高考数学圆锥曲线小题解题技巧.docx

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高考数学圆锥曲线小题解题技巧

圆锥曲线高考小题解析

一、考点分析

1.点、直线、斜率和倾斜角之间的关系；

2.直线与圆的位置关系判断，以及圆内弦长的求法；

3.掌握椭圆、双曲线、抛物线基础内容，特别是参数之间的计算关系以及独有的性质；

4.掌握圆锥曲线内弦长的计算方法（弦长公式和直线参数方程法）；

5.通过研究第二定义，焦点弦问题，中点弦问题加深对图形的理解能力；

6.动直线过定点问题和动点过定直线问题；

7.定值问题；

8.最值问题。

二、真题解析

1.直线与圆位置关系以及圆内弦长问题

1.【2018

全国

1文15】直线

y

x1与圆

x2

y2

2y

3

0交于

A,B

两点，则

|AB|=___________

解析：

x2

y2

2y

3

0

x2

（y

1）2

4，圆心坐标为

（0,1），半径

圆心到直线

y

x1的距离

d

2，由勾股定理得

|AB|

2r2

d2

22

2.【2018

k（k

全国2理

0）的直线

19文20】设抛物线C:

y24x的焦点为

l与C交于A,B两点，|AB|8

F

，过

F

且斜率为

（1）求l的方程；

（2）求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程。

解析：

（1）直线过焦点，因此属于焦点弦长问题，可以利用焦点弦长公式来求

根据焦点弦长公式可知|AB|

2p

8，则sin

2，tan1

sin2

2

则l的直线方程为yx1

（2）由

（1）知AB的中点坐标为（3,2），所以AB的垂直平分线方程为

y2（x3），即yx5

设所求圆的圆心坐标为（x0,y0），则

y0

x0

5

（x0

2

（y0

x0

1）2

1）

2

16

x0

3

x0

11

解得

2

或

-6

y0

y0

因此所求圆的方程为

（x3）2

（y2）2

1或（x11）2

（y+6）2

1

通过这个题目注意一个在抛物线中不常用的结论：

在抛物线中以焦点弦

为直径的圆与准线相切，证明过程如下：

在上图中过焦点的直线与抛物线交于

A,B两点，取AB的中点M，三点分别

向准线作垂线，垂足分别为

C,D,N，因为MN

1（AC

BD），AC

AF,BD

BF，

2

所以MN

1（AFBF）

1AB，所以AB为直径的圆与准线相切。

2

2

3.【2018北京理10】在极坐标中，直线

cos

sin

a（a0）

与圆

2cos

相

切，则a=__________.

解析：

cos

sin

a（a

0）

x

y

a

2cos

（x

1）2

y2

1

直线与圆相切时

d

|1

a|

r

1，解得a1

2

2

x

1

2t

4.【2018

天津理12】已知圆

x

2

y

2

2x

0的圆心为C，直线

2

（t为

2t

y

3

2

参数）与该圆相交于

A,B两点，则

ABC的面积为___________.

解析：

x2

y2

2x0

（x

1）2

y2

1

x

1

2t

2

x

y

2

2t

y

3

2

圆心（1,0）

到直线x

y

2

0

的距离为d

2，所以|AB|

2r2

d2

2

2

所以SABC

1

1

|AB|d

2

2

5.【2018天津文12】在平面直角坐标系中，经过三点

（0,0）,（1,1）（2,0）

的圆的方程为

__.

解析：

（0,0）,（1,1）两点的中垂线方程为xy1

0，（0,0）,（2,0）

两点的中垂线方程为

x1，联立

x

y10

（1,0）

，半径r

1

x

解得圆心坐标为

1

所以圆的方程为（x1）2y21

6.【2018

江苏选修C】在极坐标中，直线l的方程为sin（

）2，曲线C的方程

6

为

4cos，求直线l被曲线C截得的弦长。

解析：

sin（

）

2

x

3y

4

0

6

4cos

（x

2）2

y2

4，设直线与圆相交于

A,B两点

圆心（2,0）

到直线x

3y

4

0的距离d

2

1

2

|AB|2

r2

d2

2

3

2.椭圆，双曲线，抛物线中基础性的计算问题

2

2

7.【2018

全国1

文4】已知椭圆C:

x2

y

1

的一个焦点为

（2,0），则C的离心率为

___________.

a

4

解析：

c

2,b

2所以a2

b2

c2

8，e

c

2

2

a

22

2

8.【2018

全国2

理5文6】双曲线x2

y2

1的离心率为

3，则其渐近线方程为___.

a2

b2

解析：

2

c2

3

，则令

2

2

1

则b2

2，所以渐近线方程为

e

a2

c

3,a

y

bx

2x

a

9.【2018

全国3

文10】已知双曲线C:

x2

y2

1的离心率为

2，则点（4,0）到C的

a2

b2

渐近线的距离为_________.

解析：

e

c

2，渐近线bx

ay

0

a

所以点

（4,0）

到渐近线的距离为d

4b

4b

a2

b2

c

令c

2,a

1，则b

c2

a2

1,d

4b

4b

2

2

a2

b2

c

因为求的是比值，因此没必要求出

b,c具体的数字，因为无论

b,c是多少，其比值

都是相同的。

10.【2018

北京文10】已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线y2

4ax截

得的线段长为

4，则抛物线的焦点坐标为_________.

解析：

l:

x

1，代入到y2

4ax得y

2

a，所以4a

4，a

1（a只能为正数）

11.【2018

北京文12】若双曲线x2

y2

1（a

0）

的离心率为

5，则a=_______.

a2

4

2

解析：

b

2,e2

c2

a2

b2

a2

4

5，解得a4

a2

a2

a2

4

12.【2018

天津理7】已知双曲线x2

y2

1的离心率为

2，过右焦点且垂直于

x轴的

a2

b2

直线与双曲线交于

A,B两点，设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为

d1,d2，且d1

d2

6，则双曲线的方程为_______________.

解析：

如上图，d1

d2为右焦点F到渐近线y

bx的距离的2倍，故

bc

c

a

2

d1

d26，又因为e

2，解得a2

3,b2

9

a2

b2

a

x2

y2

所以双曲线的方程为

1

3

9

13.【2018

江苏8】在平面直角坐标系

xoy中，若双曲线x2

y2

1（a

0,b0）

的右

a2

b2

焦点F（c,0）到一条渐近线的距离为

3c，则其离心率的值是_________.

2

解析：

双曲线的渐近线为

bx

ay

0

，d

bc

b2

b

3c

a2

2

所以e

c2

c2

2

a2

c2

b2

14.【2018

浙江2】双曲线x2

y2

1的焦点坐标是_________.

3

解析：

a2

3,b2

1,c2

a2

b2

4

，且焦点在x轴上，所以焦点坐标为

（2,0）,（2,0）

15.【2018

上海1】设P为椭圆x2

y2

1

上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距

5

3

离之和为__________.

解析：

a2

5,a

5，P到该椭圆的两个焦点的距离之和为

2a

2

5

16.【2018

上海6】双曲线x2

y2

1的渐近线方程为__________.

4

bx

1x

解析：

a2

4,b2

1，所以渐近线方程为

y

a

2

2的

17.【2018

全国1

理8】设抛物线C:

y2

4x的焦点为F，过点（

2,0）

且斜率为

uuuur

uuur

3

直线与C交于M,N两点，则FM

FN=__________.

解析：

F（1,0），过点（

2

的直线方程为

2

x

4

2,0）且斜率为

y

，设

3

3

3

M（x1,y1）,N（x2,y2），联立

y2

4x

x2

y

2

4

5x40

x1

x2

5,x1x24

x

3

3

uuuur

uuur

（x1

x2）14x1x2

所以FMFNx1x2

8

18.【2018江苏12】在平面直角坐标系xoy中，A为直线l:

y

2x上在第一象限

uuuruuur

0，则

内的点，B（5,0）以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D。

若ABCD

点A的横坐标为__________.

解析：

因为AD

BD，所以|BD|为点B到直线y2x的距离，所以

10

25，因为

ABD为等腰直角三角形，所以

AB2BD210

BD

5

设A（m,2m），所以（m

5）2

（2m）2

210，且m

0

解得m3

3.圆锥曲线的离心率问题

19.【2018

全国2理12】已知F1,F2

x2

y2

是椭圆C:

2

b

21的左右焦点，A是C的

a

左顶点，点P在过点A且斜率为

3的直线上，

PF1F2为等腰三角形，

6

F1F2P

120，则C的离心率为________.

解析：

如上图，PF2F1F22c,PF2Q60F2Qc,PQ3c

所以P（2c,3c），因为A（a,0）

3c

3

1

所以KAP

6

e

2ca

4

20.【2018全国2文11】已知F1,F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若

PF1PF2，且PF2F1

60，则C的离心率是________.

解析：

因为|F1F2|2c,

PF1

PF2且

PF2F1

60

，则|PF2|c,|PF1|3c

所以|PF1||PF2|

（1

3）c

2a，解得e

c

3

1

a

x2

y2

的左右焦点，O是坐标原点，

21.【2018全国3理11】设F1,F2是双曲线C:

2

b

21

a

过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为

P，若|PF1|

6|OP|，则双曲线的离心

率为_______.

解析：

由题意知：

PF2:

y

a（xc）

b

y

a

（x

c）

a2

b

x

，即P（a

2

ab）

联立

，解得

c

y

b

ab

c

c

x

y

a

c

|PF1|

6|OP|

（a2

c）2

（ab）2

6[（a2

）2

（ab）2]

c

c

c

c

解得e

3

2

2

2

2

22.【2018北京理

14】已知椭圆M:

x2

y21（a

b0）

，双曲线N:

x2

y21.

a

b

m

n

若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆

M的两个焦点恰为一个正

六边形的顶点，则椭圆

M的离心率为___________;双曲线的N的离心率为____.

解析：

如上图，点P在椭圆上，也在以F1F2为直径的圆上，所以

F1PF290,PF2F130，PF1c,PF23c

所以PF1PF2（13）c2a，解得e31

在上图中，

QOF260，所以b

3e2

a

4.最值和范围问题

23.【2018

全国

3理6

文

8】直线

x

y2

0分别于

x轴，

y轴交于

A,B

两点，点

P

在圆

（x

2）2

y2

2上，则

ABP面积的取值范围是

___________.

解析：

A（

2,0）,B（0,2）,P（2

2cos

2sin），

uuur

uuur

2cos,

2sin）

AB

（2,2）,AP（4

此处用到了三角函数方法和向量法求三角形面积的公式

24.【2018

北京理7】在平面直角坐标系中，记d为点P（cos,sin）到直线

xmy

20的距离，当,m变化时，d的最大值为__________.

解析：

题目中如果是按照常规的点到直线距离来算，则要同时面对两个变量，点

P在

单位圆上，则d最大时等于圆心（0,0）到直线的距离加半径，这样就可以不用考虑

的变化对最值的影响。

P（cos

sin）是圆x2

y2

1上的点，所以d1

2

3

m2

1

浙江17】点P（0,1），椭圆x

2

y2

uuur

uuur

25.【2018

m（m

1）上两点A,B满足AP

2PB，

4

则当m=_______时，点B横坐标的绝对值最大。

分析：

若设B点横坐标为x0，则题目转化为当m为何值时，x0最大

因此可将x0和m放在同一个等式中且将x0单独分离到一边，含有m的式子放

到另一边，此时含有x0的部分类似于关于m函数的值域，因此题目的关键是找

到一个包含m和x0的等式，A,B两点的坐标通过共线产生关联，且

A,B均在椭

圆上，因此将A,B两点坐标代入椭圆方程，消去

y即可得到关于m和x0的等式。

uuur

uuur

解析：

设B（x0,y0），因为AP

2PB，则A（2x0,3

2y0）

x0

2

y0

2

m

联立

4

2

-（32y0）

2

3m

4x0

2

消去x04y0