颗6颗数多5颗,15颗15颗数多14颗,这盒棋子在150至200颗之间,问共有多少颗?
分析由已知条件可知:
这盒棋子只要增加1颗,就正好是4、6、15的公倍数。
换句话说,这盒棋子比4、6、15的最小公倍数少1。
我们可以先求4、6、15的最小公倍数,然后再根据“这盒棋子在150至200颗之间”这一条件找出这盒棋子数。
4、6、15的最小公倍数是60。
60×3-1=179颗,即这盒棋子共179颗。
练习三
1,有一批树苗,9棵一捆多7棵,10棵一捆多8棵,12棵一捆多10棵。
这批树苗数在150至200之间,求共有多少棵树苗。
2,五
(1)班的五十多位同学去大扫除,平均分成4组多2人,平均分成5组多3人。
请你算一算,五
(1)班有多少位同学?
3,有一批水果,每箱放30个则多20个,每箱放35个则少10个。
这批水果至少有多少个?
例题4从学校到少年宫的这段公路上,一共有37根电线杆,原来每两根电线杆之间相距50米,现在要改成每两根之间相距60米,除两端两根不需移动外,中途还有多少根不必移动?
分析从学校到少年宫的这段路长50×(37-1)=1800米,从路的一端开始,是50和60的公倍数处的那一根就不必移动。
因为50和60的最小公倍数是300,所以,从第一根开始,每隔300米就有一根不必移动。
1800÷300=6,就是6根不必移动。
去掉最后一根,中途共有5根不必移动。
练习四
1,插一排红旗共26面。
原来每两面之间的距离是4米,现在改为5米。
如果起点一面不移动,还可以有几面不移动?
2,一行小树苗,从第一棵到最后一棵的距离是90米。
原来每隔2米植一棵树,由于小树长大了,必须改为每隔5米植一棵。
如果两端不算,中间有几棵不必移动?
3,学校开运动会,在400米环形跑道边每隔16米插一面彩旗,一共插了25面。
后来增加了一些彩旗,就把彩旗间隔缩短了,起点彩旗不动,重新插完后发现一共有5面彩旗没动。
问:
现在彩旗的间隔是多少米?
例题5在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记,分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。
如果沿这三种标记把木棍锯断,木棍总共被锯成多少段?
分析因为10、12和15的最小公倍数是60,所以,设这根木棍长60厘米。
三种颜色的标记分别把木棍分成的小段长是60÷10=厘米,60÷12=5厘米,60÷15=4厘米。
因为5和6的最小公倍数是30,所以红黄两种标记重复的地方有60÷30-1=1处,另两种情况分别有2处和4处。
因此,木棍总共被锯成(10+12+15-2)-1-2-4=28段。
练习五
1,用红笔在一根木棍上做了三次记号,第一次把木棍分成12等份,第二次把棍分成15等份,第三次把木棍分成20等份,然后沿着这些红记号把木棍锯开,一共锯成多少小段?
2,父子二人在雪地散步,父亲在前,每步80厘米,儿子在后,每步60厘米。
在120米内一共留下多少个脚印?
3,在96米长的距离内挂红、绿、黄三种颜色的气球,绿气球每隔6米挂一个,黄气球每隔4米挂一个,。
如果绿气球和黄气球重叠的地方就改挂一个红气球,那么,除两端外,中间挂有多少个红气球?