高中数学各章节知识点汇编汇总.docx

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高中数学各章节知识点汇编汇总

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高中数学各章节知识点汇编汇总

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高中数学各章节知识点汇编汇总

第一章集合与命题

一、集合

1.1集合及其表示方法

集合的概念

1、把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合简称集

2、集合中的各个对象叫做这个集合的元素

3、如果a是集合A的元素，就记做a∈A，读作“a属于A”

4、如果a不是集合A的元素，就记做a∉A，读作“a不属于A”

5、数的集合简称数集：

全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N

不包括零的自然数组成的集合，记作N

全体整数组成的集合，即整数集，记作Z

全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q

全体实数组成的集合，即实数集，记作R

我们把正整数集、负整数集、正有理数、负有理数、正实数集、负实数集表示为Z、Z、Q、Q、R、R

6、把含有有限个数的集合叫做有限集、含有无限个数的集合叫做无限极

7、空集是指不用含有任何元素的集合，记作∅

集合的表示方法

1、在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再画一条竖线，在竖线之后写上集合中元素所共同具有的特性，这种集合的表示方法叫做描述法

1.2集合之间的关系

子集

1、对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B的子集，记做AB或BA，读作“A包含于B”或“B包含A”

2、空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集

3、用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图

相等的集合

1、对于两个集合A和B，如果AB，且BA，那么叫做集合A与集合B相等，记作“A=B”，读作“集合A等于集合B”，如果两个集合所含元素完全相同，那么这两个集合相等

1.3集合的运算

交集

1、由交集A和交集B的所有公共元素的集合叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B

并集

1、由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合叫做集合A、B的并集，记作A∪B，读作A并B

补集

1、在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合叫做全集

2、U是全集，A是U的子集。

则由U中所有不属于A的元素组成的集合叫做A在全集U中的补集，记作CA，读作A补

二、四种命题的形式

1.4命题的形式及等价关系

命题与推出关系

1、可以判断真假的语句叫做命题，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题

2、命题有可推导性

四种命题形式

1、“如果α，那么β”，如果把结论与条件互换，得到新命题“如果β，那么α”这个新命题叫做原来命题的逆命题

2、一个命题的条件与结论分别是另一个命题结论的否定与条件的否定，那么把这两个命题互称逆否命题

3、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，那么把这两个命题互称否命题

等价命题

1、如果A、B是两个命题，AB，BA，那么A、B叫做等价命题

2、等价命题原命题与逆否命题的等价命题

三、充分条件与必要条件

1.5充分条件，必要条件

1、αβ，那么α叫做β的充分条件，β叫做α的必要条件

2、既有αβ，又有βα，既有αβ，α是既是β的充分条件，又是β的必要条件，α是β的充分必要条件，简称充要条件

1.6子集与推出关系

1、设A、B是非空集合，A=｛a│a具有性质α｝，B=｛b│b具有性质β｝，则AB，与αβ等价

第二章不等式

2.1不等式的基本性质

1、如果a＞b，b＞c，那么a＞c

2、如果a＞b，那么a+c＞b+c

3、如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc

4、如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d

5、如果a＞b＞0，那么a＞b（n∈N）

6、如果a＞b＞0，那么＞（n∈N，n＞1）

2.2一元二次不等式的解法

1、整式不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，正阳的不等式叫做一元二次不等式

2、a、b是区间的端点

集合｛x│a≤x≤b｝叫做闭区间，表示为[a，b]

集合｛x│a＜x＜b｝叫做开区间，表示为（a，b）

集合｛x│a≤x＜b｝或集合｛x│a＜x≤b｝叫做半开半闭区间，表示为[a，b）或（a，b]

把实数集R表示为（-∞，+∞），把集合｛x│x≥a｝、｛x│x＞a｝、｛x│x≤b｝、｛x│x＜b｝表示为[a，+∞）、（a，+∞）、[-∞，b）、（-∞，b）

2.3其他不等式的解法

分式不等式

形如＞0或＜0（其中f（x）、g（x）为整式且g（x）≠0）的不等式称为分式不等式

含绝对值的不等式的解法

不等式│x│＜a（a＞0）的解集为（-a，a），│x│＞a（a＞0）的解集为（-∞，-a）∪（a，+∞）

2.4基本不等式及其应用

1、对任意实数a和b有a+b≥2ab，当且仅当a=b时等号成立

2、对任意正数a和b，有≥，当且仅当a=b时等号成立

第三章函数的基本性质

3.1函数的概念

1、体现了从x的合集到y的合集的一种对应关系，这种关系叫做函数关系

2、在某个变化过程中有两个变量，x、y，如果对于x在某个实数集合D内每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与它对应，那么y就是x的函数，记作y=f（x）x∈D，x叫做自变量，y叫做因变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域

3.2函数关系的建立

1、函数关系的建立一般应用于应用题中

3.3函数的运算

1、一直两个函数y=f（x）（x∈D），y=g（x）（x∈D），设D=D∩D把函数y=f（x）与y=g（x）都有意义，把函数y=f（x）+g（x）（x∈D）叫做函数y=f（x）与y=g（x）的和

3.4函数的基本性质

1、如果对于函数y=f（x）的定义域D内的任意实数x，都有f（-x）=f（x），那么就把函数y=f（x）叫做偶函数

2、如果对于函数y=f（x）的定义域D内的任意实数x，都有f（-x）=-f（x），那么就把函数y=f（x）叫做奇函数

3、x∈（-∞，0]，x逐渐增加是，函数值y逐渐减小，当x∈[0，+∞），x逐渐增加，函数值y逐渐增加，函数的这两个性质都叫做函数的单调性

4、一般地，对于给定区间上I的函数y=f（x）

如果对于属于这个区间I的自变量的任意两个值x、x，当x＜x时，都有f（x）＜f（x），那么就说函数y=f（x）在这个区间上是单调增函数，简称增函数

如果对于属于这个区间I的自变量的任意两个值x、x，当x＜x时，都有f（x）＞f（x），那么就说函数y=f（x）在这个区间上是单调减函数，简称减函数

5、设函数y=f（x）在x处的函数值是f（x）

如果对于定义域内任意x，不等式f（x）≥f（x）都成立，那么f（x）叫做函数y=f（x）的最小值，记作y=f（x）

如果对于定义域内任意x，不等式f（x）≤f（x）都成立，那么f（x）叫做函数y=f（x）的最大值，记作y=f（x）

第四章幂函数、指数函数和对数函数（上）

一、幂函数

4.1幂函数的性质与图像

1、函数y=x（k为常数，k∈Q）叫做幂函数

二、指数函数

4.2指数函数的图像与性质

1、函数y=a（a＞0，a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量作为指数，a为底数，函数的定义域是R

指数函数y=a的函数值恒大于零

指数函数y=a的图像经过点（0,1）

函数y=a（a＞1）在（-∞，+∞）内是增函数

函数y=a（0＜a＜1）在（-∞，+∞）内是减函数

三、对数

4.4对数概念及其运算

1、如果a（a>0,a≠1）的b次幂等于N，即a=N，那么数b叫做以a为底N的对数

2、㏒N=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN，以无理数e=2.71828…为底对数，记作㏑N

3、如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么

㏒（MN）=㏒M+㏒N

㏒=㏒M—㏒N

㏒M=n㏒M

对数换底公式：

㏒N=.（其中a>0，a≠1，b>0，b≠1，N>0）

四、反函数

4.5反函数的概念

1、x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数，记作x=f（y）自变量常用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为y=f（x）（x∈A）

五、对数函数

4.6对数函数的图像与性质

1、函数y=㏒x（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，+∞）

2、对数函数y=㏒x的图像都在y轴的右方

3、对数函数y=㏒x的图像都经过（1,0）

4、对数函数y=㏒x（a>1），当x>1时，y>0；当0

对数函数y=㏒x（01时，y<0；当00

5、对数函数y=㏒x（a>1）在（0，+∞）上是增函数，对数函数y=㏒x（0

六、指数方程和对数方程

4.7简单的指数方程

1、指数里含有未知数的方程叫做指数方程

4.8简单对数方程

1、在对数符号后面有未知数的方程叫做对数方程

第五章三角比

一、任意角的三角比

5.1任意角及其度量

1、一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的

2、用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制

3、把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角

4、如果一个半径为r的圆心角α所对的弧长为ι，那么比值就是角α的弧度数的绝对值，即|α|=

5.2任意角的三角比

1、任意角的三角比：

sinα===cosα===

tanα===cotα===

2、在平面直角坐标系中，称以原点O为中心，以1为半径的圆

3、第一组诱导公式：

当两个角有共同的始边且他们的终边相重合时，根据任意角三角比的定义，可知这两个角的同名三角比是相等的，即

sin（2kπ+α）=sinαcos（2kπ+α）=cosα

tan（2kπ+α）=tanαcot（2kπ+α）=cotα其中k∈Z

二、三角恒等式

5.3同角三角比的关系和诱导公式

同等三角比的关系和诱导公式

1、sinα·cscα=1tanα=sin²α+cos²α=1

诱导公式

1、第二组诱导公式：

sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosα

tan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα

2、第三组诱导公式

sin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosα

tan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotα

3、第四组诱导公式

sin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosα

tan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα

5.4两角和与差的余弦、正弦和正切

1、两角差的余弦公式cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ

2、两角和的余弦公式cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ

3、第五组诱导公式：

sin（－α）=cosαcos（－α）=sinα

tan（－α）=cotαcot（－α）=tanα

4、第六组诱导公式

sin（﹢α）=cosαcos（+α）=－sinα

tan（+α）=－cotαcot（+α）=－tanα

5、两角和的正弦公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

6、两角差的正弦公式sin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ

7、两角和与差的正切公式tan（α+β）tan（α－β）

8、asinα+bsinα=sin（α+β）

5.5两倍角与半角的正弦、余弦和正切

1、二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α=2sinαcosαcos2α=cos²α－sin²αtan2α=

cos2α=2cos²α－1=1－2sin²α

2、半角的余弦、正弦和正切公式

tan=tan=

3、万能置换公式

sinα=cosα=tanα=

三、解斜三角形

5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形

1、正弦定理

==

A²=b²+c²－2bccosA

B²=a²+c²－2accosB

c²=a²+b²－2abcosC

2、余弦定理

cosA=cosB=cosC=

第六章三角函数的图像与性质

1、任意一个实数x都对应着唯一确定的角，而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx.这样，对任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与他对应。

按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=sinx，他叫做正弦函数或余弦函数.它们的定义域是实数集R

一、周期性

1、一般地，对于函数f（x），如果存在一个常数T（T≠0）,使得当x取定义域D内的任意值时，都有f（x+T）=f（x）成立，那么函数f（x）叫做周期函数，常数T叫做函数f（x）的周期

6.2正切函数的图像与性质

1、对于任意一个实数x（x≠kπ+，k∈Z）都有唯一确定的值tanr与它对应.按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=tanr，叫做正切函数

6.5最简三角方程

1、把含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程.把满足三角方程的所有x的集合叫做三角方程的解集

2、在三角方程中，形如sinx=a，cosx=a，tanx=a的方程叫做最简三角方程

第七章数列与数学归纳法

一、数列

7.1数列

1、按一定顺序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和项的序数有关，排在第一位的书称为这个数列的第1项（首项），排在第二位的数称为整个数列的第2项，……排在第n为的数称为这个数列的第n项，数列的一般形式可以写成a，a，a，……a，……

2、项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列，

3、从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列

从第2项其每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列

各项相等的数列叫做常数列

4、如果数列{a}的第n项a与项的序数n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式

5、如果数列{a}的任意一项a与它的前一项a（或前几项）之间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式

7.2等差数列

等差数列及其通项公式

1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用小写字母d表示

2、设a、A、b是等差数列，A叫做a与b的等差中项，如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数

3、等差数列{a}的通项公式a=a+（n-1）d

4、a=a+d（n≥2）是以a为首项，以d为公差的等差数列{a}的递推公式

等差数列的前n项和

1、等差数列{a}的前n项和的公式S=或S=na+d

7.3等比数列

等比数列及其通项公式

1、如果一个数列a，a，a，……a，……，从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数：

=q（n≥2）那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用小写字母q表示（q≠0）

2、由=q（n≥2）的得到a=aq（n≥2），它是以a为首项、以q为公比的等比数列{a}的递推公式

3、设a、G、b是等比数列，那么由等比数列的定义，有G=ab，G叫做a与b的等比中项，如果三个数成等比数列，那么等比中项的平方等于另两项的积

3、等比数列{a}的通项公式a=aq

等比数列的前n项和

1、以a为首项，以q为公比的等比数列前n项和的公式为

S=或S=（q≠1）

S=na（q=1）

二、数学归纳法

7.4数学归纳法

1、数学归纳法步骤：

（ⅰ）证明当n取第一个值n（n∈N）命题成立

（ⅱ）假设n=k（k∈N，k≥n）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立

（ⅲ）命题对于从n开始的所有正整数n都成立

7.5数学归纳法的应用

7.6归纳—猜想—论证

三、数列的极限

7.7数列的极限

数列的极限

1、在n无限增大的变化过程中，如果无穷数列{a}中的a无限趋近与一个常数A，那么A叫做数列{a}的极限，或叫做数列{a}收敛于A，记作=A，读作n趋向于无穷大时，a的极限等于A

2、当│q│＜1时，q=0

3、=0

极限的计算法则

1、设a=A，b=B

（a±b）=a±b=A+B

（a·b）=a·b=A·B

==（B≠0）

（C·a）=C·a=C·A

7.8无穷等比数列各项的和

1、│q│＜1的无穷等比数列的前n项和S当n→∞时的极限叫做无穷等比数列各项的和S=（│q│＜1）

第八章平面向量的坐标表示

8.1向量的坐标表示及运算

1、在平面直角坐标系内，方向分别于x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为和，向量的起点置于坐标原点O，作=，叫做位置向量

2、两点之间距离公式，求向量的模，││=

8.2向量的数量积

向量的夹角

1、对于两个非零向量和，如果以O为起点，作=，=，那么射线OA、OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，θ的取值范围是0≤θ≤π

2、当θ=0时，表示向量和向量方向相同

当θ=π时，表示向量和向量方向相反

夹角θ=0或θ=π的两个向量是相互平行的

夹角θ=的两个向量是相互垂直的，记作⊥

向量的数量积

1、如果两个非零向量、的夹角θ（0≤θ≤π），那么││││cosθ叫做向量与向量的数量积，记作·，即·=││││cosθ

2、在数量积的定义·=││││cosθ中，││cosθ叫做向量在向量的方向上的投影

3、当0≤θ≤时，有向线段的值等于向量的模││

当≤θ≤π时，有向线段的值等于-││

夹角θ=时，有向线段的值等于零

4、两个向量、的数量积是其中的一个向量的模││与另一个向量在向量的方向上的投影││cosθ的乘积

5、·=││≥0，当且仅当·=0时，=·=·

（λ）·=·（λ）=λ（·）·（+）=·+·

向量的数量积和坐标表示

1、·=xx+yy

2、·=0xx+yy=0

8.3平面向量的分解定理

1、如果、是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ、λ，使=λ+λ

8.4向量的应用

第九章矩阵和行列式初步

一、矩阵

9.1矩阵的概念

1、矩阵，矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素

2、矩阵叫做方程的系数矩阵，是2行2列的矩阵，可记作A

3、矩阵叫做方程组的增广矩阵，是2行3列的矩阵，可记作

4、1行2列的矩阵（1，-2）叫做系数矩阵的两个行向量，2行1列的矩阵叫做系数矩阵的两个列向量

5、叫做单位矩阵

9.2矩阵的计算

1、只有矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时，矩阵之积AB才有意义

2、一般AB≠BA

二、行列式

9.3二阶行列式

二阶行列式

1、叫做行列式，并且它只有两行两列，所以把它叫做二阶行列式，ab-ab叫做行列式的展开式，其计算结果叫做行列式的值，a、a、b、b都是行列式的元素，利用对角线可把二阶行列式写成它的展开式，这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法则行列式一般可用大写字母表示D=

2、当D≠0时，方程的解可用二阶行列式表示为，由于行列式D是由方程中未知数x、y的系数组成的，通常被叫做方程组的系数行列式

作为判别式的二阶行列式

1、当D≠0时，方程有唯一解，D叫做方程组解的判别式

9.4三阶行列式

三阶行列式

1、=abc+abc+abc-abc-abc-abc

叫做行列式，并且它三行三列，所以把它叫做三阶行列式，abc+abc+abc-abc-abc-abc叫做行列式的展开式，其计算结果叫做行列式的值，a、a、a、b、b、b、c、c、c都是行列式的元素，利用对角线可把三阶行列式写成它的展开式，这种方法叫做三阶行列式展开的对角线法则

2、按一行或一列展开

1、叫做元素a的余子式即a的余子式

三元一次方程组的行列式解法

1、设三元一次方程组

D=D=

D=D=

当D≠0时，方程组有唯一解

第十章算法初步

10.1算法的概念

1、对于一类有待求解的问题，如果建立了一淘通用的解题方法，按部就班地实施这套方法就能使该类问题得以解决，那么这套解题方法是求解该类问题的一种算法

10.2程序图框

1、为了使算法的表述更加简练，结构更加清晰，人们常用含有算法内容的框和箭头构成的图来表示算法，这种图也叫算法的程序框图

10.3计算机语句和算法程序

赋值语句

1、赋值语句：

被复制变量名=由数值或已经被赋值的变量组成的表达式

输入语句

1、输入变量=input

输出语句

1、print（%io

（2），变量1，变量2，变量3，……）

2、disp（变量1，变量2，变量3，……）或disp

条件语句

1、if条件表达式then

语句组A

else

语句组B

end

循环语句

1、for循环变量=初值：

步长：

终值

循环体

end