线性代数部分讲义.docx
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线性代数部分讲义
第一章
行列式
、知识结构网络图
概念不同行不同列元素乘积的代数和（共n!
项）
经转置行列式的值不变
某行有公因数k,可把k提到行列式外
性质某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和两行互换行列式变号
某行的k倍加至另一行，行列式的值不变
n
Aa^Aj（按i行展开）
展开式j1代数余子式
n
AaijAj（按j行展开）
i1
三角化法
数字型公式法
行递推法
行计算一
列用行列式性质
式抽象型用矩阵性质
用特征值|Ai
Ax0有非零解
反证法
证A0rAn
0是A的特征值
AA
Ax0有非零解
伴随矩阵求逆法
线性相关（无关）判定
应用
可逆的证明
克莱姆法则
特征值计算
点评：
（）二、三阶行列式
abadbe
cd
这样的计算方法对4阶及4阶以上行列式不适用
（2）对行列式的性质3要理解正确,例如
ba2b2a3b3
GC2C3
bib2b3
C1C2C3
did2d3
did2d3
did2d3
对于n阶矩阵Aaij,B
有ABajbj,由于
行列式AB中每一行都是两个数的和，所以若用性质
3把行列式AB拆开，则AB应当是2n个n阶行列式之和，不要错误的认为ABAB.
重要定理
a-n
M
a12
a22
M
a1n
a2n
M
ann
定理1.1n阶行列式
3n2
等于它的任意一行的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和，即
Dak1Ak1ak2Ak2LaknAknk1,2,L,n.1.3
公式1.3称为行列式按第k行的展开公式.
定理1.2n阶行列式D等于它的任意一列的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和，即
公式1.4称为行列式按第定理1.3设n阶行列式
an
a21
M
a12
a22
M
a1n
a2n
M
a.2
元素aj的代数余子式为Aj,当i
ai2Ak2LainAkn
i,k
1,2,L,n时，有
ai1Ak1
当jkj,k
a1jA|k
注在n阶行列式
中划去元素aj所在的第成一个n-1阶的行列式
L,n
A2k
时,
L
有
3njAnk
0
1.6
a12
L
a1n
a22
L
a2n
M
M
an2
L
ann
i行、
第j列，由剩下的元素按原来的排法
a11
L
a1
j1
a1j1
L
ain
M
M
M
M
a1,1
L
ai
1,j1
a1,j1
L
ai1,n
ai1,1
L
ai
1,j1
a1,j1
L
ai1,n
M
M
M
M
an1
L
an
j1
an,j1
L
ann
0
1.5
a2j
，构
0n1
an
321
M
Da1kA]k+a2kA2k+L+ankAikk1,2,L,n.1.4
k列的展开公式.
称其为aj的余子式，记为Mj而称-「jMj为aj的代数余子式，记为Aj,即
1.2
i+j
Aj-1Mij
三主要公式
1上下三角行列式的值等于主对角线元素的乘积
a21
a22
M
M
O
M
an1
an2
L
ann
a22
aiiai2Lainan
a11
a12
L
a1,n-1
an1
0
L
0
a1n
a21
a22
L
a2,n-1
0
0
L
a2,n-1
a2n
M
M
M
M
M
M
M
an1
0
L
0
0
an1
L
an,n-1
ann
a2n
M
ann
2关于副对角线的行列式
nn1
-1Faina2,n-iLani.1.8
3两个特殊的拉普拉斯展开式
1.7
aiia22Lann,
an
L
a1n
C11
L
c1m
an
L
a1n
0
L
0
M
M
M
M
M
M
M
M
an1
L
ann
Cn1
L
Cnm
an1
L
ann
0
L
0
0
L
0
bn
L
b1m
C11
L
C1n
bn
L
b1m
M
M
M
M
M
M
M
M
0
L
0
bm1
L
bmm
Cm1
L
cmn
bm1
L
bmm
an
L
a1n
bn
L
blm
M
M
M
M
1.9
an1
L
ann
bm1
L
bmm
C11
L
c1m
an
L
a1n
0
L
0
an
L
a1n
M
M
M
M
M
M
M
M
Cn1
L
cnm
an1
L
ann
0
L
0
an1
L
ann
L
b1m
0
L
0
bn
L
blm
C11
L
C1n
M
M
M
M
M
M
M
M
bm1
L
bmm
0
L
0
bm1
L
t^mm
Cm1
L
cmm
a11
L
a1n
bi1
L
blm
mn
1
M
M
M
M
1.10
an1
L
ann
bm1
L
bmm
4范德蒙行列式
1
1
L
1
X
X2
L
Xn
2
2
L
2
X
X2
Xn
XXj
1jin
M
M
M
n-1n-1
X1X2L
n-1
Xn
5特征多项式
1.11
设Aaij是3阶矩阵，则A的特征多项式
|-A3ana22a332S2A1.12
其中S2
a11a12
a21a22
a11a13
a31a33
a22a23
a32a33
四•方阵行列式
1若A是n阶矩阵，则|kA|knA;2若A,B都是n阶矩阵，则|AB3若A是n阶矩阵，则A|A|n1
4若A是n可逆阶矩阵，则|A-15若A是n阶矩阵，ii1,2,L
n
则Ai;1.16
i1
6若A:
B,则A|B.
五.克莱姆法则
若线性方程组
a〔1x
812X2L
a?
1X1
822X2L
L
L
a
n1X1
an2X2L
的系数行列式
a11
a12
L
D=
a21
a22
L
an1
an2
L
则方程组有惟解
D1
D2・
X1=
X2=
L
D
D
其中
a11
n
a21
Dj=
bAj二
i1
M
an1
推论若齐次线性方程组
a〔1x
821X1
an1x1
AB;
1.14
1
A
n是A的特征值,
1.17
a1nXnbl
a2nXn6
L
annXnbn
1.12
1.13
1.15
Xn:
Dn
D
L
a1j-1
b1a1j+1
L
a1n
L
a2j-1
b2a2j+1
L
a2n
M
MM
M
L
anj-1
bnanj+1
L
ann
a〔2X2
L
amXn0
822X2
L
a2nXn0
LL
L
L
an2X2
L
annXn0
a1n
a2n0
ann
1.18
的系数行列式不为0，则方程组只有零解.
数字型行列式
A1;B2;C3;
D4.
3.四阶行列式
ai00
0a2b2
0b3a3
b400
bi
0的值等于
0
a4
Aa1a2a3a4-b|b2b3b4
Ba1a2a3a4b1b2b3b4
Caia2-bb2a3a4-b3b4
D-bb3aia4-bib4
4计算
1aa1
11
11
a1xa2
xx5.
0x
00
a-10
a2x-1
6.
a30x
a400
数为
1111
1200
.1030
1004
含参数行列式
1•若5678
00x3
0,则x
1234
0,则x
11112x31
33x6
446x
3
1
1
2石
1
5
1
0,则
1
1
3
322
3•若k1k0,则
抽象行列式
1.,,1,2,3均为4维列向量，已知A1235,B
123-1,则AB
A4B6c32D48
2已知1,2,3,，均4维列向量，若4阶行列式
123
=a,
123
=b,那么4阶行列式
212
3
A2abB2baC2a2bD2a2b
3•设A,B均为n阶矩阵，
A
2,
B
3,则
1*T
-AB
2
4**4
ABAB1
121
4•设A
035,A*是A的伴随矩阵，贝V1A*
2
242
第二章矩阵
概念m
A
运算--
n个数排成的m行n列的表格
B,kA
AB
At
方阵的幕
LLL
ia1ai2
LLL
an
L
b1j
b2j
M
矩阵
定义
用定义
逆矩阵
求法
秩性计算
特殊矩阵
初等变换
AI\E
qLi
M
j
设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B使得
ABBAE单位矩阵
则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵，
成立,
用伴随A
A
用分块A
0
初等变换法
rABmin
B是A的逆矩阵.
伴随矩阵--A
EMA1
1A*
IA
1
0
0
B1
定义法
A,rB;如A可逆，则r
对称矩阵--at反对称矩阵--A
正交矩阵--AAt
对角矩阵12
0
A1
AB
An
AI2
M
A21
A22
M
A.1
A12**
AAAA
M
AE
An
A2n
An
aj
A
AtA
aji
ai
0，aijaji
A-1At
-i
a2
a3
ai
a2
1
a3
1用非零常数k乘矩阵的某一行2互换矩阵某两行列的位置;3把某行列的k倍加至另一行
1转置
A；
at
TtT
ABAtBt;
TT
kAkA;
ABTBTAT.
2可逆
kA
1a1k
k
AB
at
A1
A1
1
A；
1
3伴随
AA
AA
AE；
A
AA1；
A
iE1
A；
A
1
A
11八
RA;
A
TT
A
5
n
如果rA
n,
rA
1
如果rA
n1,
0
如果rA
n1.
4秩
rArAt;
当k0时,r（kA）r（A）;
rABrArB
r（AB）minrA,r（B）
若A可逆，则r（AB）r（B）,r（BA）r（B）.
若A是m
n矩阵*是ns矩阵,AB0,则r（A）
r（B）n
（5）分块矩阵
n
A
An
B
Bn
若B,C分别是
m阶,n阶可逆矩阵，则
B
i1i
0B00B0
c1
0
C0C1,C0B1
0
三矩阵运算
1•已知
（12
1）,
（1-0）T,AT，则A4
2
24
6
2•已知A
12
3
，则An.
12
3
3.
设是3维列向量，丁是的转置，若
1
11
1
11
，则
T
1
11
02
3
4若A
00
4,
则A2,A3.
00
0
1
00
5.设
A
2
10，则A.
0
31
2
0
1
1
00
6.
已知A
0
3
0
，B
0
10，若X满足AX2BBA
2
0
2
0
00
则X4
0
1
0
7.
设A
1
0
0B
P
1AP，其中P为3阶可逆矩阵，
0
0
1
则B20042A2
2X,
四可逆矩阵
2
2
3
1.若A
1
1
0，则A
1
2
1
002
1
2.设A
丄130，则A1
2
250
3.设矩阵A
A23A2E,贝UB
11
4•设2，丄,,是1n矩阵，AET,BEaT,其中E是n阶单位矩阵，A
的逆矩阵是B,则a.
1
5若A是n阶矩阵，满足A23A2E0,贝VAE.
1
0
0
0
6.设A
2
3
0
0,E为4阶单位矩阵，且BEA1EA，则
0
4
5
0
0
0
6
7
1
EB
7.设代B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB2AB,
202
B040，贝U（AE）1.
202
五
矩阵的
秩
1.求矩阵A的秩，其中
a,b是参数，
1
11
1
0
11
b
A
2
3a
4
3
51
7
234
1
2.设A6t2,B
3234，若秩rAAB2,则
463
0
t
3.已知n3阶矩阵
1aaLa
a1aLa
Aaa1LaMMMM
aaaL1
的秩为n1,求a.
六矩阵方程
0
1
1
2
2
1
1.x0
2
2
4
0
2,则x.
1
0
0
0
6
6
2.
已知X
XA
1112
B,其中A,B
1134
则X
1
0
1
3.设矩阵A0
2
6满足AXEA2X,则X
1
6
1
4.已知A,B均3阶矩阵，矩阵X满足
AXABXBBXAAXBE
其中E是3阶单位矩阵，则
X
AA2
B2
1
11
BABAB
CA
B
11
AB
D条件不足,不能确定
1
0
1
5.若XA1
3A
X,
其中A
0
1
0,则X.
3
0
1
6.若2E
C1B
AT
C1,其中
12
3
1
2
0
B
01
2
C0
1
2
00
1
0
0
1
则A
第三章n维向量
一、知识结构网络图
向量组的秩-矩阵的秩
定义在向量组1,2丄，s中,如存在r个向量i1,i2,L,ir,线性无关，再加进任一个向量
jj1.2.L,s就线性相关，则称ii,i2,L,ir是向量组1,2,L,s的一个极大线性无关组
定义向量组1,2丄，s的极大线性无关组中所含向量的个数r称为这个向量组的秩.
二、重要定理
定理3
向量组1,2丄，
s线性相关
X1
齐次线性方程组
1,2丄,
sX20有非零解
M
Xs
向量组的秩r1,
2,L,s
s.
推论1
n个n维向量1,2丄
n线性相关的充分必要条件是行列式
|1,2丄，n|0
推论2
n1个n维向量一定线性相关.
定理3.2如果向量组1,2丄,s的一个部分组线性相关，那么向量组1,2丄，s亦线性相关
;反之，如果1,2,L,s线性无关，那么它的任一部分组都线性无关.
定理3.3设1,2丄，提m维向量，1,2丄，$是^1维向量,令
12s
1,2,L,s,
12s
其中1,2,L,s,是mn维向量.如果1,2丄，s线性无关，则1,2,L,s,线性无关；反之，
若1,2,L,s线性相关，则1,2丄，s线性相关.
三、线性相关
1.下列向量组中，线性无关的是
A）（1，2，3，4）T，（2,3,4,5）T,（0,0,0,0）T.
（B）（a,b,c,）T,（b,c,d）T,（d,e,f）T,（f,g,h）T
（C）（a,1,b,0,0）T,（c,0,d,6,0）T,（a,0,c.5,6）T
122
2.设三阶矩阵A
212,三维列向量（a,1,lj，已知A与线性相关，则a
304
3.若1（1，2，3，1）T，2（1,1,2,1）,3（2,6,a,5）T4（3,4,7,1）T线性相关，则a
4若i（1,3,4,-2,）T,2（2,1,3,t）T,3（3,1,2,0）T线性相关，则t.
5.
A）1
22
B）
22
331
3，122
C）
22，2233，33
D）1
3，2132
223，315253
6.已知向量组1，2，3线性无关，向量组1a2，12a13线性相关，则a=
1
0
1
1
2
0
0
0
7.设1
a2,a3
a4
0
7
0
a1
a2
a3
a4
其中1，
2，
3，4为任意实数，
则
A1，
2，
3必线性相关
B
1，
2，3必线性无关
C1，
2，
3，4必线性相关
D
1，
2，3，4必线性无关
1,L
k1,L
km,使（1
k1）1L（mkm）m（1k1）1L（mkm）m0,则
A
1,L
m和
1，L，
m都线性相关
B
1,L
m和
1，L，
m都线性无关
C
1
1,L,
mm
11,L,m
m,线性无关
D
1
1,L,
mm
11,L,m
m,线性相关
8•设有任意两个n维向量组i丄，m和i丄
m
.若存在两组不全为零的数
已知向量组1，2，3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是
四.向量组的秩
1.向量组!
（1,3,
6,2）T,2
2,1,2,
T
1,
31,1,a,2T的
秩为2,则a.
2.向量组11,1,
T
1,1,2
1,
1,
1,
T
1,
T
31,1,1,1,41,1,11
的极大线性无关组是
3.已知向量组11,
T
1,1,3,
2
1,
3,
5,
TT
1,32,6,10,a,
44,1,6,a10丁线性相关，
则向量组
1,
2,
3,4的极大线性无关组是
4.设向量组!
2丄，
s的秩为r,
则（）
A必定rs;
B向量组中任意小于r个向量的部分组无关；
C向量组中任意r个向量线性无关；
D向量组中任r1个向量必线性相关.
5.设A是mn矩阵，且其列向量组线性无关，B是n阶矩阵，满足ABA则秩rB
A等于nB小于nC等于1D不能确定.
6.设A是mn矩形，B是nn■矩阵，则（）.
A当mn,必有行列式|AB0.
B当mn,必有行列式AB0.
C当nm,必有行列式AB0.
D当nm,必有行列式AB0.
7.设A为mn矩阵，秩rAmn,不正确的命题是（）.
AA的行向量组线性无关.
BA中有m个线性无关的列向量.
CA的列向量组线性相关.
DA中任m个列向量线性无关.
第四章线形方程组
、知识结构网络图
阵初等行变换
阶梯形
有解判定rArA
有非0解rAn
Ax0
解的结构
导出组基础解系
Axb
解的结构对非齐次线性方程组Axb,若rArAr,且已知1,2,,n-r是导出组Ax0的基础解系，。
是Axb的某个已知解，则Axb的通解为
0cl1c22cnrnr，
其中C|,C2,，Cnr为任意常数。
如果1,2,，t是Ax0的基础解系
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