A．（0，＋∞）B．（2，＋∞）C．（－∞，2）D．（4，＋∞）
考点 三种函数模型增长的差异
题点 三种函数模型增长速度的差异
答案 D
3．某物体一天中的温度T（单位：
℃）是时间t（单位：
h）的函数：
T（t）＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12：
00，其后t取正值，则下午3时温度为（ ）
A．8℃B．78℃C．112℃D．18℃
考点 建立函数模型解决实际问题
题点 幂函数模型的应用
答案 B
4．下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________．
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg（x－1）；④y＝50.
考点 建立函数模型解决实际问题
题点 建立函数模型解决实际问题
答案 ①
5．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是________．（填序号）
①甲比乙先出发；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙两人的速度相同；④甲比乙先到达终点．
考点 三种函数模型增长的差异
题点 三种函数模型增长速度的差异
答案 ④
解析 由图知，甲、乙两人S与t的关系均为直线上升，路程S的增长速度不变，即甲、乙均为匀速运动，但甲的速度快．又甲、乙的路程S取值范围相同，即跑了相同的路程，故甲用时少，先到终点．
1．四类不同增长的函数模型
（1）增长速度不变的函数模型是一次函数模型．
（2）增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型．
（3）增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型．
（4）增长速度平稳的函数模型是幂函数模型．
2．函数模型的应用
（1）可推演原则：
建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．
（2）反映性原则：
建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.
一、选择题
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是（ ）
A．y＝6xB．y＝log6xC．y＝x6D．y＝6x
考点 三种函数模型增长的差异
题点 三种函数模型增长速度的差异
答案 B
解析 D增长速度不变，A，C增长速度越来越快，只有B符合题意．
2．以下四种说法中，正确的是（ ）
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x＞0，xa＞logax
C．对任意的x＞0，ax＞logax
D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax
考点 三种函数模型增长的差异
题点 三种函数模型增长速度的差异
答案 D
解析 对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较；对于B，C，显然不成立；对于D，当a＞1时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax，但若去掉限制条件“a＞1”，则结论不成立．
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f（x）的图象大致是（ ）
考点 三种函数模型增长的差异
题点 三种函数模型增长速度的差异
答案 D
解析 设该林区的森林原有蓄积量为a，
由题意，ax＝a（1＋0.104）y，故y＝log1.104x（x≥1），
∴y＝f（x）的图象大致为D中图象．
4．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是（ ）
答案 B
解析 由运输效率（单位时间的运输量）逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凸的，故选B.
5．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P（单位：
毫克/升）与过滤时间t（单位：
时）之间的函数关系式为：
P＝P0e－kt（k，P0均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么，至少还需要过滤的时间为（ ）
A.
小时B.
小时
C．5小时D．10小时
考点 建立函数模型解决实际问题
题点 建立函数模型解决实际问题
答案 C
解析 由题意知前5个小时消除了90%的污染物．
∵P＝P0e－kt，∴（1－90%）P0＝P0e－5k，∴0.1＝e－5k，
即－5k＝ln0.1，∴k＝－
ln0.1.由1%P0＝P0e－kt，
即0.01＝e－kt，∴－kt＝ln0.01，∴
t＝ln0.01，
∴t＝10，∴至少还需要过滤5小时才可以排放．
6．向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（ ）
考点 三种函数模型增长的差异
题点 三种函数模型增长速度的差异
答案 B
解析 水深h为自变量，随着h增大，A中V增长速度越来越快，C中先慢后快，D增长速度不变，只有B中V增长速度越来越慢．
7．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份（ ）
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲、乙两食堂的营业额相同
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
考点 建立函数模型解决实际问题
题点 建立函数模型解决实际问题
答案 A
解析 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a（a＞0），乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可知，m＋8a＝m×（1＋x）8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×（1＋x）4＝
，因为y
－y
＝（m＋4a）2－m（m＋8a）＝16a2＞0，所以y1＞y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．
8．我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB）．对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：
η＝10·lg
（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η1＝70dB的声音强度为I1，η2＝60dB的声音强度为I2，则I1是I2的（ ）
A.
倍B．10倍C．10
倍D．ln
倍
考点 建立函数模型解决实际问题
题点 对数函数模型的应用
答案 B
解析 由题意，令70＝10lg
，则有I1＝I0×107.
同理得I2＝I0×106，所以
＝10.
二、填空题
9．某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（双）的关系式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为________双．
考点 建立函数模型解决实际问题
题点 建立函数模型解决实际问题
答案 800
解析 要使该厂不亏本，只需10x－y≥0，即10x－（5x＋4000）≥0，解得x≥800.
10．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度vm/s和燃料质量Mkg，火箭（除燃料外）质量mkg的关系是v＝2000ln
，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12km/s.
考点 建立函数模型解决实际问题
题点 对数函数模型的应用
答案 e6－1
解析 由题意可知2000ln
＝12000，
∴ln
＝6，从而
＝e6－1.
11．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以vkm/h的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于
2km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________h（车身长度不计）．
答案 12
解析 设全部物资到达灾区所需时间为th，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了
km所用的时间，因此，t＝
≥12，
当且仅当
＝
，即v＝
时取“＝”．
故这些汽车以
km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12h.
三、解答题
12．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和（本金加利息）为y元，求本利和y随存期x变化的函数关系式．
考点 建立函数模型解决实际问题
题点 指数函数模型的应用
解 已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝a（1＋r），2期后本利和为y＝a（1＋r）＋a（1＋r）r＝a（1＋r）2，3期后本利和为y＝a（1＋r）3，
…，
x期后本利和为y＝a（1＋r）x，x∈N*.
13．某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，如果该车每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次．
（1）若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式和定义域；
（2）在
（1）的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？
并求出每天最多运营人数．
考点 建立函数模型解决实际问题
题点 建立函数模型解决实际问题
解
（1）设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意设y＝kx＋b（k≠0），当x＝4时，y＝16，当x＝7时，y＝10，得到16＝4k＋b,10＝7k＋b，解得k＝－2，b＝24，
∴y＝－2x＋24.
依题意有
解得定义域为{x∈N|0≤x≤12}．
（2）设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多时，运营人数最多，设每天拖挂S节车厢，则S＝xy＝x（－2x＋24）＝－2x2＋24x＝－2（x－6）2＋72，x∈[0,12]且x∈N.所以当x＝6时，Smax＝72，
此时y＝12，则每日最多运营人数为110×72＝7920.
故这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7920.
四、探究与拓展
14．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．（至少打开一个水口）
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．
则正确论断是________．（填序号）
考点 三种函数模型增长的差异
题点 三种函数模型增长速度的差异
答案 ①
解析 由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．
15．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：
元/100kg）与上市时间t（单位：
天）的数据如表：
时间t（单位：
天）
60
100
180
种植成本Q（单位：
元/100kg）
116
84
116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，求得：
西红柿种植成本最低时的上市天数是________；最低种值成本是________元/100kg.
考点 建立函数模型解决实际问题
题点 建立函数模型解决实际问题
答案 120 80
解析 因为随时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用函数Q＝a（t－120）2＋m描述．将表中数据代入可得
则
所以Q＝0.01（t－120）2＋80，故当上市天数为120时，种值成本取到最低值80元/100kg.
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