椭圆经典例题讲解.docx
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椭圆经典例题讲解
椭圆
基础过关
1椭圆的两种定义
（1）平面内与两定点Fi,F2的距离的和等于常数（大于FiF^）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距.
注：
①当2a=|FiF2|时，P点的轨迹是.
②当2av|FiF2|时，P点的轨迹不存在.
⑵椭圆的第二定义：
到的距离与到的距离之比是常数e,
且e的点的轨迹叫椭圆.定点F是椭圆的，定直线I
是，常数e是.
2.椭圆的标准方程
22
（1）焦点在X轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：
彳与1，其中（>>0，且
a2b2
a2）
22
⑵焦点在y轴上，中心在原点的椭圆标准方程是笃耸i,其中a,b满足：
.
ab
（3）焦点在哪个轴上如何判断
22
3.椭圆的几何性质（对笃笃i,a>b>0进行讨论）
a2b2
（1）范围：
wxw,wyw
（2）对称性：
对称轴方程为;对称中心为.
（3）顶点坐标：
，焦点坐标：
，长半轴长：
，短半轴长：
;
准线方程：
.
（4）离心率：
e__（与的比），e,e越接近i,椭圆越;
e越接近0,椭圆越接近于.
⑸焦半径公式：
设Fi,F2分别为椭圆的左、右焦点，P（xo,yo）是椭圆上一点，则
PFi,PF22aPFi=。
4•焦点三角形应注意以下关系（老师补充画出图形）：
（1）定义：
ri+「2=2a
（2）余弦定理：
rj+匕2—2ri「2cos=（2C）2
⑶面积：
Spf1f2=十心sin=1・2c|y。
|（其中卩仏』。
）为椭圆上一点，|PFi|=ri,
|PF2|=「2,/FiPF>=）
典型例题
求证：
以PF为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切
证明设以PF2为直径的圆心为A,半径为r.
•••Fi、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF|+|PF2|=2a,|PF2|=2r
•••IPF|+2r=2a,即|PF|=2（a-r）连结OA由三角形中位线定理，知
11
I°A=|PFi|2（ar）ar.
22
故以PR为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切
评注运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。
2
例3.如图，椭圆的中心在原点，其左焦点Fi与抛物线y4x的焦点重合，过Fi的直线
|CD|厂
l与椭圆交于AB两点，与抛物线交于CD两点•当直线I与x轴垂直时，_2丁2.
AB
（1）求椭圆的方程;
（2）求过点OF1，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程;
UJLUUULU
（3）求F2AF2B的最大值和最小值.
解：
（1）由抛物线方程，得焦点F1（1,0）.
设椭圆的方程：
2x
2a
2
y21（a
b2
b
0）.
2
解方程组y
4x
得C（-1,
2）,
D（1,-2）
x
1
由于抛物线、椭圆都关于x轴对称,
...虫Q2「2
|FiA||AB|'
|FiA|
1
~~2
a
因此,
12
21又a
2b
11
22
b212b2
b2c2
1，解得b2
1并推得a22.
y21•
2
故椭圆的方程为—
2
（2）Qa,2,b
1,c1,
Q圆过点OF,,
设M（1,t）,则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切,
2
由OM
3,解得t
2
所求圆的方程为（x1）2
2
（y2）2
（3）由点F,（1,0）,F2（1,0）
1,
①若AB垂直于x轴，则A（1,上Z）,B（
2
uuiu、2uurn
F2A（⑴心（2,
uuuruuuu
F2AF2B4
②若AB与x轴不垂直，设直线
AB的斜率为k,则直线AB的方程为
yk（x
1）
由yk（xx22y2
21）0得
（12k2）x24k2x2（k21）0
8k28
0，方程有两个不等的实数根.
设A（X1，yJ，B（X2,y2）.
4k2
x1x2
12k
X2
2
2（k1）
12k2
F2A（X11,y1）,F2B
（X21,y2）
F2AF2B（x1
1）（x21）ym（xi1）（x2
i）
2
k区1）（x21）
（i
k2）x.|x2（k21）（x1x2）1
k2
（i
k2）
2（k21）2
（泰2（k1）（
7k2
4k2
k2
1
12k2
9
2（12k2）
22
k0,12k1,0
f2af2b[1,—]，所以当直线I垂于
2
当直线I与x轴重合时，F2AF2B取得最小值1
变式训练3:
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1,0）、B（1,0）,动点C满足条件：
△ABC的周长为2+22记动点C的轨迹为曲线W
（1）求W的方程；
⑵经过点（0,,2）且斜率为k的直线I与曲线W有两个不同的交点P和Q
求k的取值范围；
（3）已知点M（2,0）,N（0,1）,在（II）的条件下，是否存在常数k,使得向量OPOQ与MT?
共线如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.
解:
（I）设C（x,y）,
TAC||BC+AB222,AB2,
二AC||BC2.22,
•••由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2〔2的椭圆除去与x轴的两个交点•••a.2,c=1.•b2a2c21.
2
•w:
xy21（y0）•…
2
2
⑵设直线I的方程为ykx2，代入椭圆方程，得—（kx2）21•
2
整理，得（丄k2）x22.2kx10.①
2
因为直线I与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
8k24（!
k2）4k220，解得k-或k—•
222
满足条件的k的取值范围为k（
OQ=（X1+X2,yi+y2）,
（3）设P（xi,yi）,QX2,y2）,则OP
又yiy2“人X2）22
因为M（.2,0）,N（0,1）,所以MN（.2,1）.
所以OPOQ与MN共线等价于x1X2=^,2（y1y2）.将②③代入上式，解得k2.
2
所以不存在常数k，使得向量OPOq与MIN共线.
圆W的左焦点为F，过左准线与X轴的交点M任作一条斜率不为零的直线I与椭圆W交于
不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C.
（1）求椭圆W的方程；
uuuuuu
（2）求证：
CFFB（R）；
（3）求MBC面积S的最大值.
2
每1，由题意可知
b
2
X
解：
（1）设椭圆W的方程为务
a
的方程为yk（x3）.
yk（x
3）,
2x
2
y
得（13k2）x218k2x27k26
1
6
2
0.
由直线I与椭圆W交于A、B两点，可知
（18k2）24（13k2）（27k26）0,解得k2-.
3
设点A,B的坐标分别为（捲，yj,（x2,y2）,
因为F（2,0）,C（x1,yj,
uuuUJU
所以FC（X12,yd,FB区2也）・
又因为（X12）y2（X22）（yj
k（54k21290k21236k2）
13k2
mumu
10分
所以CFFB.
a2
解法2：
因为左准线方程为x3，所以点M坐标为（3,0）.
c
于是可设直线l的方程为yk（x3），点A,B的坐标分别为（知力），（x2,y2）,
n
则点C的坐标为（x1,yj,yk（x-|3）,y2k（x23）.
由椭圆的第二定义可得
|FB|X23他
|FC|X13|yj'
3
—3|k|
Ik11
当且仅当k2-时“=”成立,
3
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1PF2的最大值和最小值；
（2）是否存在过点A（5，0）的直线I与椭圆交于不同的两点CD,使得IF2CI=IF2D|若存
在，求直线I的方程；若不存在，请说明理由•
解:
（1）易知a,5,b2,c1,F1（1,0）,F2（1,0）
设P（x，y），则PF1PF2（1x,y）（1x,y）x2y21
24212
x24x21x23
55
x[,5,5]，
当x0,即点P为椭圆短轴端点时，PRPF2有最小值3；
当x,5，即点P为椭圆长轴端点时，PF1PF2有最大值4
（2）假设存在满足条件的直线I易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线I的斜率不存在
时，直线l与椭圆无交点，所在直线
l斜率存在，设为k
直线l的方程为
y
k（x
5）
2x
2
y_
1
得（5k2
4）x250k2x125k2200
由方程组5
4
y
k（x
5）
QQQQ_
•••20k=20k—4,而20k=20k—4不成立，所以不存在直线I，使得|F2C|=|F2D|
综上所述，不存在直线I，使得|F2C|=|F2DI
小结归纳
1•在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a、b、c、e关系及
几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效.
2.由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法.步骤是：
定型确定曲线形状；定位
确定焦点位置；定量一一由条件求a、b、c,当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，
要防止遗漏.
3.解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑；椭圆的焦半
径的取值范围是[ac,ac].
4.“设而不求”，“点差法”等方法，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会.
5.解析几何与代数向量的结合，是近年来高考的热点，应引起重视.
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