人教版八年级数学上册《等边三角形》拔高练习.docx

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人教版八年级数学上册《等边三角形》拔高练习

《等边三角形》拔高练习

、选择题（

本大题共5小题，共25.0分）

1．

5分）如图，已知：

∠MON＝30°，点A1，A2，A3，⋯在射线ON上，点B1，B2，B3，⋯

在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，⋯均为等边三角形，若OA1＝1，则

3．

5分）如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知

4．

5分）如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（）

E，且CE＝1.5，则AB的长为（

、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）如图，若BD为等边△ABC的一条中线，延长BC至点E，使CE＝CD＝1，连接

7．（5分）如图，△ABC是等边三角形，BD为AC边上的中线，点E在BC的延长线上，连接DE，若CE＝2，∠E＝30°，则线段BC的长为．

8．（5分）下列图形由大小相等的等边三角形组成：

图1为一个白三角形；

图2在图1外部，画了3个黑三角形；

图3在图2外部，画了6个白三角形；

图4在图3外部，画了9个黑三角形；

图5在图4外部，画了12个白三角形；⋯；

以此类推，那么图n（n为大于1的整数）在前一个图外部，画了个三角形（用含有n的代数式表示）

4，则点A的坐标是

10．（5分）在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，∠B＝60°，则△ABC的周长是三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）列方程解应用题

用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用），A方法：

剪6个侧面；B方法：

剪4

个侧面和5个底面，现有19张硬纸板，如何裁剪才能使裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做多少个盒子？

12．（10分）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底

面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）．

A方法：

剪6个侧面；

B方法：

剪4个侧面和5个底面．

现有38张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．

（1）分别求裁剪出的侧面和底面的个数（用x的代数式表示）

（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？

13．（10分）在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．

（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；

（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．

①补全图2；

14．（10分）如图：

已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE

＝CD，DM⊥BC，垂足为M．

（1）求∠E的度数．

（2）求证：

M是BE的中点．

15．（10分）已知：

如图等边△ABC，D是AC的中点，且CE＝CD，DF⊥BE．

（1）求证：

BF＝EF．

等边三角形》拔高练习

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）如图，已知：

∠MON＝30°，点A1，A2，A3，⋯在射线ON上，点B1，B2，B3，⋯在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，⋯均为等边三角形，若OA1＝1，则

B2018B2019的长为（）

A．2017B．2018C．D．

【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝

2B1A2，得出B1B2＝，B2B3＝2，B3B4＝4，以此类推，BnBn+1的长为2n﹣1，进而得出答案．

【解答】解：

∵△A1B1A2是等边三角形，

∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，

∴∠2＝120°，

∵∠MON＝30°，

∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，

又∵∠3＝60°，

∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，

∵∠MON＝∠1＝30°，

∴OA1＝A1B1＝1，

∴A2B1＝1，

∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，

∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，

∵∠4＝∠12＝60°，

∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，

∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，

∴A2B2＝2B1A2＝2，

∴B1B2＝，

∵B3A3＝2B2A3，

∴A3B3＝4B1A2＝4，

∴B2B3＝2，

∵A4B4＝8B1A2＝8，

∴B3B4＝4，

以此类推，BnBn+1的长为2n﹣1，

∴B2018B2019的长为22017，

故选：

C．

＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2进而发现规律是解题关键．

由勾股定理得：

AD＝＝＝，

故选：

C．

CD

【点评】本题考查了等边三角形的性质和勾股定理，能根据等边三角形的性质求出的长是解此题的关键．

3．（5分）如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知

A．3B．4C．5D．6

【分析】根据等边三角形的性质得到AD＝4，AC＝8，∠A＝∠C＝60°，根据直角三角

形的性质得到AE＝AD＝2，于是得到结论．

【解答】解：

∵在等边△ABC中，D是AB的中点，AB＝8，∴AD＝4，AC＝8，∠A＝∠C＝60°，

∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，

∴∠AFD＝∠CFE＝90°，

∴AE＝AD＝2，

∴CE＝8﹣2＝6，

∴BF＝5，

故选：

C．

【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，平行线

的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．

4．（5分）如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（）

A．30°B．20°C．25°D．15

分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：

三线合一的性质，即可求得

第7页（共18页）

AD⊥BC，∠CAD＝30°，又由AD＝AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．

【解答】解：

∵AD是等边△ABC的中线，

∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，

∴∠ADC＝90°，

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，

∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．

故选：

D．

【点评】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此

题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

5．（5分）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点

E，且CE＝1.5，则AB的长为（

【分析】由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．

【解答】解：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，

∵DE⊥BC，

∴∠CDE＝30°，

∵EC＝1.5，

∴CD＝2EC＝3，

∵BD平分∠ABC交AC于点D，

∴AD＝CD＝3，

∴AB＝AC＝AD+CD＝6．

故选：

C．

【点评】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不

大，注意掌握数形结合思想的应用．

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）如图，若BD为等边△ABC的一条中线，延长BC至点E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE＝．

【分析】根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD＝DE，求出BC，在Rt△BDC中，

由勾股定理求出BD即可．

【解答】解：

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC，

∵BD为中线，

∴∠DBC＝∠ABC＝30°，

∵CD＝CE，

∴∠E＝∠CDE，

∵∠E+∠CDE＝∠ACB，

∴∠E＝30°＝∠DBC，

∴BD＝DE，

∵BD是AC中线，CD＝1，

∴AD＝DC＝1，

∵△ABC是等边三角形，

∴BC＝AC＝1+1＝2，BD⊥AC，

在Rt△BDC中，由勾股定理得：

BD＝，

即DE＝BD＝，

故答案为：

．

点评】本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质

等知识点的应用，关键是求出DE＝BD和求出BD的长．

7．（5分）如图，△ABC是等边三角形，BD为AC边上的中线，点E在BC的延长线上，

决问题．

【解答】解：

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，∵BD为AC边上的中线，

∴∠DBC＝∠E＝30°，BD⊥AC，

∴∠BDC＝90°，

∴BC＝2DC，

∵∠ACB＝∠E+∠CDE，

∴∠CDE＝∠E＝30°，

∴CD＝CE＝2，

∴BC＝2CD＝4，故答案为：

4．

【点评】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用：

等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．

8．（5分）下列图形由大小相等的等边三角形组成：

图1为一个白三角形；

图2在图1外部，画了3个黑三角形；

图3在图2外部，画了6个白三角形；

图4在图3外部，画了9个黑三角形；

图5在图4外部，画了12个白三角形；⋯；

以此类推，那么图n（n为大于1的整数）在前一个图外部，画了3（n﹣1）个三角

第10页（共18页）

形（用含有n的代数式表示）

【分析】数列的数字依次由3乘2、3、4⋯连续的自然数得到，由此得出图n（n为大于

1的整数）在前一个图外部，画了3（n﹣1）个三角形．

【解答】解：

图2在图1外部，画了3个；

图3在图2外部，画了3×（3﹣1）＝6个白三角形；

图4在图3外部，画了3×（4﹣1）＝9个黑三角形；

图5在图4外部，画了3×（5﹣1）＝12个白三角形，

∴图n（n为大于1的整数）在前一个图外部，画了3（n﹣1）个三角形；

故答案为：

3（n﹣1）．

【点评】此题考查图形的变化规律，找出规律解决问题的关键．

9．（5分）如图，等边三角形ABC的顶点在坐标轴上，边长为4，则点A的坐标是（0，

2）．

【分析】根据等边三角形三线合一定理，即可求出OC的长度，再根据勾股定理，即可得到AO的长，进而得到点A的坐标．

由勾股定理可知：

OA＝＝2，

∴A（0，2），

故答案为：

（0，2）．

【点评】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是利用等边三角形的性质解决问题．

10．（5分）在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，∠B＝60°，则△ABC的周长是15

分析】根据等边三角形的判定和性质即可解决问题．

【解答】解：

∵AB＝AC，∠B＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵BC＝5，

∴△ABC的周长为15，

故答案为15．

解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中

【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，

考常考题型．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）列方程解应用题

板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用），A方法：

剪6个侧面；B方法：

剪4

个侧面和5个底面，现有19张硬纸板，如何裁剪才能使裁剪出的侧面和底面恰好全部用

完，能做多少个盒子？

【分析】由x张用A方法，就有（19﹣x）张用B方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数；由侧面个数和底面个数比为3：

2建立方程求出x的值，求出侧面的总数就可以

求出结论．

【解答】解：

设裁剪时x张用A方法，则裁剪时（19﹣x）张用B方法．

∴侧面的个数为：

6x+4（19﹣x）＝（2x+76）个，

底面的个数为：

5（19﹣x）＝（95﹣5x）个；

＝

＝

，

由题意，

解得：

x＝7，

经检验，x＝7是原分式方程的解，

∴盒子的个数为：

＝30．

答：

裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子．

【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，列代数式的运用以及分式方程的应用，解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是关键．

12．（10分）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底

面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）．

A方法：

剪6个侧面；

B方法：

剪4个侧面和5个底面．

现有38张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．

（1）分别求裁剪出的侧面和底面的个数（用x的代数式表示）

（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？

【分析】

（1）由x张用A方法，就有（38﹣x）张用B方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数；

（2）由侧面个数和底面个数比为3：

2建立方程求出x的值，求出侧面的总数就可以求

出结论．

【解答】解：

（1）∵裁剪时x张用A方法，

∴裁剪时（38﹣x）张用B方法．

∴侧面的个数为：

6x+4（38﹣x）＝（2x+152）个，底面的个数为：

5（38﹣x）＝（190﹣5x）个；

（2）由题意，得（2x+152）：

（190﹣5x）＝3：

2，解得：

x＝14，

∴盒子的个数为：

＝60．

【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，列代数式的运用以及分式方程的应用，解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是关键．

13．（10分）在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．

（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；

（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．

①补全图2；

2）①根据要求画出图形即可；

②设∠ACM＝∠BCM＝α，由AB＝AC，

推出∠ABC＝∠ACB＝2α，可得∠NAC＝∠NCA

α，∠DAN＝60°+α，由△ABN≌△ADN（SSS），推出∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN

＝∠DAN＝60°+α，∠BAC＝60°+2α，在△ABC中，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180构建方程求出α，再证明∠MNB＝∠MBN即可解决问题；

在等边三角形△ACD中，

∠CAD＝∠ADC＝60°，AD＝AC．

∵E为AC的中点，

∴∠ADE＝∠ADC＝30°，

∵AB＝AC，

∴AD＝AB，

∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝160°，

∴∠ADB＝∠ABD＝10°，

∴∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB＝20°．

②证明：

连接AN．

∵CM平分∠ACB，

∴设∠ACM＝∠BCM＝α，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝2α．在等边三角形△ACD中，

∵E为AC的中点，

∴DN⊥AC，

∴NA＝NC，

∴∠NAC＝∠NCA＝α，

∴∠DAN＝60°+α，

在△ABN和△ADN中，

∴△ABN≌△ADN（SSS），

∴∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，

∴∠BAC＝60°+2α，

在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，

∴60°+2α+2α+2α＝180°，

∴α＝20°，

∴∠NBC＝∠ABC﹣∠ABN＝10°，

∴∠MNB＝∠NBC+∠NCB＝30°，

∴∠MNB＝∠MBN，

∴MB＝MN．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

14．（10分）如图：

已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M．

（1）求∠E的度数．

（2）求证：

M是BE的中点．

【分析】

（1）由等边△ABC的性质可得：

∠ACB＝∠ABC＝60°，然后根据等边对等角可得：

∠E＝∠CDE，最后根据外角的性质可求∠E的度数；

（2）连接BD，由等边三角形的三线合一的性质可得：

∠DBC＝∠ABC＝×60°＝

30°，结合

（1）的结论可得：

∠DBC＝∠E，然后根据等角对等边，可得：

DB＝DE，

最后根据等腰三角形的三线合一的性质可得：

M是BE的中点．

【解答】

（1）解：

∵三角形ABC是等边△ABC，

∴∠ACB＝∠ABC＝60°，

又∵CE＝CD，

∴∠E＝∠CDE，

又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，

∴∠E＝∠ACB＝30°；

2）证明：

连接BD，

∵等边△ABC中，D是AC的中点，

∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°

由

（1）知∠E＝30°

∴∠DBC＝∠E＝30°

∴DB＝DE

又∵DM⊥BC

∴M是BE的中点．

【点评】此题考查了等边三角形的有关性质，重点考查了等边三角形的三线合一的性质．

15．（10分）已知：

如图等边△ABC，D是AC的中点，且CE＝CD，DF⊥BE．

（1）求证：

BF＝EF．

【分析】

（1）要证F是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质即可得证；

2）利用含30°角的直角三角形的性质直接求出即可．

解答】证明：

（1）∵在等边△ABC，且D是AC的中点，

∵CE＝CD，

∴∠CDE＝∠E，

∵∠ACB＝∠CDE+∠E，

∴∠E＝30°，

∴∠DBC＝∠E＝30°，

∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形，

又∵DF⊥BE，

∴F是BE的中点，

∴BF＝EF；

2）∵在直角三角形DFE中，∠E＝30°，DE＝5，

点评】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．