初中数学竞赛专题辅导因式分解一.docx

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初中数学竞赛专题辅导因式分解一

因式分解

　　多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

　　1．运用公式法

　　在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；

　　（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

　　（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．

　　下面再补充几个常用的公式：

　　（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；

　　（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；

　　（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n为正整数；

　　（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n为偶数；

　　（9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1），其中n为奇数．

　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

　　例1分解因式：

（1）-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；

（2）x3-8y3-z3-6xyz；

　　（3）a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；

　　（4）a7-a5b2+a2b5-b7．

　　解

（1）原式=-2xn-1yn（x4n-2x2ny2+y4）

　　　　　　　=-2xn-1yn[（x2n）2-2x2ny2+（y2）2]

　　　　　　　=-2xn-1yn（x2n-y2）2

　　　　　　　=-2xn-1yn（xn-y）2（xn+y）2．

（2）原式=x3+（-2y）3+（-z）3-3x（-2y）（-Z）

　　　　　=（x-2y-z）（x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz）．

　　（3）原式=（a2-2ab+b2）+（-2bc+2ca）+c2

　　　　　＝（a-b）2+2c（a-b）+c2

　　　　　=（a-b+c）2．

　　本小题可以稍加变形，直接使用公式（5），解法如下：

　　原式=a2+（-b）2+c2+2（-b）c+2ca+2a（-b）

　　　　=（a-b+c）2

　　（4）原式=（a7-a5b2）+（a2b5-b7）

　　　　　=a5（a2-b2）+b5（a2-b2）

　　　　　=（a2-b2）（a5+b5）

　　　　　=（a+b）（a-b）（a+b）（a4-a3b+a2b2-ab3+b4）

　　　　　=（a+b）2（a-b）（a4-a3b+a2b2-ab3+b4）

　　例2分解因式：

a3+b3+c3-3abc．

　　本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式（6）．

　　分析我们已经知道公式

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

　　的正确性，现将此公式变形为

a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）．

　　这个

式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．

　　解原式=（a+b）3-3ab（a+b）+c3-3abc

　　　　　=［（a+b）3+c3］-3ab（a+b+c）

　　　　　=（a+b+c）［（a+b）2-c（a+b）+c2]-3ab（a+b+c）

　　　　　=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）．

　　说明公式（6）是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：

我们将公式（6）变形为

　　a3+b3+c3-3abc

　　显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．

　　如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有

　　等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．

　　例3分解因式：

x15+x14+x13+…+x2+x+1．

　　分析这个多项式的特点是：

有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解．

　　解因为

　　x16-1=（x-1）（x15+x14+x13+…x2+x+1），

　　所以

　　说明在本题的分解过程中，用到先乘以（x-1），再除以（x-1）的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．

　　2．拆项、添项法

　　因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

　　例4分解因式：

x3-9x+8．

　　分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．

　　解法1将常数项8拆成-1+9．

　　原式=x3-9x-1+9

　　　　=（x3-1）-9x+9

　　　　=（x-1）（x2+x+1）-9（x-1）

　　　　=（x-1）（x2+x-8）．

　　解法2将一次项-9x拆成-x-8x．

　　原式=x3-x-8x+8

　　　　=（x3-x）+（-8x+8）

　　　　=x（x+1）（x-1）-8（x-1）

　　　　=（x-1）（x2+x-8）．

　　解法3将三次项x3拆成9x3-8x3．

　　原式=9x3-8x3-9x+8

　　　　=（9x3-9x）+（-8x3+8）

　　　　=9x（x+1）（x-1）-8（x-1）（x2+x+1）

　　　　=（x-1）（x2+x-8）．

　　解法4添加两项-x2+x2．

　　原式=x3-9x+8

　　　　=x3-x2+x2-9x+8

　　　　=x2（x-1）+（x-8）（x-1）

　　　　=（x-1）（x2+x-8）．

　　说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．

　　例5分解因式：

（1）x9+x6+x3-3；

（2）（m2-1）（n2-1）+4mn；

　　（3）（x+1）4+（x2-1）2+（x-1）4；

　　（4）a3b-ab3+a2+b2+1．

　　解

（1）将-3拆成-1-1-1．

　　原式=x9+x6+x3-1-1-1

　　　　=（x9-1）+（x6-1）+（x3-1）

　　　　=（x3-1）（x6+x3+1）+（x3-1）（x3+1）+（x3-1）

　　　　=（x3-1）（x6+2x3+3）

　　　　=（x-1）（x2+x+1）（x6+2x3+3）．

（2）将4mn拆成2mn+2mn．

　　原式=（m2-1）（n2-1）+2mn+2mn

　　　　=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn

　　　　=（m2n2+2mn+1）-（m2-2mn+n2）

　　　　=（mn+1）2-（m-n）2

　　　　=（mn+m-n+1）（mn-m+n+1）．

　　（3）将（x2-1）2拆成2（x2-1）2-（x2-1）2．

　　原式=（x+1）4+2（x2-1）2-（x2-1）2+（x-1）4

　　　　=［（x+1）4+2（x+1）2（x-1）2+（x-1）4]-（x2-1）2

　　　　=［（x+1）2+（x-1）2]2-（x2-1）2

　　　　=（2x2+2）2-（x2-1）2=（3x2+1）（x2+3）．

　　（4）添加两项+ab-ab．

　　原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab

　　　　=（a3b-ab3）+（a2-ab）+（ab+b2+1）

　　　　=ab（a+b）（a-b）+a（a-b）+（ab+b2+1）

　　　　=a（a-b）［b（a+b）+1]+（ab+b2+1）

　　　　=[a（a-b）+1]（ab+b2+1）

　　　　=（a2-ab+1）（b2+ab+1）．

　　说明（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．

　　3．换元法

　　换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

　　例6分解因式：

（x2+x+1）（x2+x+2）-12．

　　分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．

　　解设x2+x=y，则

　　原式=（y+1）（y+2）-12=y2+3y-10

　　　　=（y-2）（y+5）=（x2+x-2）（x2+x+5）

　　　　=（x-1）（x+2）（x2+x+5）．

　　说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．

　　例7分解因式：

（x2+3x+2）（4x2+8x+3）-90．

　　分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．

　　解原式=（x+1）（x+2）（2x+1）（2x+3）-90

　　　　　=[（x+1）（2x+3）][（x+2）（2x+1）]-90

　　　　　=（2x2+5x+3）（2x2+5x+2）-90．

　　令y=2x2+5x+2，则

　　原式=y（y+1）-90=y2+y-90

　　　　=（y+10）（y-9）

　　　　=（2x2+5x+12）（2x2+5x-7）

　　　　=（2x2+5x+12）（2x+7）（x-1）．

　　说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元（y）的基础．

　　例8分解因式：

（x2+4x+8）2+3x（x2+4x+8）+2x2．

　　解设x2+4x+8=y，则

　　原式=y2+3xy+2x2=（y+2x）（y+x）

　　　　=（x2+6x+8）（x2+5x+8）

　　　　=（x+2）（x+4）（x2+5x+8）．

　　说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．

　　例9分解因式：

6x4+7x3-36x2-7x+6．

　　解法1原式=6（x4+1）＋7x（x2-1）-36x2

　　　　　　　=6［（x4-2x2+1）+2x2］+7x（x2-1）-36x2

　　　　　　　=6[（x2-1）2+2x2]+7x（x2-1）-36x2

　　　　　　　=6（x2-1）2+7x（x2-1）-24x2

　　　　　　　=[2（x2-1）-3x］［3（x2-1）+8x]

　　　　　　　=（2x2-3x-2）（3x2+8x-3）

　　　　　　　=（2x+1）（x-2）（3x-1）（x+3）．

　　说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．

　　解法2

　　原式=x2[6（t2+2）+7t-36]

　　　　=x2（6t2+7t-24）=x2（2t-3）（3t+8）

　　　　=x2[2（x-1/x）-3][3（x-1/x）+8]

　　　　=（2x2-3x-2）（3x2+8x-3）

　　　　=（2x+1）（x-2）（3x-1）（x+3）．

　　例10分解因式：

（x2+xy+y2）-4xy（x2+y2）．

　　分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．

　　解原式=[（x+y）2-xy]2-4xy[（x+y）2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则

　　原式=（u2-v）2-4v（u2-2v）

　　　　=u4-6u2v+9v2

　　　　=（u2-3v）2

　　　　=（x2+2xy+y2-3xy）2

　　　　=（x2-xy+y2）2．

练习一

　　1．分解因式：

（2）x10+x5-2；

　　（4）（x5+x4+x3+x2+x+1）2-x5．

　　2．分解因式：

（1）x3+3x2-4；

（2）x4-11x2y2+y2；

　　（3）x3+9x2+26x+24；

　　（4）x4-12x+323．

　　3．分解因式：

（1）（2x2-3x+1）2-22x2+33x-1；

（2）x4+7x3+14x2+7x+1；

　　（3）（x+y）3+2xy（1-x-y）-1；

　　（4）（x+3）（x2-1）（x+5）-20．

第一讲因式分解

（一）

　　多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

　　1．运用公式法

　　在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；

　　（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

　　（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．

　　下面再补充几个常用的公式：

　　（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；

　　（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；

　　（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n为正整数；

　　（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n为偶数；

　　（9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1），其中n为奇数．

　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

　　例1分解因式：

（1）-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；

（2）x3-8y3-z3-6xyz；

　　（3）a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；

　　（4）a7-a5b2+a2b5-b7．

　　解

（1）原式=-2xn-1yn（x4n-2x2ny2+y4）

　　　　　　　=-2xn-1yn[（x2n）2-2x2ny2+（y2）2]

　　　　　　　=-2xn-1yn（x2n-y2）2

　　　　　　　=-2xn-1yn（xn-y）2（xn+y）2．

（2）原式=x3+（-2y）3+（-z）3-3x（-2y）（-Z）

　　　　　=（x-2y-z）（x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz）．

　　（3）原式=（a2-2ab+b2）+（-2bc+2ca）+c2

　　　　　＝（a-b）2+2c（a-b）+c2

　　　　　=（a-b+c）2．

　　本小题可以稍加变形，直接使用公式（5），解法如下：

　　原式=a2+（-b）2+c2+2（-b）c+2ca+2a（-b）

　　　　=（a-b+c）2

　　（4）原式=（a7-a5b2）+（a2b5-b7）

　　　　　=a5（a2-b2）+b5（a2-b2）

　　　　　=（a2-b2）（a5+b5）

　　　　　=（a+b）（a-b）（a+b）（a4-a3b+a2b2-ab3+b4）

　　　　　=（a+b）2（a-b）（a4-a3b+a2b2-ab3+b4）

　　例2分解因式：

a3+b3+c3-3abc．

　　本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式（6）．

　　分析我们已经知道公式

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

　　的正确性，现将此公式变形为

a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）．

　　这个

式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．

　　解原式=（a+b）3-3ab（a+b）+c3-3abc

　　　　　=［（a+b）3+c3］-3ab（a+b+c）

　　　　　=（a+b+c）［（a+b）2-c（a+b）+c2]-3ab（a+b+c）

　　　　　=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）．

　　说明公式（6）是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：

我们将公式（6）变形为

　　a3+b3+c3-3abc

　　显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．

　　如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有

　　等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．

　　例3分解因式：

x15+x14+x13+…+x2+x+1．

　　分析这个多项式的特点是：

有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解．

　　解因为

　　x16-1=（x-1）（x15+x14+x13+…x2+x+1），

　　所以

　　说明在本题的分解过程中，用到先乘以（x-1），再除以（x-1）的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．

　　2．拆项、添项法

　　因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

　　例4分解因式：

x3-9x+8．

　　分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．

　　解法1将常数项8拆成-1+9．

　　原式=x3-9x-1+9

　　　　=（x3-1）-9x+9

　　　　=（x-1）（x2+x+1）-9（x-1）

　　　　=（x-1）（x2+x-8）．

　　解法2将一次项-9x拆成-x-8x．

　　原式=x3-x-8x+8

　　　　=（x3-x）+（-8x+8）

　　　　=x（x+1）（x-1）-8（x-1）

　　　　=（x-1）（x2+x-8）．

　　解法3将三次项x3拆成9x3-8x3．

　　原式=9x3-8x3-9x+8

　　　　=（9x3-9x）+（-8x3+8）

　　　　=9x（x+1）（x-1）-8（x-1）（x2+x+1）

　　　　=（x-1）（x2+x-8）．

　　解法4添加两项-x2+x2．

　　原式=x3-9x+8

　　　　=x3-x2+x2-9x+8

　　　　=x2（x-1）+（x-8）（x-1）

　　　　=（x-1）（x2+x-8）．

　　说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．

　　例5分解因式：

（1）x9+x6+x3-3；

（2）（m2-1）（n2-1）+4mn；

　　（3）（x+1）4+（x2-1）2+（x-1）4；

　　（4）a3b-ab3+a2+b2+1．

　　解

（1）将-3拆成-1-1-1．

　　原式=x9+x6+x3-1-1-1

　　　　=（x9-1）+（x6-1）+（x3-1）

　　　　=（x3-1）（x6+x3+1）+（x3-1）（x3+1）+（x3-1）

　　　　=（x3-1）（x6+2x3+3）

　　　　=（x-1）（x2+x+1）（x6+2x3+3）．

（2）将4mn拆成2mn+2mn．

　　原式=（m2-1）（n2-1）+2mn+2mn

　　　　=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn

　　　　=（m2n2+2mn+1）-（m2-2mn+n2）

　　　　=（mn+1）2-（m-n）2

　　　　=（mn+m-n+1）（mn-m+n+1）．

　　（3）将（x2-1）2拆成2（x2-1）2-（x2-1）2．

　　原式=（x+1）4+2（x2-1）2-（x2-1）2+（x-1）4

　　　　=［（x+1）4+2（x+1）2（x-1）2+（x-1）4]-（x2-1）2

　　　　=［（x+1）2+（x-1）2]2-（x2-1）2

　　　　=（2x2+2）2-（x2-1）2=（3x2+1）（x2+3）．

　　（4）添加两项+ab-ab．

　　原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab

　　　　=（a3b-ab3）+（a2-ab）+（ab+b2+1）

　　　　=ab（a+b）（a-b）+a（a-b）+（ab+b2+1）

　　　　=a（a-b）［b（a+b）+1]+（ab+b2+1）

　　　　=[a（a-b）+1]（ab+b2+1）

　　　　=（a2-ab+1）（b2+ab+1）．

　　说明（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．

　　3．换元法

　　换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

　　例6分解因式：

（x2+x+1）（x2+x+2）-12．

　　分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．

　　解设x2+x=y，则

　　原式=（y+1）（y+2）-12=y2+3y-10

　　　　=（y-2）（y+5）=（x2+x-2）（x2+x+5）

　　　　=（x-1）（x+2）（x2+x+5）．

　　说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．

　　例7分解因