如何证明极限不存在精选多篇.docx
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如何证明极限不存在精选多篇
如何证明极限不存在（精选多篇）
证明极限不存在 二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:
lim→x4y2x6+y6;lim→x2y2x2y2+2.证明一般地,对于选择当沿直线y=kxy=kx趋近于时,有lim→x4y2x6+y6=limx→0k2x6x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择沿抛物线y=kx2+x→趋近于,则有l.. 2 是因为定义域d={|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点 沿着两条直线y=2x y=-2x趋于时 极限分别为-3和-1/3不相等 极限存在的定义要求延任何过直线求极限时极限都相等 所以极限不存在 3 lim趋向于无穷大/ 证明该极限不存在 lim/ =lim/-8y_/ =1-lim8/ 因为不知道x、y的大校 所以lim趋向于无穷大/ 极限不存在 4 如图用定义证明极限不存在~谢谢!
!
反证法 若存在实数l，使limsin=l， 取ε=1/2， 在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n， ①记x1=1/∈x，有sin=1， ②记x2=1/∈x，有sin=-1， 使|sin-l| 和|sin-l| 同时成立。
即|1-l| 这与|1-l|+|-1-l|≥|-|=2发生矛盾。
所以，使limsin=l成立的实数l不存在。
如何证明极限不存在 反证法 若存在实数l，使limsin=l， 取ε=1/2， 在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n， ①记x1=1/∈x，有sin=1， ②记x2=1/∈x，有sin=-1， 使|sin-l| 和|sin-l| 同时成立。
即|1-l| 这与|1-l|+|-1-l|≥|-|=2发生矛盾。
所以，使limsin=l成立的实数l不存在。
反证法：
一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在 假设两数列之和{cn}的极限存在，那么bn=cn-an极限也存在 矛盾 所以原命题成立 令y=x,lim趋于xy/x+y =limx_/=0 令y=x_-x,lim*b… 因此二项式定理 下面用二项式定理计算这一极限：
用二项式展开得：
=1
++*_+*_+…+*—*—*
由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n-+∞,得0。
因此总的结果是当n-+∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与的相应项的次方相约，得1。
余下分母。
于是式一化为：
=1+1+1/2!
+1/3!
+1/4!
+1/5!
+1/6!
+…+1/n!
当n-+∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。
这一数值定义为e。
证明二重极限不存在 如何判断二重极限不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f不存在,通常的方法是:
找几条通过定点的特殊曲线,如果动点沿这些曲线趋于时,f趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过,并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0fg的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f-g=0,这样做就很容易出错。
例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-=0→时,所得的结论就不同→1）。
为什么会出现这种情况呢?
仔细分析一下就不难得到答案 2 若用沿曲线，一g=0趋近于来讨论，一0g，y。
。
可能会出现错误，只有证明了不是孤立点后才不会出错。
o13a1673-38780l__0l02__02如何判断二重极限不存在。
是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。
只是略谈一下在判断二重极限不存在时。
一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知，要讨论limf不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：
找几条通过定点的特殊曲线，如果动点沿这些曲线趋于时，f趋于不同的值，则可判定二重极限limf不存在，这一方i—’10r’y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过，并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2的极限，在判卜’iogx，yy—·y0断其不存在时，不少人找的曲线是f一g：
0，这样做就很容易出错。
3 当沿曲线y=-x+x_趋于时，极限为lim/x_=-1; 当沿直线y=x趋于时，极限为limx_/2x=0。
故极限不存在。
4 x-y+x_+y_ f=———————— x+y 它的累次极限存在：
x-y+x_+y_ limlim————————=-1 y->0x->0x+y x-y+x_+y_ limlim————————=1 x->0y->0x+y 当沿斜率不同的直线y=mx,->时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。
不如何证明极限不存在 一、归结原则 原理:
设f在u0内有定义，limf存在的充要条件是：
对任何含于 x?
x0 u且以x0为极限的数列?
xn?
极限limf都存在且相等。
’ n?
?
例如：
证明极限limsin x?
0 1x 不存在 12n?
?
证：
设xn?
?
1n?
?
xn?
?
2 ，则显然有 xn?
0,xn?
0，si由归结原则即得结论。
?
?
?
0?
0,si?
1?
1?
?
xnxn 二、左右极限法 原理：
判断当x?
x0时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。
例如：
证明f?
arctan 当x ?
0 时的极限不存在。
1x）?
1x ）?
?
?
2 x=0，limarctan?
lim?
arctan， 所以当x?
0时，arctan的极限不存在。
三、证明x?
?
时的极限不存在 原理：
判断当x?
?
时的极限，只要考察x?
?
?
与x?
?
?
时的极限，如果两者 相等，则极限存在，否则极限不存在。
例如：
证明f?
ex在x?
x?
?
?
?
时的极限不存在 x?
?
?
x?
?
?
xxxx 因为lime?
0，lime?
?
?
；因此，lime?
lime x?
?
?
所以当x?
四、柯西准则 ?
时，ex的极限不存在。
0’ 原理：
设f在u内有定义，limf存在的充要条件是：
任给?
x?
x0 ?
0 ，存 在正数?
，使得对任何x?
x?
?
?
u0，使得f?
f?
?
0。
例如：
在方法一的例题中，取?
0?
1，对任何?
?
0，设正数n?
x?
?
1 n?
x?
?
?
1 n?
?
1?
，令?
2即证。
五、定义法 原理：
设函数f在一个形如的区间中有定义，对任何a?
r，如果存在 ?
0?
0，使对任何x?
0都存在x0?
x,使得f?
a?
?
0,则f在x?
?
?
x?
?
?
时没有极限。
例如：
证明limcosx不存在 设函数f?
cosx，f在中有定义，对任何a?
r，不妨设a?
取?
0?
120,，于是对任何?
?
0，取?
0?
0反证法数学归纳法 极限证明 1.设f在上无穷次可微，且f?
?
，求证当k?
n?
1时，?
x，limf?
0．x?
?
?
2.设f?
?
0sinntdt，求证：
当n为奇数时，f是以2?
为周期的周期函数；当n为 偶数时f是一线性函数与一以2?
为周期的周期函数之和．x f?
0．?
{xn}?
3.设f在上无穷次可微；ff?
?
0xlim求证：
n?
1，?
?
?
?
n，0?
xn?
xn?
1，使f?
0． sin）?
1．求证limf存在．4.设f在上连续，且xlim?
?
?
x?
?
?
5.设a?
0,x1?
2?
a,xn?
1?
2?
xn,n?
1,2?
证明权限limn?
?
xn存在并求极限值。
6.设xn?
0,n?
1,2,?
.证明：
若limxn?
1?
x,则limxn?
x.n?
?
xn?
?
n 7.用肯定语气叙述：
limx?
?
?
f?
x?
?
?
?
. 8.a1?
1,an?
1?
1,求证：
ai有极限存在。
an?
1 t?
x9.设函数f定义在?
a,b?
上，如果对每点x?
?
a,b?
极限limf?
t?
存在且有限。
证明：
函数f在?
a,b?
上有界。
10.设limn?
?
an?
a,证明：
lima1?
2a2?
?
?
nana?
.n?
?
2n2 11.叙述数列?
an?
发散的定义，并证明数列?
cosn?
发散。
12.证明：
若?
?
?
af?
x?
dx收敛且limx?
?
?
f?
x?
?
?
，则?
?
0. 11?
an?
收敛。
?
n?
1,2,?
.求证：
22an?
1an13.a?
0,b?
0.a1?
a,a2?
b,an?
2?
2?
n 14.证明公式?
k?
11k?
2n?
c?
?
n，其中c是与n无关的常数，limn?
?
?
n?
0. 15.设f?
x?
在上连续，且 f?
0,记fvn?
f,?
n?
?
exp{ b?
a ，试证明：
n 1b lnfdx}并利用上述等式证明下?
ab?
a 式 2?
?
2?
lndx?
2lnr f?
f ?
k b?
a 34.设f‘?
k,试证明lim a?
0?
b?
0?
35.设f连续，?
?
?
0fdt，且lim x?
0 论?
’在x?
0处的连续性。
f ，求?
’，并讨?
a x 36．给出riemann积分?
afdx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛 i1 lim?
s。
n?
?
ni?
0n ?
x322 ,x?
y?
0?
2 37.定义函数f?
x?
?
?
x?
y2.证明f?
x?
在?
0,0?
处连续但不可微。
?
0,x?
y?
0?
n?
1 b 38.设f是?
0,?
?
上有界连续函数，并设r1,r2,?
是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,?
使得：
limn?
?
?
f?
xn?
rn?
?
f?
xn?
?
?
0. 39.设函数f?
x?
在x?
0连续，且limx?
0 f?
2x?
?
f?
x?
?
a,求证：
f’?
0?
存在且等于a. x 1n 40.无穷数列?
an?
?
bn?
满足limn?
?
an?
a,limn?
?
bn?
b,证明:
lim?
aibn?
1-i?
ab. n?
?
ni?
1 41.设f是?
0,?
?
上具有二阶连续导数的正函数，且f’?
x?
?
0,f’’有界，则limt?
?
f’?
t?
?
0 42.用?
?
?
分析定义证明limt?
?
1 x?
31 ?
x2?
92 43.证明下列各题 ?
1?
设an?
?
0,1?
，n?
1,2,?
试证明级数?
2nann?
1?
an?
n收敛； n?
1 ?
?
2?
设?
an?
为单调递减的正项数列，级数?
n2014an收敛，试证明limn2014an?
0; n?
?
n?
1 ?
?
3?
设f?
x?
在x?
0附近有定义，试证明权限limx?
0f?
x?
存在的充要条件是：
对任何趋于0的数列?
xn?
?
yn?
都有limn?
?
?
f?
xn?
?
f?
yn?
?
?
0. ?
1?
44.设?
an?
为单调递减数列的正项数列，级数?
anln?
1?
an?
0?
?
?
收敛，试证明limn?
?
n?
n?
1?
a?
1。
45.设an?
0，n=1,2，an?
a?
0,,证limn n?
?
?
46.设f为上实值函数，且f＝1，f?
＝〔1，＋?
〕 limf存在且小于1＋。
x?
＋?
4 ，证明x?
1）2 x2＋f ?
47.已知数列{an}收敛于a，且 a?
a?
?
?
asn?
，用定义证明{sn}也收敛于a n 48.若f?
x?
在?
0,?
?
?
上可微，lim n?
?
f ?
0，求证?
0,?
?
?
内存在一个单 x?
?
x 调数列{?
n}，使得lim?
n?
?
?
且limf?
?
0 n?
?
x?
?
e?
sinx?
cosx?
x?
0 49.设f?
x?
?
?
2,确定常数a,b,c,使得f’’?
x?
在?
?
?
?
?
处处存在。
?
?
ax?
bx?
c,x?
0
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