压轴题放缩法技巧全总结.docx
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压轴题放缩法技巧全总结
压轴题放缩法技巧全总结
高考数学备考之放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：
通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩
例1.
（1）求的值;
（2）求证:
.
解析:
（1）因为,所以
（2）因为,所以
技巧积累:
（1）
（2）
（3）
例2.
（1）求证:
（2）求证:
（3）求证:
（4）求证：
解析:
（1）因为,所以
（2）
（3）先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案
（4）首先,所以容易经过裂项得到
再证而由均值不等式知道这是显然成立的，
所以
例3.求证:
解析:
一方面:
因为,所以
另一方面:
当时,,当时当时所以综上有
例4.（2008年全国一卷）设函数.数列满足设，整数.证明:
.
解析:
由数学归纳法可以证明是递增数列,
故若存在正整数,使,则,
若,则由知因为,于是
例5.已知,求证:
解析:
首先可以证明:
所以要证
只要证:
故只要证,
即等价于,
即等价于而正是成立的,所以原命题成立.
例6.已知,,求证:
.
解析:
所以
从而
例7.已知,,求证:
证明:
因为,所以
所以
二、函数放缩
例8.求证：
解析:
先构造函数有,从而
cau所以
例9.求证:
（1）
解析:
构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案
函数构造形式:
例10.求证:
解析:
提示:
函数构造形式:
当然本题的证明还可以运用积分放缩
如图,取函数,
首先:
从而,
取有所以有,,…,,,相加后可以得到:
另一方面,从而有
取有所以有,所以综上有
例11.求证:
和.解析:
构造函数后即可证明
例12.求证:
解析:
叠加之后就可以得到答案
函数构造形式:
（加强命题）
例13.证明:
解析:
构造函数,求导,可以得到:
令有,令有所以,所以,令有所以,所以
例14.已知证明解析:
然后两边取自然对数,可以得到
然后运用和裂项可以得到答案）
放缩思路：
。
于是，
即
注：
题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：
，
即
例16.（2008年福州市质检）已知函数若
解析:
设函数
∴函数）上单调递增，在上单调递减.∴的最小值为，即总有
而
即
令则
例15.（2008年厦门市质检）已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.
（I）求证：
函数上是增函数；（II）当；
（III）已知不等式时恒成立，
求证：
解析:
（I）,所以函数上是增函数
（II）因为上是增函数,所以
两式相加后可以得到
（3）
……
相加后可以得到:
所以
令,有
所以
（方法二）
所以
又,所以
三、分式放缩
姐妹不等式:
和
记忆口诀”小者小,大者大”
解释:
看b,若b小,则不等号是小于号,反之.
例19.姐妹不等式:
和
也可以表示成为
和
解析:
利用假分数的一个性质可得
即
例20.证明:
解析:
运用两次次分式放缩:
（加1）
（加2）
相乘,可以得到:
所以有
四、分类放缩
例21.求证:
解析:
例22.（2004年全国高中数学联赛加试改编）在平面直角坐标系中,轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为
（1）证明4，;
（2）证明有，使得对都有解析:
（1）依题设有：
，由得：
又直线在轴上的截距为满足
显然，对于，有
（2）证明：
设，则
设，则当时，
。
所以，取，对都有：
故有成立。
例23.（2007年泉州市高三质检）已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？
并证明你的结论。
解析:
首先求出,∵
∴,∵,,…
故当时因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，
则当时,必有.
故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.
例24.（2008年中学教学参考）设不等式组表示的平面区域为,
设内整数坐标点的个数为.设,当时,求证:
解析:
容易得到,所以,要证只要证,因为,所以原命题得证
五、迭代放缩
例25.已知,求证:
当时解析:
通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论
例26.设,求证:
对任意的正整数k,若k≥n恒有:
|Sn+k－Sn|解析:
又所以
六、借助数列递推关系
例27.求证:
解析:
设则
从而
相加后就可以得到
所以
例28.求证:
解析:
设则
从而
相加后就可以得到
例29.若,求证:
解析:
所以就有
七、分类讨论
例30.已知数列的前项和满足证明：
对任意的整数，有
解析:
容易得到由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：
当且为奇数时
（减项放缩），于是
①当且为偶数时
②当且为奇数时（添项放缩）由①知由①②得证。
八、线性规划型放缩
例31.设函数.若对一切，，求的最大值。
解析:
由知即
由此再由的单调性可以知道的最小值为，最大值为
因此对一切，的充要条件是，即，满足约束条件，
由线性规划得，的最大值为5．
九、均值不等式放缩
例32.设求证
解析:
此数列的通项为
，，
即
注：
①应注意把握放缩的“度”：
上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里
其中，等的各式及其变式公式均可供选用。
例33.已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：
解析:
例34.已知为正数，且，试证：
对每一个，.
解析:
由得，又，故，而，
令，则=，因为，倒序相加得=，
而，
则=，所以，即对每一个，.
例35.求证
解析:
不等式左=，
原结论成立.
例36.已知,求证:
解析:
经过倒序相乘,就可以得到
例37.已知,求证:
解析:
其中:
因为
所以
从而,所以例38.若,求证:
解析:
因为当时,,所以,所以,当且仅当时取到等号所以
所以所以
例39.已知,求证:
解析:
.
例40.已知函数f（x）=x2－（－1）k2lnx（k∈N*）.k是奇数,n∈N*时,
求证:
[f’（x）]n－2n－1f’（xn）≥2n（2n－2）.
解析:
由已知得，
（1）当n=1时，左式=右式=0.∴不等式成立.
（2）,左式=
令
由倒序相加法得：
，
所以
所以综上，当k是奇数，时，命题成立
例41.（2007年东北三校）已知函数
（1）求函数的最小值，并求最小值小于0时的取值范围；
（2）令求证：
★例42.（2008年江西高考试题）已知函数,.对任意正数,证明：
．
解析:
对任意给定的,,由,
若令，则①,而②
（一）、先证；因为，，，
又由，得．
所以
．
（二）、再证；由①、②式中关于的对称性，不妨设．则
（ⅰ）、当，则，所以，因为，
，此时．
（ⅱ）、当③，由①得,，，
因为所以④
同理得⑤，于是⑥
今证明⑦,因为，
只要证，即，也即，据③，此为显然．
因此⑦得证．故由⑥得．
综上所述，对任何正数，皆有．
例43.求证:
解析:
一方面:
（法二）
另一方面:
十、二项放缩例44.已知证明
解析:
，
即设，求证：
数列单调递增且
解析:
引入一个结论：
若则（证略）
整理上式得（）
以代入（）式得
即单调递增。
以代入（）式得
此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。
注：
①上述不等式可加强为简证如下：
利用二项展开式进行部分放缩：
只取前两项有对通项作如下放缩：
故有
②上述数列的极限存在，为无理数；同时是下述试题的背景：
已知是正整数，且
（1）证明；
（2）证明（01年全国卷理科第20题）
简析对第
（2）问：
用代替得数列是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：
数列递减，且故即。
当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！
详见文[1]。
例46.已知a+b=1,a0,b0,求证：
解析:
因为a+b=1,a0,b0,可认为成等差数列，设，
从而
例47.设，求证.
解析:
观察的结构，注意到，展开得
，即，得证.
例48.求证:
.解析:
参见上面的方法,希望读者自己尝试!
）
例42.（2008年北京海淀5月练习）已知函数，满足：
①对任意，都有；
②对任意都有.
（I）试证明：
为上的单调增函数；
（II）求；
（III）令，试证明：
解析:
本题的亮点很多,是一道考查能力的好题.
（1）运用抽象函数的性质判断单调性:
因为,所以可以得到也就是,不妨设,所以,可以得到,也就是说为上的单调增函数.
（2）此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!
首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按
（1）中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了!
由
（1）可知,令,则可以得到
又,所以由不等式可以得到,又
所以可以得到①
接下来要运用迭代的思想:
因为,所以,,②在此比较有技巧的方法就是:
所以可以判断③
当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论.
所以,综合①②③有（3）在解决的通项公式时也会遇到困难所以数列的方程为,从而一方面,另一方面
所以,所以,综上有
例49.已知函数fx的定义域为[0,1]，且满足下列条件：
①对于任意[0,1]，总有，且；②若则有
（Ⅰ）求f0的值；（Ⅱ）求证：
fx≤4；
（Ⅲ）当时，试证明：
.
解析:
（Ⅰ）解：
令，由①对于任意[0,1]，总有，∴
又由②得即∴
（Ⅱ）解：
任取且设则
因为，所以，即∴∴当[0,1]时，（Ⅲ）证明：
先用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，，不等式成立；
（2）假设当n=k时，
由
得
即当n=k+1时，不等式成立
由
（1）、
（2）可知，不等式对一切正整数都成立.
于是，当时，，
而[0,1]，单调递增∴所以，
例50.已知：
求证：
解析:
构造对偶式：
令
则＝
又（
十一、积分放缩
利用定积分的保号性比大小
保号性是指，定义在上的可积函数，则.
例51.求证：
解析:
，∵，
时，，，∴，.
利用定积分估计和式的上下界
定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和.
例52.求证：
，解析:
考虑函数在区间上的定积分.
如图，显然-①
对求和，
例53.已知.求证：
解析:
考虑函数在区间上的定积分.
∵-②
∴.
例54.（2003年全国高考江苏卷）设，如图，已知直线及曲线：
，上的点的横坐标为（）.从上的点作直线平行于轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点.的横坐标构成数列.
（Ⅰ）试求与的关系，并求的通项公式；
（Ⅱ）当时，证明；
（Ⅲ）当时，证明.
解析:
（过程略）.
证明（II）：
由知，∵，∴.
∵当时，，
∴.
证明（Ⅲ）：
由知.
∴恰表示阴影部分面积，
显然④
∴.
奇巧积累:
将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如：
①；
②；
③；
④.
十二、部分放缩（尾式放缩）
例55.求证:
解析:
例56.设求证：
解析:
又（只将其中一个变成，进行部分放缩），，
于是
例57.设数列满足，当时
证明对所有有；
解析:
用数学归纳法：
当时显然成立，假设当时成立即，则当时
，成立。
利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得
注：
上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：
；证明就直接使用了部分放缩的结论
十三、三角不等式的放缩
例58.求证:
解析:
（i）当时（ii）当时,构造单位圆,如图所示:
因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积
所以可以得到
当时
所以当时有
（iii）当时,,由（ii）可知:
所以综上有
十四、使用加强命题法证明不等式
（i）同侧加强
对所证不等式的同一方向（可以是左侧,也可以是右侧）进行加强.如要证明,只要证明,其中通过寻找分析,归纳完成.
例59.求证:
对一切,都有.
解析:
从而
当然本题还可以使用其他方法,如:
所以（ii）异侧加强（数学归纳法）
（iii）双向加强
有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为:
欲证明,只要证明:
.
例60.已知数列满足:
求证:
解析:
从而,所以有
所以
又,所以,所以有
所以
所以综上有
引申:
已知数列满足:
求证:
.
解析:
由上可知,又,所以
从而
又当时,,所以综上有.
同题引申:
（2008年浙江高考试题）已知数列记,.求证:
当时.
（1）;
（2）;★（3）解析:
（1）,猜想,下面用数学归纳法证明:
（i）当时,,结论成立;
（ii）假设当时,,则时从而,所以
所以综上有,故
（2）因为则,,…,,相加后可以得到:
所以
所以
（3）因为,从而,有,所以有
从而
所以
所以
所以综上有.
例61.（2008年陕西省高考试题）已知数列的首项,,．
（1）证明:
对任意的,,;
（2）证明:
解析:
（1）依题,容易得到,要证即证
即证,设所以即证明
从而,即,这是显然成立的.
所以综上有对任意的（法二）原不等式成立．
（2）由
（1）知，对任意的，有
．
取，
则．
原不等式成立．
十四、经典题目方法探究
探究1.（2008年福建省高考）已知函数.若在区间上的最小值为,
令.求证:
.
证明:
首先:
可以得到.先证明
（方法一）所以
（方法二）因为,相乘得:
从而.
（方法三）设A=,B=,因为AB,所以A2AB,
所以,从而.
下面介绍几种方法证明
（方法一）因为,所以,所以有
（方法二）,因为,所以
令,可以得到,所以有
（方法三）设所以,
从而,从而
又,所以
（方法四）运用数学归纳法证明:
（i）当时,左边=,右边=显然不等式成立;
（ii）假设时,,则时所以要证明,只要证明,这是成立的.
这就是说当时,不等式也成立,所以,综上有
探究2.（2008年全国二卷）设函数.如果对任何，都有，求的取值范围．
解析:
因为,所以
设,则因为,所以
（i）当时,恒成立,即,所以当时,恒成立.
（ii）当时,,因此当时,不符合题意.
（iii）当时,令，则故当时因此在上单调增加.故当时即.于是，当时，
所以综上有的取值范围是
变式：
若,其中
且,,求证:
证明：
容易得到
由上面那个题目知道
就可以知道
★同型衍变:
（2006年全国一卷）已知函数.若对任意x∈（0,1）恒有f（x）1,求a的取值范围解析:
函数f（x）的定义域为（-∞,1）∪（1,+∞）,导数为（ⅰ）当0a≤2时,f（x）在区间（-∞,1）为增函数,故对于任意x∈（0,1）恒有f（x）f（0）=1,因而这时a满足要求.
（ⅱ）当a2时,f（x）在区间（-,）为减函数,故在区间（0,）内任取一点,比如取,就有x0∈（0,1）且f（x0）f（0）=1,因而这时a不满足要求.
（ⅲ）当a≤0时,对于任意x∈（0,1）恒有
≥,这时a满足要求.
综上可知,所求a的取值范围为a≤2
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