实验一用超松弛迭代法求解接地金属槽内电位分布.docx
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实验一用超松弛迭代法求解接地金属槽内电位分布
用超松弛迭代法求解接地金属槽内电位分布
一、实验内容：
用超松弛迭代法求解接地金属槽内电位的分布。
已知：
，
给定边值如图所示。
给定初值：
误差范围：
计算迭代次数，
分布。
二．实验设计原理：
有限差分法
α称为松弛因子。
不同的α值，可以有不同的收敛速度，其值范围一般为1与2之间。
通常α会有一个最佳值。
最佳α的确定与具体问题有关，显然，如果α选择合适，超松弛迭代法收敛速度最快。
（1）划分网格：
节点编号、坐标的形成。
（2）赋初值：
随意，尽可能靠近真实解。
比如本题u7=2.0,u8=7.5,u9=10。
（3）边界条件：
给电位值，找规律。
u1,u2,u3,u4,u6,u11,u12,u13,u14=0;u5,u10,u15=100。
（4）迭代u7=（u2+u6+u8+u12）/4；
u8=（u3+u7+u9+u13）/4；
u9=（u4+u8+u10+u14）/4。
（5）反复迭代，给定某一误差
有限差分法是基于差分原理的一种数值计算法。
其基本思想：
将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数ϕ的泊松方程的问题换为求解网格节点上ϕ的差分方程组的问题。
编程时已经考虑到题目要求，所以直接将边值编入到程序中，这样可以省略输入，从而直接输入迭代因子进行求解，可以减少编程的难度。
这次编程和以前不同的是将数组和正交函数图像结合起来，所以在考虑输入和输出的时候会有一些难度，因为数组是上面是小的而图像上面越在上，代表坐标就越大。
所以在输入和输出的时候要谨慎对待。
Editor中源代码为：
1．clc
2.clear
3.closeall
4.hx=5;
5.hy=5;
6.v1=ones（hy,hx）;
7.v1（hy,:
）=ones（1,hx）*100;
8.v1（1,:
）=ones（1,hx）*0
9.fori=1:
hy;
10.v1（i,1）=0;
11.v1（i,hx）=0;
12.end
13.m=4;
14.w=2/（1+sqrt（1-cos（pi/m）*cos（pi/m）））;
15.maxt=1;t=0;
16.v2=v1;n=0
17.while（maxt>1e-5）
18.n=n+1
19.maxt=0;
20.fori=2:
hy-1;
21.forj=2:
hx-1;
22．v2（i,j）=v1（i,j）+（v1（i,j+1）+v1（i+1,j）+v2（i-1,j）+v2（i,j-1）-4*v1（i,j））*w/4;
23.t=abs（v2（i,j）-v1（i,j））;
24.if（t>maxt）maxt=t;end
25.end
26.end
27.v1=v2;
28.end
29.subplot（1,2,1）,mesh（v2）
30.axis（[0,5,0,5,0,100]）;
31.subplot（1,2,2）,contour（v2,20）;
三、程序运行界面及结果
电压分布：
改变收敛因子，α取接近1的数，α计算次数越少，迭代效果越好；α越接近2，计算次数越多，迭代效果越差。
收敛因子不同，得出的电位不会有很大的差距，只是对迭代的次数会有影响。
四．实验心得与思考
通过设计程序并进行完善调试，我对有限差分法有了进一步的认识，同时也已经掌握超松弛迭代法的运用。
对于这一类题型都可以运用同样方法予以解决。
就我个人而言，我觉得自己对matlab的使用还不是很了解，尽管算法能够理解，但真正到了运用的时候仍然在纠结下一句要怎么写。
接触这个软件不到半个月，提升空间还有很多。
比如在设计迭代时，该怎样命名参数，怎么重复运算。
这个题里还涉及了有关x，y的坐标问题，如果再进一步学习，我想会写的再清晰一些。
尽管我不清楚最终的结果是否正确，我认为我已经将我所理解的问题表达出来了。
我想我会继续思考这个问题，继续完善的。
附：
c++代码（用于验证结论）
#include
#include
voidmain（）
{
doublem[5][5],n[5][5];
intN=0,b=1;
inti,j;
doublee=0.00001;
doublea=2/（1+sin（3.1415926/4;
for（i=0;i<=4;i++）
for（j=0;j<+4;j++）
{
m[i][j]=0;[i][j]=0;
}
m[1][4]=100;
m[2][4]=100’
m[3][4]=100;
n[1][4]=m[1][4];
n[2][4]=m[1][4];
n[3][4]=m[1][4];
for（j=4;j>=0;j--）
{
for（i=0;i<=4;i++）
cout<<”m[“<cout<}
while（b==1）
{
b=0;
N=N+1;
for（i=1;i<=3;i++）
for（j=1;j<=3;j++）
m[i][j]=m[i][j]+a*（m[i-1][j]+m[i][j-1]+m[i+1][j]+m[i][j+1]-4*m[i][j]）/4;
for（i=1;i<=3;i++）
for（j=1;j<=3;j++）
{
if（fabs（m[i][j]-n[i][j]>=e）
b=1;
n[i][j]=m[i][j];
}
}
for（j=4;j>=0;j--）
{
for（i=0;i<=4;i++）
cout<<”m[<cout<}
cout<<”N=”<
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