第三章《中心对称图形》之基础知识基本问题和基本方法.docx

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第三章《中心对称图形》之基础知识基本问题和基本方法

第三章《中心对称图形》之基础知识、基本问题和基本方法

《图形的旋转》

一、图形的旋转应抓住“旋转中心”和“旋转的角度”这两个要素

1、如图，正方形ABCD中，M是CD的中点.

（1）△ABN是顺时针方向旋转△ADM得到的，则旋转中心是：

，旋转角度等于。

（2）△CEM也是旋转△ADM得到的，则旋转中心是：

，旋转角度等于。

二、要注意旋转中图形相容部分面积的求法：

1、如图，正方形的一个顶点与边长为1的正方形的中心O重合，则两个正方形的重叠部分的面积等于

《中心对称》

一、首先应该明确，中心对称也是一种旋转，从“旋转中心”和“旋转的角度”这两个要素来看，中心对称的“旋转中心”我们称作“”，而中心对称的“旋转的角度”是确定的度，换言之，一个图形绕一个定点旋转一定的角度能与自身重合，它还不一定就是中心对称图形，只有绕一个点旋转度能与自身重合时，我们才能称这个图形是中心对称图形，试问，等边三角形是中心对称图形吗？

。

因为等边三角形绕它的中心旋转180度后与自身重合（填“能”或“不能”），当然，等边三角形绕它的中心至少旋转度后就能与自身重合了。

二、类比学习是很好的记忆和理解知识的方法，所以我们还应该将“轴对称”与“中心对称”结合起来加以区别，如下表：

轴对称

中心对称

有一条对称轴（是直线）

有一个（是一个点）

图形沿对称轴对折后重合（即：

翻折180°）

图形绕旋转度后重合

对称点的连线被对称轴且

对称点连线经过,且被平分

因此，轴对称和中心对称是有区别的，但这并不排除有些图形具有双重对称性，填表（正确的打钩）

线段

角

等腰梯形

等边三角形

平行四边形

矩形

菱形

正方形

圆

轴对称

中心对称

三、对于中心对称的性质，要能准确的对一些“命题”进行判断：

1、关于中心对称的两个图形是全等形（）对

2、两个能够互相重合的图形一定成中心对称（）错

3、成中心对称的两个图形一定能够互相重合（）对

4、把一个图形绕着某一点旋转一定的角度，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形一定成中心对称（错）

5、如果两个图形的对应点连线都经过某一点，那么这两个图形关于这一点成中心对称（）错

6、如果两个图形成中心对称，那么对称点的连线必过对称中心（）对；

7、如果两个图形成中心对称，那么这两个图形的形状和大小完全相同（）对；

8、如果两个图形成中心对称，那么这两个图形的对应线段一定互相平行（）错；

9、如果两个图形成中心对称，那么将一个图形围绕对称中心旋转某个角度后必与另一个图形重合（错）

10、如果两个图形对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点成中心对称（对）

《平行四边形》

一、基础知识：

1、定义：

两组对边分别的四边形叫做平行四边形

2、性质定理：

边：

平行四边形的对边平行且相等

角：

平行四边形的相等，

对角线：

平行四边形的对角线

3、判定定理：

边：

两组对边分别的四边形叫做平行四边形

两组对边分别的四边形是平行四边形

一组对边的四边形是平行四边形

角：

两组对角分别的四边形是平行四边形

对角线：

对角线的四边形是平行四边形

二、基本问题与基本方法：

1、平行四边形是对称图形，两条对角线的交点是它的，进一步的，经过两条对角线的交点任意一条直线都将平行四边形分成了两部分全等

（1）如图，口ABCD的对角线相交于点O，一条直线经过点O，交AD于点E,交BC于点F，试问OE=OF吗？

为什么？

（2）如图，沿平行四边形的一条边，剪去一个矩形，你能只画一条直线，就将该多边形分成面积相等的两部分吗？

试试看。

2、从定义来看，平行四边形的对边是平行的，于是我们可以运用“平行+角平分线→等腰三角形”的规律来解题

（1）如图口ABCD中，∠C=108°，

BE平分∠ABC，则∠AEB=°，

图中那个三角形是等腰三角形？

（2）如图口ABCD中，BC=5，BC=3，∠B和∠C的平分线分别交AD于E、F，则AF=，EF=，ED=；如果改变AB的长度，其它条件保持不变，能否使E、F两点重合呢？

，而当E、F两点重合时，AB=

（3）口ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，AE︰ED=3︰2,CD=6，求口ABCD的周长。

3、“对角线互相平分”是平行四边形的一条重要属性：

（1）“对角线互相平分”为求线段长提供方便，如：

①如图，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC+BD=18，BC=6,则△AOD的周长是

②如图，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△AOD的周长小3cm，若AB=5cm，则口ABCD的周长是cm

③□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果AC＝14，BD＝8，AB＝x，那么x的取值范围是______________．

（2）“对角线互相平分”为证明平行四边形提供了快捷证法，

如：

□ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且BE=DF，试说明四边形AECF是平行四边形

（3）“对角线互相平分”还启示我们：

平行四边形的两条对角线分出的四个三角形是等积图形（想一想，为什么？

）

4、面积问题：

要注意：

“等底等高”和“同底等高”的灵活运用

（1）如图，P是□ABCD中AD边上的一个动点，已知□ABCD的面积为a，那么△PBC的面积等于，如果点P在直线AD上运动，那么△PBC的面积将（填“变”或“不变”），你知道其中的道理吗？

（2）已知□ABCD的对角线相交于点O，若S△AOB=6，则S□ABCD=

（3）在□ABCD中，AF⊥CD的延长线于F，AE⊥CB的延长线于E，AB=6，AD=4，AF=3，求AE的长。

（4）某市有一块呈四边形的休闲广场，如图，在它的四个角A、B、C、D处均装有一个照明灯，为了响应建设文明城市的需要，决定将广场面积扩大1倍，又必须保留四个照明灯，并要求扩建后的休闲广场为平行四边形形状，请问该市能否实现这一设想？

若能，请设计并说明理由。

（5）如图在□ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的任意两点，

，则S阴影=。

5、平行四边形的识别问题：

（1）（拼图识别）把边长为3、4、5的两个三角形拼成四边形，一共能拼成个不同的四边形，其中有个平行四边形。

（2）（运用定义）给定平面上不在同一直线上的三个点，则以此三点为顶点的平行四边形有

个

（3）（运用角的特征）下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）

A、1︰2︰3︰4B、2︰2︰3︰3C、2︰3︰2︰3D、2︰3︰3︰2

（4）（综合命题）不能识别四边形ABCD是平行四边形的条件是（）

A、AB∥CD，AB=CDB、AD∥BC，AB∥CD

C、AB=CD，∠B+∠C=180°D、AB∥CD，AD=BC

（5）（执果导因，添加条件型）已知四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件AB∥CD，那么还需要添加一个什么条件，就可以判定四边形ABCD是平行四边形？

（至少回答出三种情况：

、、。

（6）（动点问题）如图已知正方形ABCD的边长为6cm，动点E由B向A以2cm/s的速度移动，动点F由C向D以1cm/s的速度移动，E、F同时由B、C出发，问：

几秒钟后四边形BFDE是平行四边形？

（思路点拨：

四边形BFDE已经具备了一组对边BE与DF平行的条件，所以只需要再满足BE与DF两边相等的条件，即可说明四边形BFDE是平行四边形了）

《矩形和菱形》

一、矩形和菱形都是一种特殊的平行四边形，这句话说明三层意思：

1、矩形属于平行四边形，所以它具有的一切性质

菱形属于平行四边形，所以它具有的一切性质

2、矩形是平行四边形中比较特殊的一种，这种特殊性表现为：

（1）从定义看：

矩形有一个角是

（2）从性质定理1看，矩形的

（3）从性质定理2看，矩形的对角线。

菱形是平行四边形中比较特殊的一种，这种特殊性表现为：

（1）从定义看：

菱形有一组相等

（2）从性质定理1看，菱形的

（3）从性质定理2看，菱形的对角线且。

3、由于上述特殊性的存在，导致了矩形和菱形的判定要比平行四边形的判定更为复杂，这种复

杂性表现为：

（1）从定义来看，要证明一个四边形是矩形，必须先要证明它是平行四边形，再证明这个平行四

边形有一个角是，因为定义说：

。

从定义来看，要证明一个四边形是菱形，必须先要证明它是平行四边形，再证明这个平行四

边形有一组，因为定义说：

。

（2）从判定定理1来看，要证明一个四边形是矩形，必须要证明这个四边形。

因为判定定理1的内容是：

。

从判定定理1来看，要证明一个四边形是菱形，必须要证明这个四边形。

因为判定定理1的内容是：

。

（3）从判定定理2来看，要证明一个四边形是矩形，必须先要证明它是平行四边形，再证明这

个平行四边形的，因为判定定理2的内容是：

。

从判定定理2来看，要证明一个四边形是菱形，必须先要证明它是平行四边形，再证明这

个平行四边形的，因为判定定理2的内容是：

。

4、总之，由于矩形的特殊性，所以凡是涉及矩形的题目，都必须考虑到“直角”和“对角线相

等”这两个结论，同样，凡是涉及菱形的题目，都必须考虑到“四条边都相等”和“对角线互相垂直”这两个结论，而且通常情况下，没有运用到这些特殊结论的解法，都肯定是错误的。

但是，实际运用中，也不是机械的直接套用，而是有一个转化、变换理解、推广与综合其他知识的过程，这就是我们下面要举例讨论的。

二、矩形：

1、矩形的特殊性，首先导致了它具有双重对称性，除了具有本章所描述的中心对称外，还具有轴对称性，并且有条对称轴

2、矩形的个角都是

（1）如果我们能将这句话仔细理解一下的话，应该能想到至少在两个方面的运用：

求角度和运用勾股定理

如：

如图，将矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C’处，BC’交AD于E，AD=8，AB=4，求△BED的面积

（2）事实上，矩形中存在“直角”这一结论，还会与初一时的“同角的余角相等”结合起来，从而为证明三角形全创造条件

如：

如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．试说明AE平分∠BAD．

3、矩形的对角线相等，

如图，应该有AC=BD，这个结论简单吧，但是一旦和“对角线互相平分”结合起来，结论就复杂了，因为“AO=CO，BO=CO”再加上“AC=BD”，不难推出“===”，也就是说，矩形的两条对角线将它分成的四个三角形不但面积都相等，而且都是等腰三角形，具体说来，至少有三方面的意义：

（1）因为都是等腰三角形，所以为在矩形中求角度的问题创造了条件

（2）因为都是等腰三角形，所以题目很可能会再给你一个“60°”，这样，等边三角形就出来了

（图甲）

（3）在第一章里，我们曾从等腰三角形的轴对称性出发，运用折纸，得出结论“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这里运用矩形的对角线的性质，我们也能巧妙的得出这一结论，观察△ABC，BO是斜边AC上的中线，很明显，BO=

，进一步，我们还能运用此图，得出“直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半”（你会吗？

）

另一方面，从解题思路上看，凡知AC，先想AO；凡知AO，先想AC；凡求AO或AC长，应该考虑到是否存在“等边三角形”

问题1：

如图甲，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=6cm，则边AB=，BC=。

问题2：

如图，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分∠ADC交AC于点E，交BC于点F，∠BDF＝15°，则∠COF＝°

问题3：

如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值为

（问题2）

（问题3）

4、矩形的证明：

必须从“直角”和“对角线相等”两方面去想，一般地，如果已知条件只是“四边形”，很可能要从“有三个角是直角”角度去证明；而如果已知条件是“平行四边形”的话，优先使用“对角线相等”的方案比较常见：

问题1：

如图，AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于E、F，EG平分∠AEF，FG平分∠CFE，EH平分∠BEF，FH平分∠EFD,四边形EGFH是矩形吗？

为什么？

问题2：

如图

，ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°，试说明四边形ABCD是矩形

问题3：

菱形ABCD中，E,F,G,H分别为四边的中点，试说明四边形EFGH是矩形

问题4：

如图△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC。

设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。

（1）试说明：

OE=OF

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？

试说明你的理由。

5、关于等积法：

问题1：

如图，矩形ABCD被分成8块，图中的数字是其中5块的面积数，则图中阴影部分的面积为__________

问题2：

矩形ABCD中，E为AB中点，CF⊥DE于点F，若AD=12，AB=10，求CF的长

三、菱形

1、菱形的特殊性，首先导致了它具有双重对称性，除了具有本章所描述的中心对称外，还具有轴对称性，并且有条对称轴

2、菱形的定义是非常重要的一种判定菱形的方法，运用此法的前提是必须先证出是平行四边形，然后再证明一组邻边相等

问题1：

如图，将两个宽度相同的矩形纸条随意重叠，则重叠部分是菱形吗？

请说明理由

问题2：

如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥DB，CE交DE于E。

试说明：

四边形DOCE是菱形。

问题3：

如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，试猜想AD与EF的关系是，说明其中的道理

3、关于菱形的四条边

（1）菱形的四条边都相等，于是只要画任意一条对角线，就可以得到两个等腰三角形，所以，菱形中运用等边三角形的例子也很多，如：

已知菱形ABCD，E、F分别为BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，若∠BAE=20°，求∠CEF的度数

（2）证明菱形也可以运用“四条边相等的四边形是菱形”来证：

如图，若E、F、G、H分别是矩形ABCD四条边的中点，试说明四边形EFGH是菱形。

4、关于菱形的对角线

（1）对角线互相垂直的特性，为运用勾股定理和求面积创造了条件,如：

已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别等于6、8，AE⊥BC于点E，求：

（1）菱形ABCD的面积和周长

（2）AE的长

（2）运用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”来证明菱形，似乎并不多见，如果有，是否会和勾股有关呢？

《正方形》

一、正方形是一种特殊的矩形，也是一种特殊的菱形，是最完美的平行四边形

1、正方形继承了平行四边形、矩形和菱形的一切性质，这些丰富的性质所导致的结论和图形规律在运用中十分灵活，应根据具体需要加以甄选，图形的规律包括：

（1）四条边都

（2）四个角都是（3）对角线，对角线分出的三角形都是等腰直角三角形

2、正方形的识别通常从以下四个方面进行：

（1）定义：

有一个角是且一组邻边的形叫正方形。

（2）有的矩形是正方形

（3）有的菱形是正方形

（4）既菱且矩

3、将“平行四边形、矩形、菱形、正方形”填入右边集合圈中

二、题型举例

正方形是最完善的平行四边形，所以，关于正方形的题目的隐含条件往往也最丰富，由于这些条件隐藏在图形之中，需要考生自己推出，这在客观上加大了题目的难度

1、命题类型：

在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A、AC=BD，AB

CDB、AD∥BC，∠A=∠CC、AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD、AO=CO，BO=DO，AB=BC

2、边角综合运用：

（1）如图，四边形ABCD是正方形，点E是AC上一点，过点E作EG⊥BC于G，EF⊥AB于F。

①试猜想DE与FG的关系，并说明理由②如果正方形ABCD的边长为4cm，求四边形BGEF的周长

（2）如图E为正方形ABCD的边AB延长线上一点，DE交AC于点F，交BC于点G，H为GE的中点，求证：

FB⊥BH

（3）如图正方形ABCD的边长AB=20，F为AD上一点，连接CF，作CE⊥CF交AB的延长线于E，作DG⊥CF于G，若BE=15，求DG的长

（4）如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，BP与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F，求证：

PM=QM

（1）

（2）（3）（4）

3、经典构造法：

（1）正方形ABCD，E、F分别为边BC、CD上的点，若∠EAF=45°，求证：

EF=BE+DF

（思考：

①EA平分∠BEF②若EF=BE+DF,求证：

∠EAF=45°）

（2）如图，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，已知△MCN的周长等于正方形ABCD的周长的一半，求∠MAN的度数。

（1）

（2）

4、变式探究：

如左图，正方形ABCD和正方形CEFG有一公共顶点C，连接BG、DE,

（1）BG与DE有怎样的关系？

试说明理由

（2）若正方形CEFG绕C点按顺时针方向旋转至如右图所示，BG和DE是否还存在上述特殊关系？

若存在，试说明理由；若不存在，也请说明理由。

《中位线》

一、基础知识

1、三角形的中位线，并且等于。

2、梯形的中位线，并且等于。

3、综上，中位线的知识体现了线段之间的关系和关系。

二、基本问题与基本方法

1、中位线定理提供了“平行”与“数量之比1︰2”两方面的结论，不仅可以运用到计算题中，而且还运用到与“等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形和等腰梯形”有关的证明题中

2、依次连接一个四边形各边中点所得到的四边形称为原四边形的中点四边形，请你回答下列各题（仔细搞懂其中的道理）

（1）任意四边形的中点四边形是形

（2）平行四边形的中点四边形是形

（3）矩形的中点四边形是形

（4）菱形的中点四边形是形

（5）等腰梯形的中点四边形是形

（6）正方形的中点四边形是形

（师按：

中点四边形与各四边形之间的相互转化，反映了数学知识的内部联系和暗通，把握图形规律，对于灵活的记忆和理解数学知识具有一定的启示）

3、在等腰三角形中，看见“中点”，易联想到“三线合一”;在直角三角形中，看见“中点”，易联想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的结论。

那么，在学完了“中位线”后，再看见“中点”，你还能想到什么呢？

对，中位线，这是一个重要的几何通法，有时，条件不足的情况下，还需要我们去“构造”出中位线，而在平行四边形中，对角线的交点正好是每一条对角线的中点。

三、题型举例

1、计算型

（1）已知梯形的中位线长为9，一条底边长为12，那么另一条底边长为

（2）已知等腰梯形的上底和腰相等，下底是上底的2倍，中位线长为9cm，则梯形的周长为

（3）如果等腰梯形的底角为45°，高等于上底，那么梯形的中位线与高的比为

（4）一个梯形的中位线和高都等于6，那么它的面积等于

（5）已知△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，△ABC的周长与△DEF的周长的和等于18cm，求△DEF的周长

（6）如图，AA’∥BB’∥CC’∥DD’，且AB=BC=CD，A’B’=B’C’=C’D’，AA’=3，DD’=6，求BB’和CC’的长

2、与三角形中线结合：

如图，在△ABC中，AG⊥BC于G，E、F、H分别为AB、BC、CA的中点。

求证：

四边形EFGH为等腰梯形

3、与等腰三角形结合：

如图，AD是△ABC的外角平分线，CD⊥AD于D，E是BC的中点，求证

（1）DE∥AB；

（2）DE=

4、与等边三角形结合：

如图，梯形ABCD中，AD∥BC,AD＜BC,AB=DC，AC、BD交于O点，∠BOC=60°，E、F、G分别是AO、BO、DC的中点，求证：

△EFG是等边三角形

5、与对边相等的四边形结合：

如图四边形ABCD中，AB=CD，点E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点，猜想四边形EHFG的形状，并说明理由

6、与平行四边形结合：

如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，且

，求证：

（1）DE=CF，

（2）BE=EF

7、与正方形结合：

在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，延长CB到点E，使BE=BC，连接DE交AB于点F,连接OF，那么OF=

吗？

说明理由

8、探究性问题：

如图，已知平行四边形ABCD及四边形外一直线l，四个顶点A、B、C、D到直线l的距离分别为

（1）观察图形，猜想得出

满足怎样的关系式，证明你的结论。

（2）现将直线l向上平移，你得到的结论还一定成立吗？

请分情况写出你的结论。