胡不归+阿氏圆练习.docx
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胡不归+阿氏圆练习
胡不归问题
一•填空题（共1小题）
1如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan.EBA，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处,
再以1.25单位Is的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是
2•如图，已知抛物线y=m（x+1）（x-2）（m为常数，且ma0）与x轴从左至右依次交于A、B两点，与y轴交于点C,且OA=OC，经过点B的直线与抛物线的另一交点D在第二象限.
（1）求抛物线的函数表达式.
⑵若•DBA二30，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
121
3.如图，抛物线yxmx■n与直线y=…_x-3交于A,B两点，交x轴与D,C两
22
点，连接AC,BC，已知A（0,3）,C（3,0）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan.BAC的值；
（3）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以
每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒,2个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？
2
4.如图1抛物线y=ax-（a-3）x-3（a-0）与x轴交于点A（4,0）,与y轴交于点B,在x轴
上有一动点E（m,0）（0:
：
:
m:
：
:
4）,过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点
P，过点P作PM_AB于点M.
（1）求a的值和直线AB的函数表达式;
2
5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=axbxc的图象经过点A（_1,0）,B（0,-.3）,
C（2,0），其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
1
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则丄PBPD的最小值为；
2
（3）M（x,t）为抛物线对称轴上一动点
1若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有
个；
2连接MA，MB,若.AMB不小于60，求t的取值范围.
6.如图，在.SCE中，CA=CE,/CAE二30,、0经过点C，且圆的直径AB在线段AE上.
（1）试说明CE是、0的切线；
（2）若.ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示、0的直径AB；
1
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接0D，当_CD0D的最小值为6时,
2
求.0的直径AB的长.
r
AB在线段AE
1
_JCD0D的
2
7.如图，在.SCE中，CA=CE,/CAE二30,、0经过点C，且圆的直径上.
（1）证明：
CE是、0的切线；
（2）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接0D,当AB=8时，
最小值.
k
&如图，已知抛物线y（x-2）（x-4）（k为常数，且k.0）与x轴从左至右依次交于A,B
8
两点，与y轴交于点C,经过点B的直线y=_业x+b与抛物线的另一交点为D.
3
（1）若点D的横坐标为厘，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A,B,P为顶点的三角形与AABC相似，求k的值；
（3）在
（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF,一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
L/.
-V
C
胡不归问题
参考答案与试题解析
一•填空题（共1小题）
2
1如图，抛物线y-2x-3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且
tan.EBA=4，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处,
3
再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是竺
一9
【解答】解：
过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，
EH//AB，
..HEB=/ABE，
/yDH4
.tanZHED=tanZEBA=
EH3
设DH二4m，EH=3m，贝UDE=5m，
.蚂蚁从D爬到E点的时间二5x二4（s）
1.25
若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时「心4m二4（s）,
1
.蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，
•蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度
沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位
/s速度爬到H点的时间，
作AG_EH于G，贝UADDHAHAG,
■ADDH的最小值为AQ的长，
当y=0时，x-2x-3二0,解得x二「1,x二3，贝UA（—1,0）,B（3,0）,
12
64
故答案为
.V
即蚂蚁从
64
匸％），
19
A到E的最短时间为_64s.
A爬到G点的时间
直线BE交y轴于C点，如图，
在Rt.QBC中，tan.CBO=CO=4
OB3
.OC=4，则C（0,4）,
2.如图，已知抛物线y=m（x+1）（x-2）（m为常数，且m>0）与x轴从左至右依次交于A、B两点，与y轴交于点C,且OA-OC，经过点B的直线与抛物线的另一交点D在第二象限.
（1）求抛物线的函数表达式.
⑵若.DBA二30，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF,一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
【解答】解：
（1）抛物线y=m（x+1）（x-2）（m为常数，且m>0）与x轴从左至右依次交于A、
B两点，
令y二0，解得x--1或x二2，则A（-1,0），B（2,0），
OA=OC，
C（0,-1），
；点c（0,-1）在抛物线y=m（x1）（x-2）上,
.m（01）（0-2）--1，
1
解得m=_.
21
-抛物线的函数表达式为：
y三（x1）（x-2）；
2
（2）DBA二30，
-设直线BD的解析式为y二-三xb，
3，
B（2,0），
，•”0=—上x2+b，解得b=2少，
3
故直线BD的解析式为y一诗％
联立两解析式可得
y=-43x+2后石V，
y-_（xi）（x-2）
2
x一2、、33
解得」
3
2v3-3
y=
3
则D（年」，十3），如图，过点D作DN_x轴于点N，过点D作DK//x轴,贝UKDF-/DBA=30.
1
过点F作FG-DK于点G，贝UFG三1DF.
2
1
AFDF，运动时间：
t二AF2DF，
2
■t=AFFG，即运动的时间值等于折线AFFG的长度值.
由垂线段最短可知，折线AFFG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段.过点A作AH-DK于点H，贝吐最小二AH,AH与直线BD的交点，即为所求的
占
八、、・
-A点横坐标为-1，直线BD解析式为：
y二-
（-1）
F（-1,、3）.
综上所述，当点F坐标为（-143）时，点M在整个运动过程中用时最少.
121
3.如图，抛物线yxmx■n与直线yx3交于A,B两点，交x轴与D,C两
22
点，连接AC，BC，已知A（0,3），C（3,0）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan.BAC的值；
（3）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以
每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒.2个单位的速度运动到A后停止,
当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？
1汽9+3m+n=0
C（3,0）代入y=丄x2亠mx亠n，得
2
解得
■抛物线的解析式为
（2）联立
解得:
|x二0
y=3
（不符合题意，舍）
x二4
Jy=1
.点B的坐标为（4,1）.
过点B作BH_x轴于H,
如图
C（3,0），B（4,1），
.BH二1,OC=3,OH
CH
.BH二CH二1.
.BHC=90,
ZBCH=45,BC=.2.
同理：
ZACO=45*,AC=3/2,
-ZACB=180-45-45'=90,
/BC、匚1
.tan.BAC2：
AC3^23
（3）过点E作EN_y轴于N,在Rt.ANE中
•点
作点
则有
EN=AE-sin45
2
M在整个运动中所用的时间为
DEEA
DEEN.
1■-2
D关于AC的对称点D•，连接DE,
DE=DE,
DC=DC,.DCA=.DCA=45
ZdCd
=90,DEEN=DEEN.
根据两点之间线段最短可得:
当D、E、N三点共线时，DEEN=DEEN最
小.此时，「DCD=./DNO二/NOC二90,
.四边形OCDN是矩形，
.ND=0C=3，ON=DC=DC.
对于y=Jx2-Jx3，当y二0时，有1x[_5x-3二0,
2222
解得：
xi=2,X2=3.
.D（2,0）,OD=2,
ON二DC二OC-OD二3-2二1,
.NE二AN二AO-ON=3-1=2,
.点E的坐标为（2,1）.
2
4.如图1,抛物线y=ax-（a-3）x-3（a-0）与x轴交于点A（4,0）,与y轴交于点B,在x轴
上有一动点E（m,0）（0:
:
:
m:
:
:
4）,过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点
P，过点P作PM_AB于点M.
1=6，求m的值;
C25
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设.：
PMN的周长为C,.AEN的周长为C，若
12
（3）
如图2，在⑵条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE•，旋转角为〉（0：
：
：
:
；：
：
90）,
【解答】解：
（1）令y=0,则ax2（a3）x3二0,
.（x1）（ax3）二0,
x二_1或__,
a
A（4,0）,
；抛物线y=ax-（a-3）x-3（a-0）与x轴交于点
3
--4——丁?
a
A（4,0）,B（0,3）,
设直线AB解析式为y=kx•b，贝Ub二3
|4kb-0k一3
解得4,
Jb=3
3
.直线AB解析式为y=-x3.
4
PM_AB,PE_OA,
上PMN=/AEN,
"Zpnm=Nane，
.^PNMsMnE,
PN6
”AN_5，
‘NE//OB，
AN-AE^
”AB_OA，
5
.AN=—（4-m），
4
'抛物线解析式为
32.9.
y=—-x十-x十3，
44
32丄9丄3丄32j
PNmm'3-（m'3）m'3m,
4444
32
m3m
46=?
55
（4-m）5
4
解得m=2.
（3）如图2中，在y轴上取一点M•使得OM=4，连接AM,在AM•上取一点E使得3
OE=0E.
*
4
0E'=2,OM、0B3=4,
3
①若平面内存在点N，使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有
个;
②连接MA，MB,若.AMB不小于60，求t的取值范围.
理由：
二OA=1,OB=.
/OA
.tanZABO一OB
ZABO=30,
二「3
3
1
.PHPB,
2
.1PBPD二PHPD二DH,
2
1
.此时-PBPD最短（垂线段最短）.
2
在RtADH中，1AHD=90,AD=3,.HAD=60
2
sin60巴
AD
DH■'3,
4
二1PB+PD的最小值为冬3•
2
（3）①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点,
以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点,线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点,所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，故答案为5.
②如图，Rt.AOB中，tan.ABO,
OB3
ZABO=30,
作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则.AEB二120,以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、
G.贝U.AFB=.AGB=60，从而线段FG上的点满足题意，
AB
EB22_：
3_,
cos303
.OE=0B-EB=?
■■F（丄,t）,EF2二EB2,
2
（1厂（t3）2
2
3
二（23亍，
33
解得t/39或士歿,
66
故f（1,-2--36--■39）,g（1-,土
■t的取值范围
图1
6.如图，在「ACE中，CA=CE,.CAE二30,9经过点C，且圆的直径AB在线段AE上.
（1）
（3）设点D是线段AC上任意一点
试说明CE是、0的切线；
（2）若.ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示、一0的直径AB;
1
（不含端点），连接0D,当—CD0D的最小值为6时，
2
求9的直径AB的长.
1,
CA=CE,.CAE二30,
ZE=/CAE=30,.COE=2A二60
..OCE=90,
.CE是、O的切线；
（2）过点C作CH_AB于H，连接OC，如图2,
r
图2
由题可得CH=h.
在Rt.QHC中，CH=OC、sinZCOH,
.h=OCQn60OC，
2
.OC
AB=2OC^4—.h
（3）作OF平分.AOC，交、O于F，连接AF、CF、DF，如图3，
贝y.AOF二.COF=1.AOC=1（180-60）二60°.22
OA=OF=OC,
.■:
AOF、COF是等边三角形，
.AF二AO=OC二FC,■四边形AOCF是菱形,
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