版高考数学冲刺压轴题命题区间一增分点1抽象问题有形化破解抽象函数难题.docx

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版高考数学冲刺压轴题命题区间一增分点1抽象问题有形化破解抽象函数难题

压轴题命题区间

（一）

函数与方程

增分点

　抽象问题有形化，破解抽象函数难题

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征式子的一类函数．由于抽象函数表现形式抽象，对学生思维能力考查的起点较高，使得此类问题成为函数内容的难点之一，使多数学生感觉无从下手，望而生畏．事实上，解决此类问题时，只要准确掌握函数的性质，熟知我们所学的基本初等函数，将抽象函数问题转化为具体函数问题，问题就迎刃而解了．

[典例]　（2016·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（－x）＝2－f（x），若函数y＝

与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则

（xi＋yi）＝（　　）

A．0　　　　　　　　　B．m

C．2mD．4m

[思路点拨]

（1）由于题目条件中的f（x）没有具体的解析式，仅给出了它满足的性质f（－x）＝2－f（x），即f（x）（x∈R）为抽象函数，显然我们不可能求出这些点的坐标，这说明这些交点坐标应满足某种规律，而这种规律必然和这两个函数的性质有关．

（2）易知函数y＝

关于点（0,1）成中心对称，自然而然的让我们有这样的想法：

函数f（x）（x∈R）的图象是否也关于点（0,1）成中心对称？

基于这个想法及选择题的特点，那么解题方向不外乎两个：

一是判断f（x）的对称性，利用两个函数的对称性求解；二是构造一个具体的函数f（x）来求解．

[方法演示]

法一：

利用函数的对称性

由f（－x）＝2－f（x），知f（－x）＋f（x）＝2，所以点（x，f（x））与点（－x，f（－x））连线的中点是（0,1），故函数f（x）的图象关于点（0,1）成中心对称．（此处也可以这样考虑：

由f（－x）＝2－f（x），知f（－x）＋f（x）－2＝0，即[f（x）－1]＋[f（－x）－1]＝0，令F（x）＝f（x）－1，则F（x）＋F（－x）＝0，即F（x）＝f（x）－1为奇函数，图象关于点（0,0）对称，而F（x）的图象可看成是f（x）的图象向下平移一个单位得到的，故f（x）的图象关于点（0,1）对称）．又y＝

＝1＋

的图象也关于点（0,1）对称，所以两者图象的交点也关于点（0,1）对称，所以对于每一组对称点xi＋xi′＝0，yi＋yi′＝2，所以

（xi＋yi）＝

i＋

i＝0＋2×

＝m，故选B.

法二：

构造特殊函数

由f（－x）＝2－f（x），知f（－x）＋f（x）－2＝0，

即[f（x）－1]＋[f（－x）－1]＝0.

令F（x）＝f（x）－1，则F（x）为奇函数，

即f（x）－1为奇函数，从而可令f（x）－1＝x，

即f（x）＝x＋1，显然该函数满足此条件．

此时y＝f（x）与y＝

的交点分别为（1,2）和（－1,0），

所以m＝2，

（xi＋yi）＝1＋2＋（－1）＋0＝2，

结合选项可知选B.

答案：

B

[解题师说]

1．解决抽象函数问题的2个常用方法

函数性

质法

先研究清楚函数的奇偶性、对称性和周期性等性质，这样函数就不再抽象了，而是变得相对具体，我们就可以画出符合性质的草图来解题

特殊

值法

根据对题目给出的抽象的函数性质的理解，我们找到一个符合题意的具体函数或给变量赋值，把抽象函数问题化为具体的数学问题，从而问题得解

2．解决抽象函数问题常用的结论

（1）函数y＝f（x）关于x＝

对称⇔f（a＋x）＝f（b－x）⇔f（x）＝f（b＋a－x）．

特例：

函数y＝f（x）关于x＝a对称⇔f（a＋x）＝f（a－x）⇔f（x）＝f（2a－x）；

函数y＝f（x）关于x＝0对称⇔f（x）＝f（－x）（即为偶函数）．

（2）函数y＝f（x）关于点（a，b）对称⇔f（a＋x）＋f（a－x）＝2b⇔f（2a＋x）＋f（－x）＝2b.

特例：

函数y＝f（x）关于点（a,0）对称⇔f（a＋x）＋f（a－x）＝0⇔f（2a＋x）＋f（－x）＝0；

函数y＝f（x）关于点（0,0）对称⇔f（x）＋f（－x）＝0（即为奇函数）．

（3）y＝f（x＋a）是偶函数⇔函数y＝f（x）关于直线x＝a对称；y＝f（x＋a）是奇函数⇔函数y＝f（x）关于（a,0）对称．

（4）对于函数f（x）定义域内任一自变量的值x：

①若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a；

②若f（x＋a）＝

，则T＝2a；

③若f（x＋a）＝－

，则T＝2a；（a>0）

④若f（x＋a）＝f（x＋b）（a≠b），则T＝|a－b|；

⑤若f（2a－x）＝f（x）且f（2b－x）＝f（x）（a≠b），则T＝2|b－a|.

[应用体验]

1．已知函数f（x）在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有f（f（x）－2x）＝3，则f（3）的值是（　　）

A．3　　　　　　　　　B．7

C．9D．12

解析：

选C　由题意，知对任意x∈R，都有f（f（x）－2x）＝3，不妨令f（x）－2x＝c，其中c是常数，则f（c）＝3，所以f（x）＝2x＋c.再令x＝c，则f（c）＝2c＋c＝3，即2c＋c－3＝0.易得2c与3－c至多只有1个交点，即c＝1.所以f（x）＝2x＋1，所以f（3）＝23＋1＝9.

2．已知奇函数f（x）（x∈D），当x>0时，f（x）≤f

（1）＝2.给出下列命题：

①D＝[－1,1]；

②对∀x∈D，|f（x）|≤2；

③∃x0∈D，使得f（x0）＝0；

④∃x1∈D，使得f（x1）＝1.

其中所有正确命题的个数是（　　）

A．0　　B．1　　　C．2　　　D．3

解析：

选A　由奇函数f（x）（x∈D），当x>0时，f（x）≤f

（1）＝2，只说明函数有最值，与定义域无关，故①错误；对于②，可能f（3）＝－3，|f（3）|＝3>2，故②错误；对于③，当0不在D中，且x轴为渐近线时，则不满足③；当y＝1为渐近线时，不满足④，因此选A.

3．已知定义域为R的函数y＝f（x）满足f（－x）＝－f（x＋4），当x>2时，f（x）单调递增，若x1＋x2<4且（x1－2）·（x2－2）<0，则f（x1）＋f（x2）的值（　　）

A．恒大于0B．恒小于0

C．可能等于0D．可正可负

解析：

选B　法一：

由f（－x）＝－f（x＋4），

得f（－x＋2）＝－f（x－2＋4）＝－f（x＋2），

即f（x＋2）＝－f（－x＋2），

故函数f（x）的对称中心为M（2,0）．

令x＝－2，得f

（2）＝－f

（2），解得f

（2）＝0.

又函数f（x）在[2，＋∞）上单调递增，画出函数的大致图象如图所示．

由（x1－2）（x2－2）<0，可得x1－2与x2－2异号，即x1，x2分布在直线x＝2的两侧，不妨设x1<2

由x1＋x2<4，可得（x1－2）＋（x2－2）<0，即|x1－2|>|x2－2|，由函数的对称性，可知必有f（x1）＋f（x2）<0.

法二：

由f（－x）＝－f（x＋4）可知，f（2＋x）＝－f（2－x），则函数图象关于点（2,0）中心对称．因为x<2时，f（x）单调递增，所以x>2时，f（x）单调递增．因为x1＋x2<4且（x1－2）·（x2－2）<0，设x1<2

一、选择题

1．函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x＋2）＝

，若f

（1）＝－5，则f（f（5））的值为（　　）

A．5　　　　　　　　　B．－5

C.

D．－

解析：

选D　∵函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x＋2）＝

，

∴f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝

＝f（x），

即函数f（x）是以4为周期的周期函数．

∵f

（1）＝－5，

∴f（f（5））＝f（f

（1））＝f（－5）＝f（3）＝

＝－

.

2．（2017·天津高考）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）．若a＝g（－log25.1），b＝g（20.8），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a

C．b

解析：

选C　由f（x）为奇函数，知g（x）＝xf（x）为偶函数．

因为f（x）在R上单调递增，f（0）＝0，

所以当x>0时，f（x）>0，

所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增，且g（x）>0.

又a＝g（－log25.1）＝g（log25.1），b＝g（20.8），c＝g（3），

20．8<2＝log24

所以b

3．（2016·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（2－x），若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f（x）图象的交点分别为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则

i＝（　　）

A．0　　　B．m　　　　C．2m　　　　D．4m

解析：

选B　∵f（x）＝f（2－x），

∴函数f（x）的图象关于直线x＝1对称．

又y＝|x2－2x－3|＝|（x－1）2－4|的图象关于直线x＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x＝1对称．

当m为偶数时，

i＝2×

＝m；

当m为奇数时，

i＝2×

＋1＝m.

4．已知函数f（x）的定义域为R.当x<0时，f（x）＝x3－1；当－1≤x≤1时，f（－x）＝－f（x）；当x>

时，f

＝f

，则f（6）＝（　　）

A．－2B．－1

C．0D．2

解析：

选D　由题意知当x>

时，

f

＝f

，则f（x＋1）＝f（x）．

又当－1≤x≤1时，f（－x）＝－f（x），

∴f（6）＝f

（1）＝－f（－1）．

又当x<0时，f（x）＝x3－1，

∴f（－1）＝－2，∴f（6）＝2.

5．已知定义在R上的函数f（x），对任意x∈R，都有f（x＋4）＝f（x）＋f

（2）成立，若函数y＝f（x＋1）的图象关于直线x＝－1对称，则f（2018）的值为（　　）

A．2018B．－2018

C．0D．4

解析：

选C　依题意得，函数y＝f（x）的图象关于直线x＝0对称，因此函数y＝f（x）是偶函数，且f（－2＋4）＝f（－2）＋f

（2），即f

（2）＝f

（2）＋f

（2），所以f

（2）＝0，所以f（x＋4）＝f（x），即函数y＝f（x）是以4为周期的函数，f（2018）＝f（4×504＋2）＝f

（2）＝0.

6．（2018·广西三市联考）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0]上单调递增，若实数a满足f（2log3a）>f（－

），则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，

）B．（0，

）

C．（

，＋∞）D．（1，

）

解析：

选B　∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0]上单调递增，∴f（x）在区间[0，＋∞）上单调递减．根据函数的对称性，可得f（－

）＝f（

），∴f（2log3a）>f（

）．∵2log3a>0，f（x）在区间[0，＋∞）上单调递减，∴0<2log3a<

⇒log3a<

⇒0

.

7．设函数y＝f（x）（x∈R）的图象关于直线x＝0及直线x＝1对称，且x∈[0,1]时，f（x）＝x2，则f

＝（　　）

A.

B.

C.

D.

解析：

选B　法一：

∵函数y＝f（x）（x∈R）的图象关于直线x＝0对称，

∴f（－x）＝f（x）．

∵函数y＝f（x）（x∈R）的图象关于直线x＝1对称，

∴f（1－x）＝f（1＋x）．

∴f

＝f

＝f

＝f

＝f

＝

2＝

.

法二：

∵函数y＝f（x）关于直线x＝0对称，则函数f（x）是偶函数，又关于x＝1对称，则f（2－x）＝f（x），故f

＝f

＝f

＝f

＝

2＝

.

8．定义在R上的函数y＝f（x），满足f（4－x）＝f（x），（x－2）·f′（x）＜0，若x1＜x2且x1＋x2＞4，则有（　　）

A．f（x1）＜f（x2）B．f（x1）＞f（x2）

C．f（x1）＝f（x2）D．不确定

解析：

选B　由f（4－x）＝f（x），知函数f（x）关于直线x＝2对称．又（x－2）f′（x）＜0，故当x＞2时，函数f（x）单调递减；当x＜2时，函数f（x）单调递增，所以当x＝2时，函数f（x）取得最大值．由x1＜x2且x1＋x2＞4知x1离x＝2更近，故f（x1）＞f（x2）．

9．（2018·惠州第一次调研）已知函数y＝f（x）的定义域为R，且满足下列三个条件：

①对任意的x1，x2∈[4,8]，当x1＜x2时，都有

＞0恒成立；

②f（x＋4）＝－f（x）；

③y＝f（x＋4）是偶函数．

若a＝f（8），b＝f（11），c＝f（2018），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a＜b＜cB．b＜c＜a

C．a＜c＜bD．c＜b＜a

解析：

选B　由①知函数f（x）在区间[4,8]上为单调递增函数；由②知f（x＋8）＝－f（x＋4）＝f（x），即函数f（x）的周期为8，所以c＝f（2018）＝f（252×8＋2）＝f

（2），b＝f（11）＝f（3）；由③可知函数f（x）的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f（3）＝f（5），c＝f

（2）＝f（6）．因为函数f（x）在区间[4,8]上为单调递增函数，所以f（5）＜f（6）＜f（8），即b＜c＜a.

10．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0,2]上是增函数，则（　　）

A．f（－25）

B．f（80）

C．f（11）

D．f（－25）

解析：

选D　因为f（x）满足f（x－4）＝－f（x），

所以f（x－8）＝f（x），所以函数f（x）是以8为周期的周期函数，则f（－25）＝f（－1），f（80）＝f（0），f（11）＝f（3）．

由f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x－4）＝－f（x），得f（11）＝f（3）＝－f（－1）＝f

（1）．

因为f（x）在区间[0,2]上是增函数，f（x）在R上是奇函数，

所以f（x）在区间[－2,2]上是增函数，

所以f（－1）

（1），

即f（－25）

11．（2018·成都第一次诊断）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（－x－1）＝f（x－1），当x∈[－1,0]时，f（x）＝－x3，则关于x的方程f（x）＝|cosπx|在－

，

上的所有实数解之和为（　　）

A．－7B．－6

C．－3D．－1

解析：

选A　因为函数f（x）为偶函数，所以f（－x－1）＝f（x＋1）＝f（x－1），所以函数f（x）的周期为2，又当x∈[－1,0]时，f（x）＝－x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f（x）与y＝|cosπx|的图象如图所示．由图象知关于x的方程f（x）＝|cosπx|在

上的实数解有7个．不妨设x1

上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7.

12．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f（x＋3）＝－f（x），且当x∈（0,3）时，f（x）＝x＋1，则f（－2017）＋f（2018）＝（　　）

A．3B．2

C．1D．0

解析：

选C　因为函数f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（－2017）＝－f（2017），

因为当x≥0时，有f（x＋3）＝－f（x），

所以f（x＋6）＝－f（x＋3）＝f（x），所以f（x）的周期为6.

又当x∈（0,3）时，f（x）＝x＋1，

所以f（2017）＝f（336×6＋1）＝f

（1）＝2，

f（2018）＝f（336×6＋2）＝f

（2）＝3，

故f（－2017）＋f（2018）＝－f（2017）＋3＝－2＋3＝1.

二、填空题

13．（2018·湘中名校联考）已知函数f（x）的图象关于y轴对称，且对任意x∈R都有f（x＋3）＝－f（x），若当x∈

时，f（x）＝

x，则f（2018）＝________.

解析：

因为对任意x∈R都有f（x＋3）＝－f（x），所以f（x＋6）＝－f（x＋3）＝f（x），函数f（x）是周期为6的函数，f（2018）＝f（336×6＋2）＝f

（2）．由f（x＋3）＝－f（x）可得f（－1＋3）＝－f（－1）＝f

（2），因为函数f（x）的图象关于y轴对称，所以函数f（x）是偶函数，f（－1）＝f

（1）＝

，所以f（2018）＝f

（2）＝－f

（1）＝－

.

答案：

－

14．已知定义在R上的函数f（x），对任意的实数x，均有f（x＋3）≤f（x）＋3，f（x＋2）≥f（x）＋2且f

（1）＝2，则f（2017）的值为________．

解析：

∵f（x＋3）≤f（x）＋3，f（x＋2）≥f（x）＋2，

∴f（x＋1）＋2≤f（x＋3）≤f（x）＋3，

∴f（x＋1）≤f（x）＋1.

又f（x＋1）＋1≥f（x＋2）≥f（x）＋2，

∴f（x＋1）≥f（x）＋1，∴f（x＋1）＝f（x）＋1，

利用叠加法，得f（2017）＝2018.

答案：

2018

15．定义在R上的函数f（x）满足f（x＋6）＝f（x），当x∈[－3，－1）时，f（x）＝－（x＋2）2，当x∈[－1,3）时，f（x）＝x，则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（2018）＝________.

解析：

由题意得f

（1）＝1，f

（2）＝2，f（3）＝f（－3）＝－1，f（4）＝f（－2）＝0，f（5）＝f（－1）＝－1，f（6）＝f（0）＝0，所以数列{f（n）}从第一项起，每连续6项的和为1，则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（2018）＝336×1＋f

（1）＋f

（2）＝339.

答案：

339

16．（2017·惠州三调）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足条件f

＝－f（x），且函数y＝f

为奇函数，给出以下四个命题：

①函数f（x）是周期函数；

②函数f（x）的图象关于点

对称；

③函数f（x）为R上的偶函数；

④函数f（x）为R上的单调函数．

其中真命题的序号为________．

解析：

f（x＋3）＝fx＋

＋

＝－f

＝f（x），所以f（x）是周期为3的周期函数，①正确；

函数f

是奇函数，其图象关于点（0,0）对称，则f（x）的图象关于点

对称，②正确；

因为f（x）的图象关于点

对称，－

＝

，所以f（－x）＝－f

，又f

＝－f－

＋x＋

＝－f（x），

所以f（－x）＝f（x），③正确；

f（x）是周期函数，在R上不可能是单调函数，④错误．

故真命题的序号为①②③.

答案：

①②③