初中数学因式分解专题训练及答案解析.docx
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初中数学因式分解专题训练及答案解析
七年级下数学因式分解专题训练
一．选择题〔共13小题〕
1．以下因式分解错误的选项是〔 〕
A．
x2﹣y2=〔x+y〕〔x﹣y〕
B．
x2+6x+9=〔x+3〕2
C．
x2+xy=x〔x+y〕
D．
x2+y2=〔x+y〕2
2．把x2+3x+c分解因式得：
x2+3x+c=〔x+1〕〔x+2〕，那么c的值为〔 〕
A．
2
B．
3
C．
﹣2
D．
﹣3
3．一次课堂练习，王莉同学做了如下4道分解因式题，你认为王莉做得不够完好的一题是〔 〕
A．
x3﹣x=x〔x2﹣1〕
B．
x2﹣2xy+y2=〔x﹣y〕2
C．
x2y﹣xy2=xy〔x﹣y〕
D．
x2﹣y2=〔x﹣y〕〔x+y〕
4．以下各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为〔 〕
A．
a〔x+y〕=ax+ay
B．
x2﹣4x+4=x〔x﹣4〕+4
C．
10x2﹣5x=5x〔2x﹣1〕
D．
x2﹣16+3x=〔x﹣4〕〔x+4〕+3x
5．以下多项式能分解因式的是〔 〕
A．
x2﹣y
B．
x2+1
C．
x2+xy+y2
D．
x2﹣4x+4
6．以下分解因式正确的选项是〔 〕
A．
3x2﹣6x=x〔3x﹣6〕
B．
﹣a2+b2=〔b+a〕〔b﹣a〕
C．
4x2﹣y2=〔4x+y〕〔4x﹣y〕
D．
4x2﹣2xy+y2=〔2x﹣y〕2
7．以下多项式中，能用公式法分解因式的是〔 〕
A．
x2﹣xy
B．
x2+xy
C．
x2﹣y2
D．
x2+y2
8．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，以下结果中正确的选项是〔 〕
A．
a〔x﹣2〕2
B．
a〔x+2〕2
C．
a〔x﹣4〕2
D．
a〔x+2〕〔x﹣2〕
9．以下因式分解错误的选项是〔 〕
A．
x2﹣y2=〔x+y〕〔x﹣y〕
B．
x2+y2=〔x+y〕〔x+y〕
C．
x2﹣xy+xz﹣yz=〔x﹣y〕〔x+z〕
D．
x2﹣3x﹣10=〔x+2〕〔x﹣5〕
10．a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，那么△ABC的形状是〔 〕
A．
等腰三角形
B．
直角三角形
C．
等腰三角形或直角三角形
D．
等腰直角三角形
11．任何一个正整数n都可以进展这样的分解：
n=s×t〔s，t是正整数，且s≤t〕，假如p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最正确分解，并规定：
F〔n〕=
．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F〔18〕=
=
．给出以下关于F〔n〕的说法：
〔1〕F〔2〕=
；〔2〕F〔24〕=
；〔3〕F〔27〕=3；〔4〕假设n是一个完全平方数，那么F〔n〕=1．其中正确说法的个数是〔 〕
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
12．〔﹣8〕2006+〔﹣8〕2005能被以下数整除的是〔 〕
A．
3
B．
5
C．
7
D．
9
13．假如x2+x﹣1=0，那么代数式x3+2x2﹣7的值为〔 〕
A．
6
B．
8
C．
﹣6
D．
﹣8
二．填空题〔共12小题〕
14．假设x2+4x+4=〔x+2〕〔x+n〕，那么n= _________ ．
15．多项式ax2﹣4a与多项式x2﹣4x+4的公因式是 _________ ．
16．因式分解：
ax2y+axy2= _________ ．
17．计算：
9xy•〔﹣
x2y〕= _________ ；分解因式：
2x〔a﹣2〕+3y〔2﹣a〕= _________ ．
18．假设|m﹣4|+〔
﹣5〕2=0，将mx2﹣ny2分解因式为 _________ ．
19．因式分解：
〔2x+1〕2﹣x2= _________ ．
20．分解因式：
a3﹣ab2= _________ ．
21．分解因式：
a3﹣10a2+25a= _________ ．
22．因式分解：
9x2﹣y2﹣4y﹣4= _________ ．
23．在实数范围内分解因式：
x2+x﹣1= _________ ．
24．P=3xy﹣8x+1，Q=x﹣2xy﹣2，当x≠0时，3P﹣2Q=7恒成立，那么y的值为 _________ ．
25．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解〞法产生的密码，方便记忆．原理是：
如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是〔x﹣y〕〔x+y〕〔x2+y2〕，假设取x=9，y=9时，那么各个因式的值是：
〔x﹣y〕=0，〔x+y〕=18，〔x2+y2〕=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3﹣xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是：
_________ 〔写出一个即可〕．
三．解答题〔共5小题〕
26．化简：
〔a﹣b〕〔a+b〕2﹣〔a+b〕〔a﹣b〕2+2b〔a2+b2〕
27．因式分解：
x2〔y2﹣1〕+2x〔y2﹣1〕+〔y2﹣1〕．
28．在实数范围内分解因式：
．
29．计算：
1﹣a﹣a〔1﹣a〕﹣a〔1﹣a〕2﹣a〔1﹣a〕3﹣…﹣a〔1﹣a〕2000﹣[〔1﹣a〕2001﹣3]
30．为进一步落实?
中华人民共和国民办教育促进法?
，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育开展基金会，其中一局部作为奖金发给了n所民办学校．奖金分配方案如下：
首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩〔假设工作业绩均不一样〕从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金
元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校．
〔1〕请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；
〔2〕设第k所民办学校所得到的奖金为ak元〔1≤k≤n〕，试用k、n和b表示ak〔不必证明〕；
〔3〕比拟ak和ak+1的大小〔k=1，2，…，n﹣1〕，并解释此结果关于奖金分配原那么的实际意义．
七年级下数学因式分解专题训练
参考答案与试题解析
一．选择题〔共13小题〕
1．以下因式分解错误的选项是〔 〕
A．
x2﹣y2=〔x+y〕〔x﹣y〕
B．
x2+6x+9=〔x+3〕2
C．
x2+xy=x〔x+y〕
D．
x2+y2=〔x+y〕2
考点：
因式分解的意义．1117103
分析：
根据公式特点判断，然后利用排除法求解．
解答：
解：
A、是平方差公式，正确；
B、是完全平方公式，正确；
C、是提公因式法，正确；
D、两平方项同号，因此不能分解，错误；
应选D．
点评：
此题主要考察了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需纯熟掌握．
2．把x2+3x+c分解因式得：
x2+3x+c=〔x+1〕〔x+2〕，那么c的值为〔 〕
A．
2
B．
3
C．
﹣2
D．
﹣3
考点：
因式分解的意义．1117103
分析：
根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把〔x+1〕〔x+2〕利用乘法公式展开即可求解．
解答：
解：
∵〔x+1〕〔x+2〕=x2+2x+x+2=x2+3x+2，
∴c=2．
应选A．
点评：
此题主要考察了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．
3．一次课堂练习，王莉同学做了如下4道分解因式题，你认为王莉做得不够完好的一题是〔 〕
A．
x3﹣x=x〔x2﹣1〕
B．
x2﹣2xy+y2=〔x﹣y〕2
C．
x2y﹣xy2=xy〔x﹣y〕
D．
x2﹣y2=〔x﹣y〕〔x+y〕
考点：
因式分解的意义．1117103
分析：
要找出“做得不够完好的一题〞，本质是选出分解因式不正确的一题，只有选项A：
x3﹣x=x〔x2﹣1〕没有分解完．
解答：
解：
A、分解不彻底还可以继续分解：
x3﹣x=x〔x2﹣1〕=x〔x+1〕〔x﹣1〕，
B、C、D正确．应选A．
点评：
因式分解要彻底，直至分解到不能再分解为止．
4．以下各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为〔 〕
A．
a〔x+y〕=ax+ay
B．
x2﹣4x+4=x〔x﹣4〕+4
C．
10x2﹣5x=5x〔2x﹣1〕
D．
x2﹣16+3x=〔x﹣4〕〔x+4〕+3x
考点：
因式分解的意义．1117103
分析：
根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
解答：
解：
A、是多项式乘法，错误；
B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=〔x﹣2〕2，错误；
C、提公因式法，正确；
D、右边不是积的形式，错误；
应选C．
点评：
这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
5．以下多项式能分解因式的是〔 〕
A．
x2﹣y
B．
x2+1
C．
x2+xy+y2
D．
x2﹣4x+4
考点：
因式分解的意义．1117103
分析：
根据多项式特点结合公式特征判断．
解答：
解：
A、不能提公因式也不能运用公式，故本选项错误；
B、同号不能运用平方差公式，故本选项错误；
C、不符合完全平方公式，应该是x2+2xy+y2，故本选项错误；
D、符合完全平方公式，正确；
应选D．
点评：
此题主要考察了公式法分解因式的公式构造特点的记忆，熟记公式是解题的关键．
6．以下分解因式正确的选项是〔 〕
A．
3x2﹣6x=x〔3x﹣6〕
B．
﹣a2+b2=〔b+a〕〔b﹣a〕
C．
4x2﹣y2=〔4x+y〕〔4x﹣y〕
D．
4x2﹣2xy+y2=〔2x﹣y〕2
考点：
因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．1117103
专题：
计算题．
分析：
根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，并根据提取公因式法，利用平方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：
解：
A、3x2﹣6x=3x〔x﹣2〕，故本选项错误；
B、﹣a2+b2=〔b+a〕〔b﹣a〕，故本选项正确；
C、4x2﹣y2=〔2x+y〕〔2x﹣y〕，故本选项错误；
D、4x2﹣2xy+y2不能分解因式，故本选项错误．
应选B．
点评：
此题主要考察了因式分解的定义，熟记常用的提公因式法，运用公式法分解因式的方法是解题的关键．
7．以下多项式中，能用公式法分解因式的是〔 〕
A．
x2﹣xy
B．
x2+xy
C．
x2﹣y2
D．
x2+y2
考点：
因式分解-运用公式法．1117103
分析：
能用平方差公式进展因式分解的式子的特点是：
两个平方项，符号相反；
能用完全平方公式法进展因式分解的式子的特点是：
两个平方项的符号一样，另一项为哪一项两底数积的2倍．
解答：
解：
A、x2﹣xy只能提公因式分解因式，应选项错误；
B、x2+xy只能提公因式分解因式，应选项错误；
C、x2﹣y2能用平方差公式进展因式分解，应选项正确；
D、x2+y2不能继续分解因式，应选项错误．
应选C．
点评：
此题考察用公式法进展因式分解．能用公式法进展因式分解的式子的特点需识记．
8．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，以下结果中正确的选项是〔 〕
A．
a〔x﹣2〕2
B．
a〔x+2〕2
C．
a〔x﹣4〕2
D．
a〔x+2〕〔x﹣2〕
考点：
提公因式法与公式法的综合运用．1117103
分析：
先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．
解答：
解：
ax2﹣4ax+4a，
=a〔x2﹣4x+4〕，
=a〔x﹣2〕2．
应选A．
点评：
此题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底．
9．以下因式分解错误的选项是〔 〕
A．
x2﹣y2=〔x+y〕〔x﹣y〕
B．
x2+y2=〔x+y〕〔x+y〕
C．
x2﹣xy+xz﹣yz=〔x﹣y〕〔x+z〕
D．
x2﹣3x﹣10=〔x+2〕〔x﹣5〕
考点：
因式分解-十字相乘法等；因式分解的意义；因式分解-分组分解法．1117103
分析：
根据公式法分解因式特点判断，然后利用排除法求解．
解答：
解：
A、x2﹣y2=〔x+y〕〔x﹣y〕，是平方差公式，正确；
B、x2+y2，两平方项同号，不能运用平方差公式，错误；
C、x2﹣xy+xz﹣yz=〔x﹣y〕〔x+z〕，是分组分解法，正确；
D、x2﹣3x﹣10=〔x+2〕〔x﹣5〕，是十字相乘法，正确．
应选B．
点评：
此题考察了公式法、分组分解法、十字相乘法分解因式，纯熟掌握分解因式各种方法的特点对分解因式非常重要．
10．a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，那么△ABC的形状是〔 〕
A．
等腰三角形
B．
直角三角形
C．
等腰三角形或直角三角形
D．
等腰直角三角形
考点：
因式分解的应用．1117103
专题：
因式分解．
分析：
把所给的等式a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2能进展因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．
解答：
解：
∵a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，
∴a3﹣b3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2=0，
〔a3﹣a2b〕+〔ab2﹣b3〕﹣〔ac2﹣bc2〕=0，
a2〔a﹣b〕+b2〔a﹣b〕﹣c2〔a﹣b〕=0，
〔a﹣b〕〔a2+b2﹣c2〕=0，
所以a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0．
所以a=b或a2+b2=c2．
故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．
应选C．
点评：
此题考察了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的关键．
11．任何一个正整数n都可以进展这样的分解：
n=s×t〔s，t是正整数，且s≤t〕，假如p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最正确分解，并规定：
F〔n〕=
．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F〔18〕=
=
．给出以下关于F〔n〕的说法：
〔1〕F〔2〕=
；〔2〕F〔24〕=
；〔3〕F〔27〕=3；〔4〕假设n是一个完全平方数，那么F〔n〕=1．其中正确说法的个数是〔 〕
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
因式分解的应用．1117103
专题：
新定义．
分析：
把2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否与所给结果一样．
解答：
解：
∵2=1×2，
∴F〔2〕=
是正确的；
∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，这几种分解中4和6的差的绝对值最小，
∴F〔24〕=
=
，故〔2〕是错误的；
∵27=1×27=3×9，其中3和9的绝对值较小，又3＜9，
∴F〔27〕=
，故〔3〕是错误的；
∵n是一个完全平方数，
∴n能分解成两个相等的数，那么F〔n〕=1，故〔4〕是正确的．
∴正确的有〔1〕，〔4〕．
应选B．
点评：
此题考察题目信息获取才能，解决此题的关键是理解此题的定义：
所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，F〔n〕=
〔p≤q〕．
12．〔﹣8〕2006+〔﹣8〕2005能被以下数整除的是〔 〕
A．
3
B．
5
C．
7
D．
9
考点：
因式分解的应用．1117103
分析：
根据乘方的性质，提取公因式〔﹣8〕2005，整理即可得到是7的倍数，所以能被7整除．
解答：
解：
〔﹣8〕2006+〔﹣8〕2005，
=〔﹣8〕〔﹣8〕2005+〔﹣8〕2005，
=〔﹣8+1〕〔﹣8〕2005，
=﹣7×〔﹣8〕2005
=7×82005．
所以能被7整除．
应选C．
点评：
此题考察提公因式法分解因式，关键在于提取公因式，然后再对所剩的因数进展计算．
13．假如x2+x﹣1=0，那么代数式x3+2x2﹣7的值为〔 〕
A．
6
B．
8
C．
﹣6
D．
﹣8
考点：
因式分解的应用．1117103
专题：
整体思想．
分析：
由x2+x﹣1=0得x2+x=1，然后把它的值整体代入所求代数式，求值即可．
解答：
解：
由x2+x﹣1=0得x2+x=1，
∴x3+2x2﹣7=x3+x2+x2﹣7，
=x〔x2+x〕+x2﹣7，
=x+x2﹣7，
=1﹣7，
=﹣6．
应选C．
点评：
此题考察提公因式法分解因式，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式x2+x的值，然后利用“整体代入法〞求代数式的值．
二．填空题〔共12小题〕
14．假设x2+4x+4=〔x+2〕〔x+n〕，那么n= 2 ．
考点：
因式分解的意义．1117103
专题：
计算题．
分析：
根据因式分解与整式的乘法是互逆运算，把等式右边展开后根据对应项系数相等列式求解即可．
解答：
解：
∵〔x+2〕〔x+n〕=x2+〔n+2〕x+2n，
∴n+2=4，2n=4，
解得n=2．
点评：
此题主要利用因式分解与整式的乘法是互逆运算．
15．多项式ax2﹣4a与多项式x2﹣4x+4的公因式是 x﹣2 ．
考点：
公因式．1117103
分析：
分别将多项式ax2﹣4a与多项式x2﹣4x+4进展因式分解，再寻找他们的公因式．
解答：
解：
∵ax2﹣4a=a〔x2﹣4〕=a〔x+2〕〔x﹣2〕，
x2﹣4x+4=〔x﹣2〕2，
∴多项式ax2﹣4a与多项式x2﹣4x+4的公因式是x﹣2．
点评：
此题主要考察公因式确实定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．
16．因式分解：
ax2y+axy2= axy〔x+y〕 ．
考点：
因式分解-提公因式法．1117103
分析：
确定公因式为axy，然后提取公因式即可．
解答：
解：
ax2y+axy2=axy〔x+y〕．
点评：
此题考察了提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
17．计算：
9xy•〔﹣
x2y〕= ﹣3x3y2 ；分解因式：
2x〔a﹣2〕+3y〔2﹣a〕= 〔a﹣2〕〔2x﹣3y〕 ．
考点：
因式分解-提公因式法；单项式乘多项式．1117103
专题：
因式分解．
分析：
〔1〕根据单项式与单项式相乘，把他们的系数，一样字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式，计算即可．〔2〕直接提取公因式〔a﹣2〕即可．
解答：
解：
9xy•〔﹣
x2y〕=﹣
×9•x2•x•y•y=﹣3x3y2，
2x〔a﹣2〕+3y〔2﹣a〕=〔a﹣2〕〔2x﹣3y〕，
故答案分别为：
﹣3x3y2，〔a﹣2〕〔2x﹣3y〕．
点评：
〔1〕此题考察了单项式与单项式相乘，纯熟掌握运算法那么是解题的关键．〔2〕此题考察了提公因式法分解因式，解答此题的关键把〔a﹣y〕看作一个整体，利用整体思想进展因式分解．
18．假设|m﹣4|+〔
﹣5〕2=0，将mx2﹣ny2分解因式为 〔2x+5y〕〔2x﹣5y〕 ．
考点：
因式分解-运用公式法；非负数的性质：
绝对值；非负数的性质：
偶次方．1117103
分析：
先根据绝对值非负数，平方数非负数的性质列式求出m、n的值分别是4和25，然后代入多项式，再利用平方差公式进展因式分解即可．
解答：
解：
|m﹣4|+〔
﹣5〕2=0
∴m﹣4=0，
﹣5=0，
解得：
m=4，n=25，
∴mx2﹣ny2，
=4x2﹣25y2，
=〔2x+5y〕〔2x﹣5y〕．
点评：
此题主要考察利用平方差公式分解因式，根据非负数的性质求出m、n的值是解题的关键．
19．因式分解：
〔2x+1〕2﹣x2= 〔3x+1〕〔x+1〕 ．
考点：
因式分解-运用公式法．1117103
分析：
直接运用平方差公式分解因式，两项平方的差等于这两项的和与这两项的差的积．
解答：
解：
〔2x+1〕2﹣x2，
=〔2x+1+x〕〔2x+1﹣x〕，
=〔3x+1〕〔x+1〕．
点评：
此题主要考察平方差公式分解因式，熟记公式构造是解题的关键，此题难点在于把〔2x+1〕看作一个整体．
20．分解因式：
a3﹣ab2= a〔a+b〕〔a﹣b〕 ．
考点：
提公因式法与公式法的综合运用．1117103
分析：
观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
解答：
解：
a3﹣ab2=a〔a2﹣b2〕=a〔a+b〕〔a﹣b〕．
点评：
此题是一道典型的中考题型的因式分解：
先提取公因式，然后再应用一次公式．
此题考点：
因式分解〔提取公因式法、应用公式法〕．
21．分解因式：
a3﹣10a2+25a= a〔a﹣5〕2 ．
考点：
提公因式法与公式法的综合运用．1117103
分析：
先提取公因式a，再利用完全平方公式继续分解．
解答：
解：
a3﹣10a2+25a，
=a〔a2﹣10a+25〕，〔提取公因式〕
=a〔a﹣5〕2．〔完全平方公式〕
点评：
此题考察了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后可以利用完全平方公式继续进展二次分解，分解因式一定要彻底．
22．因式分解：
9x2﹣y2﹣4y﹣4= 〔3x+y+2〕〔3x﹣y﹣2〕 ．
考点：
因式分解-分组分解法．1117103
分析：
此题可用分组分解法进展分解，可以将后三项分为一组，即可写成平方差的形
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