第二十二章复习一元二次方程综合复习Word下载.doc

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△>

0方程有两个不相等的实数根．

△＝0方程有两个相等的实数根．

△<

0方程没有实数根．

上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．

5．一元二次方程根与系数的关系

如果一元二次方程（a≠0）的两个根是，那么．

6．解应用题的步骤

（1）分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；

（2）设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；

（3）找出相等关系，并用它列出方程；

（4）解方程求出题中未知数的值；

（5）检验所求的答数是否符合题意，并做答．

【解题思想】

1．转化思想

转化思想是初中数学最常见的一种思想方法．

运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题．在本章中，将解一元二次方程转化为求平方根问题，将二次方程利用因式分解转化为一次方程等．

2．从特殊到一般的思想

从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研究得出一般结论，如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根与系数的关系等．

3．分类讨论的思想

一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想．

【经典例题精讲】

1．对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．

2．解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．

3．一元二次方程（a≠0）的根的判别式正反都成立．利用其可以

（1）不解方程判定方程根的情况；

（2）根据参系数的性质确定根的范围；

（3）解与根有关的证明题．

4．一元二次方程根与系数的应用很多：

（1）已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

（2）已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；

（3）已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．

【中考热点】

本章的应用性较强，本章内容一直是命题的热点，填空题、选择题有，解答题也有，单独出现或和其他内容结合出现．

【历届中考题目】

一、填空题

1．（2003·

吉林）方程的解是_____________．

2．（2002·

江苏泰州）如果是方程的两根，那么＝_____________．

3．（2002·

杭州）已知2是关于x的方程的一个解，则2a－1的值为_____________．

4．（2003·

大连）某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米．设这两年该房屋开发公司建设住宅面积的年平均增长率为x，则可列方程为_____________．

5．（2003·

四川）已知关于x的一元二次方程有两个负数根，那么实数m的取值范围是_____________．

6．（2003·

青岛）九年义务教育三年制初级中学教科书《代数》第三册第52页的例2是这样的：

“解方程”．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得：

．当y＝1时，，∴x＝±

1；

当y＝5时，，∴．所以原方程有四个根：

．

（1）在由原方程得方程①的过程中，利用_____________法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．

（2）解方程，若设，则原方程可化为_____________．

7．（2003·

泰安）已知实数x、y满足，则x＋2y的值为_____________．

8．（2003·

泰安）如图22－1，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别为_____________．

9．（2003·

济宁）关于x的二次方程的两个实数根为，如果，那么k＝_____________．

二、选择题

1．（2002·

泰州）k为实数，则关于x的方程的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

杭州）用配方法将二次三项式变形的结果是（）

A． B．

C． D．

桂林）如果方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（）

A．m<

1 B．m>

1

C．m<

－1 D．m>

－1

重庆）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）

威海）对于一元二次方程，下面的结论错误的是（）

A．若c＝0，则方程必有一个根为0

B．若c<

0，则方程必有两个正数根

C．若c>

0，b<

D．若b>

c＋1，则方程有一个根大于－1，一个根小于－1

青岛）已知，且α≠β，则αβ＋α＋β的值为（）

A．2 B．－2

C．－1 D．0

三、解答题

潍坊）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围．

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？

解：

（1）根据题意，得

＝－12k＋13>

0，

所以，．

所以，当时，方程有两个不相等的实数根．

（2）存在．

如果方程的两个实数根互为相反数，则

，

解得，

检验知：

是的解．

所以，时，方程的两实数根互为相反数．

当你读了上面的解答过程后，请判断是否有错误？

如果有，请指出错误之处，并直接写出正确的答案．

2．（2003·

菏泽）已知方程的两个实数根的平方和等于11，求m的值．

3．（2003·

滨州）设（a，b）是一次函数y＝（k－2）x＋m与反比例函数的图象的交点，且a，b是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，其中k为非负数，m，n为常数．

（1）求k的值；

（2）求一次函数与反比例函数的解析式．

淄博）下面是一位同学做的一道练习题．

已知关于x的方程的两个实数根为p、q，求p、q的值．

将p、q分别代入，得

；

（1）请判断该同学的解法是否存在问题，并说明理由；

（2）这道题还可以怎样解？

请写出你的解法．

参考答案

一、

1．

2．

3．5

4．

5．m>

7

6．换元法，

7．－3或2

8．4，6

9．－3

二、

1．A2．A3．A4．C5．C6．B

三、

1．

（1）中忽视k－1≠0的情况，当k－1＝0时，方程为一元一次方程，只有一个实数根．

正确答案为：

当，且k≠1时，方程有两个不相等的实数根．

（2）中的实数k不存在，当时，判别式△＝－5<

0，方程没有实数根．

应为：

不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数

2．解：

设方程的两根为，由韦达定理，得．

又，

整理，得，

解之，得．

由二次方程有两个实数根，

∴，

故m＝－3不合题意应舍去．

取m＝1，即m＝1为所求．

3．解：

（1）∵关于x的方程有两个不相等的实数根，

解得k<

3，且k≠0．

又∵一次函数y＝（k－2）x＋m存在且k为非负整数，

∴k＝1．

（2）∵k＝1，

∴原方程可变形为．

∴a＋b＝4，ab＝－2．

又当k＝1时，一次函数y＝－x＋m过点（a，b），

∴a＋b＝m．

∴m＝4．

同理可得n＝－2．

故所求的一次函数与反比例函数的解析式分别为y＝－x＋4与．

4．答：

（1）该同学的解法存在问题．

问题出在没有把求出的解代入根的判别式进行检验．

因为，当时，方程，此时△＝0；

当时，方程，此时△>

0，符合题意．

而当时，方程，此时△>

0，与方程有等根不符．

所以，p、q的值只能取；

（2）解：

由根与系数的关系，得

解得；

分别对p，q的两组值对应的方程判别式检验，知这两组值符合题意要求．