基于数学核心素养的教学案例两篇.docx
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基于数学核心素养的教学案例两篇
基于数学核心素养的教学案例两篇
—空间中的平行关系复习课
数学素养——指人用数学观点、数学思维方式和数学方法观察、分析、解决问题的能力及其倾向性，包括数学意识、数学行为、数学思维习惯、兴趣、可能性、品质等等。
数学是一门知识结构有序、逻辑性很强的学科，“是人们对客观世界进行定性把握和定量刻画，逐步抽象概括，形成方法和理论，并进行广泛应用的过程”。
数学知识的学习过程，必须遵循数学学科特性，通过不断地分析、综合、运算、判断推理来完成。
因此，整个学习过程就是一个数学知识的积累、方法的掌握、运用和内化的过程，同时又是数学思维品质不断培养强化的过程。
显然数学的严密有序性、数学知识的内在逻辑性、数学方法的多样性是我们提高数学素养的极其重要的因素。
一个具有较高数学素养的人，数学思维特质的外显和内在表现在如下几个方面。
其一，“数学使人精细”是数学素养特质的外在表现。
高数学素养的人往往受过系统的数学教育，数学知识丰富，在生活和上作上常表现出对数的敏感和适应，能够从纷繁复杂的事例中分离出数学因素，建立模型，通过数学进行观察分析，善于用数学的观点说明问题。
其个性品质往往给人以精明、精细、富有逻辑的感觉。
其二，数学锻炼人的思维是数学素养特质的内在特征。
数学是思维的“体操”，数学思维本身就具有客观性、直观性、深刻性和灵活性等特征。
数学思维的客观性。
我们认识世界、了解世界，追求的是对客观世界的真实再现。
数学思维相对于其它思维，其精度更高、信度更强、效度更可靠，原因就在于数学思维是客观现实的反映。
用数学思维的观点、方法去观察、分析客观世界，更能体现真实再现的特点。
数学思维的直观性。
思维本是抽象的东西，如果凭借数学模型，以数据、图形作为载体进行量化分析，可以大大加强其直观性，数学思维的深刻性。
用数学方法进行思维，不仅可以了解事物的表面，而且可以通过对问题进行根本地了解和透彻地分析深入认识事物的本质。
如果没有数学方法的参与，有时我们很难对某些问题进行定性认识，甚至会使问题的解决半途而废。
而一旦通过数学方法对事物进行定性把握和定量刻画，则不难找到事物的本质联系或根本症结，作出合乎现实的正确决断。
数学思维的灵活性。
数学思维方式方法的多样性以及数学运算简捷便通性，给我们运用数学知识，通过数学的观点、方法判断、分析解决问题提供了极大的便利。
运用数学方法，解决问题，既可以宏观、全局、整体把握事物特征，又可以从某一方面、某一事例入手微观、局部地认识事物，达到窥“一斑”以见“个豹”的认知效果；既可以反思、总结过去，又可以设计和展望现在和未来；既可以通过数字符号反映事物间联系，又可以运用图形刻画事物的状态。
随着数学手段的发展和数学器具的便捷，社会对数学运用关注的程度也越来越高，诸多便利因素的出现为我们在现实之中用数学解决问题注入了无限的活力。
下面我以空间中平行关系复习课的教学设计为例说明我在课堂中是如何渗透数学的核心素养的。
数学核心素养的空间中的平行关系是空间几何学的基础，也是培养学生推理论证,几何直观能力的重要素材。
高三学生对空间中平行关系的相关概念和定理的掌握有所差异，同时缺乏知识的系统化，在解决空间中平行关系问题存在固化的程序操作，不能灵活应用。
基于上述情况在对空间中平行关系进行一轮复习时安排了二课时。
第一课时通过直观感知，促使学生主动回忆相关知识，构建知识框架。
第二课时以一个题干为基础，以一系列存在性问题为任务驱动方式，引导学生建立平行关系转化的思维路径。
让所有学生体会动态分析辅助线或面的思维过程，从而掌握解决复杂背景下空间中平行关系的一般方法。
重视几何直观想象能力培养，利用图形探索解决问题的思路、预测结果，借助几何直观把复杂的数学问题变得简明形象。
同时侧重学生逻辑推理能力的培养，学生利用空间想象能力，通过对空间图形的位置关系的观察、分析，利用演绎推理进行推理，并能结合图形使用规范清晰简明的符号语言加以表达。
数学中，逻辑与直觉、推理与猜想总是相伴相随的。
基于核心素养的要求，制定了本节课的教学目标。
教学目标：
1、知识与技能目标：
通过一类问题—“平行关系存在性问题”，掌握空间中线线平行、线与面平行以及面与面平行的判定定理和性质定理，灵活运用相关定理解决问题，实现三者之间关系的相互转化。
2、过程与方法目标：
以四棱锥为研究载体，通过问题引导及不断变换条件，体会运用运动变化观点看待几何问题，建立平行关系转化的思维路径，培养学生结合直观和逻辑思维能力。
3、情感、态度与价值观：
鼓励学生积极思考，培养学生勇于探索、敢于尝试、严谨分析和推理的数学研究态度.
教学过程：
提出本节课研究对象：
如图，四棱锥
的底面
中，
，
，
分析：
图中你还能找到哪些平行关系？
生：
问题1：
若平面PAB与PCD的交线是l，试判断直线l与直线AB的位置关系，你能证明吗？
生：
，学生分析完成，板书
师：
小结：
归纳已知一组线线平行推导另一组线线平行的方法：
a//ba//l
a//β
设计意图：
使学生经历由线//线得到线//面，再过其中一条线做平面找交线进而推出另一组线线//的思维过程，让学生体会构建线线平行是借助平面来实现的。
为下面的问题做好铺垫。
问题2：
在PB上是否存在一点E,使得PD//平面ACE?
请说明理由.
生：
可以感知存在但具体位置找有困难
师：
引导学生观察直线PD、AC为定直线,位置关系为异面，直观感知过绕AC转动的平面中一定存在与PD平行的平面，假设存在线//面故转化为构造线//交线。
引导学生动态分析过PD的平面有PAD、PDB、PDC等,其中平面PDB与平面ACE交线最直观
设计意图：
学生直观感知存在，让每个学生在大脑中经过动态操作，通过假设存在明确方向，体会线面//的性质可以作为构图的工具。
问题3：
在PA上是否存在一点F,使得
?
生：
思考、讨论、交流不同做法
师：
引导所有学生经历如下思维过程：
方法一：
提取主要研究对象，点D及平面PBC。
分析什么是定，什么是动，怎么动。
DF在平面PAD上动，平面PAD与平面PBC相交。
问题转化为相交面中有一个定点，过定点做一条线//已知面，由前面的铺垫，学生可想到做线平行于交线。
方法二：
假设存在，提取研究对象一条线和一个面PBC,有假设能得到什么？
过这条线做一个面与已知平面PBC相交，过一个点作平面不好做，观察点C在已知平面内，沿DC转动平面,与平面PAB交线MF，且始终与CD平行，利用动态函数的观点MF从AB到0，一定存在与CD相等的情况，从而得到平行四边形DFMC,与平面PAD交线为所求。
方法三：
抛开局限我们的面与平面PBC平行的线有无数条，线动成面，引导学生构造面面平行推线面平行。
小结：
1、存在性问题的解题策略先假设存在
2、构造线面平行的方法
依据线线平行或面面平行，线面的切入点都是先找线线平行，线线平行需借助平面
3、动态分析构造辅助线或面
设计意图：
让所有学生经历思维过程，复习课不是只给会的学生讲，要让所有同学掌握不同背景下解决问题的通法。
复杂背景下学会提取主要研究对象，再依据转化的思维路径，借助假设存在明确方向，从而解决问题。
进一步体会三种平行关系之间的内在联系。
问题4：
四棱锥
，若四棱锥底面两两不平行，E为PB上一定点，过点E与四棱锥四条侧棱都相交的截面中能否有平行四边形截面？
师追问：
有几个？
唯一性能否说明
学生独立思考后讨论交流，学生回答，关注学生是否用到这节课的思想来解析平行四边形的存在性。
师：
由前面几个问题的铺垫，学生用动态分析几何问题的思维初步形成，学生能想到过E作作交线的平行线，转动中必有相等且交线唯一，进一步明确平行四边形的唯一性。
设计意图：
进一步强化学生对空间中位置关系的认识，进一步体会不同维度平行的转换，深化动态分析的思维方法。
让学生学有所用，培养学生思考分析问题的能力及严谨的思维习惯。
教学中，采取以问题为任务驱动的方式，促使学生独立思考，不断把“思”引向深处。
深入理解三种平行的实质是线线平行，而线线平行需要平面来实现。
形成基于知识内涵的逻辑推理链条，实现三种语言表述的自由转化，最终提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
在平行位置关系转化的思维路径形成后，问题4学生自行解决得很好，几何直观和推理能力达到了提升。
思维动态分析是需要反复渗透，让学生不断体会空间平行关系转化的思维路径，同时存在性问题要通过假设分析，创设条件解决问题。
授课时，学生经过前期动态知识的回顾，及课上题目及变式的不断分析，逐步形成动态分析的思维特征。
数学核心素养之数学建模教学案例
1引言：
新修订的高中数学课程提出，数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力。
高中数学核心素养主要包括：
数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。
其中，对于数学建模，详细描述为数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。
主要包括：
在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。
数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。
数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。
在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验。
学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识。
特级教师张思明提出“我们通过数学建模的教与学要为学生创设一个学数学、用数学的环境，为学生提供自主学习、自主探索、自主提出问题、自主解决问题的机会。
近年来，数学建模应用题的数量和分值在高考中逐步增加，可见在命题中已经在转变传统的数学学科体系观念，旨在引导学生关心社会、关心未来，实现高考命题改革与中学教育、教学观念改革的结合。
2.中学数学模型的教学
2.1中学数学中常见的数学模型分类：
（1）与函数的最值相关问题。
工程中的用料最省、利润最大，列出所求量的函数解析式，利用代数工具解函数最大值。
（2）线性回归直线、非线性回归直线；如中学生身高和体重的关系，红铃虫产卵数与温度的关系。
（3）与周期有关的三角函数模型建立。
电路信号，音频震动，潮水涨落周期。
（4）线性规划问题。
关于求解含有多个约束条件的，目标函数的最有解问题。
（5）抽样统计调查类，独立性假设检验。
2.2数学建模的课堂陷入几个误区。
（1）数学建模课堂，教师陷入了对数学建模理论的讲解，而数学建模的基本步骤是什么，介绍集中常见的数学建模工具，里面有大量的数学公式推到，学生对数学建模的思想领会很少。
（2）数学建模能力的评价中，教师“编好”试验中的数据，或者抽样统计好的数据，学生只需分析问题，套用计算。
而没有让学生经历发现问题，
3．数学建模案例教学设计
本人从学生的实际认知特点出发，探索出基于案例教学的数学建模能力培养的一种教学模式。
我们在课堂上重现一些现实生活中的一些场景，学生把自己投入到案例场景，通过讨论研究，改进自己处理问题的各个步骤，最终达到增强能力的效果。
生活背景：
新学期，学校教务处又到了采购粉笔的时候了，教务处工作人员在网上浏览，发现新上市了一种正六棱柱的粉笔，价格和以往采购的传统的圆柱形粉笔价格相同。
请尝试建立数学模型，给教务处工作人员粉笔购买的建议。
模型的分析和建立的过程。
师：
你站在学校教务处的角度想想，在购买粉笔的时候，最应该考虑的问题是什么呢？
生：
粉笔的质量，比如粉笔是不是容易断，粉笔写起来是否流畅，粉笔对人是否更环保，对人更少的伤害。
师：
很好，这个同学从粉笔的质量谈了很多自己的想法。
除了质量之外，作为一个学校大批量采购粉笔的用户，我们还考虑什么？
生：
价格。
师：
我们肯定都是希望，用最少的钱，办最大的事。
我们都感觉到这个问题非常的困难了啊，所以，我们要要在建立基本的数学模型之前，做一些基本的假设。
生：
感觉考虑的因素太多了。
师：
我们想想，粉笔是否易断，能够很快做出评价吗？
让你比较两支粉笔，那个书写起来更流畅，采用什么方法进行比较呢？
生：
我们采用随即抽样的方法试试，让学校书法社团的人同一个人在一个黑板上书写，也许可以大概估计，哪种粉笔质量更好。
师：
每个人都开动脑经，找到了自己的方法，但是，让人去判断，主观性还是很大的。
生：
可是每个人感觉是否流畅和是否这段，也跟每个人的书写习惯有关吧。
教室陷入了激烈的讨论中。
师：
那我们能否可以假设两种粉笔出自同一条生产线，质量水平近乎相似，只是形状的差别。
生：
那我们只需要对每盒粉笔的价格分析就可以了。
师：
可是现在，我们两盒粉笔的价格是相同的啊，怎么办呢？
生：
那我们可以看看，同样是画直线，看哪一盒粉笔画的长，那么谁的性价比就高？
师：
这个同学提的这个思路非常正确，假设，一盒粉笔，总是不会被折断，一根全部用完之后，再用下一根。
那么一盒粉笔的书写长度主要跟谁有关呢？
生：
应该是跟一盒粉笔的总体积有很大的关系吧。
师：
我们再假设，装粉笔的盒子都是边长为20cm的正方体，那么装满两个盒子的粉笔，那个盒子中粉笔的总体积多呢？
生：
我们可以看图片发现，正六棱柱的粉笔，紧紧的靠在一起，没有任何的缝隙。
而圆柱形的粉笔相对而言有较大的空隙，所以，我们断定，同等价格下，正六棱柱的粉笔的体积最多。
师：
分析的非常到位，那么现在问题来了，如果一盒圆柱形粉笔，定价5元，为了保证两种粉笔有相同的性价比，请问正六棱柱粉笔的价格应该定为多少呢？
生：
性价比相同，每立方厘米的粉笔，所对应的价格要相同。
师：
那我们应该怎么去判断呢？
生：
我们只需让总价格/总体积都相同，从而我们可以给另外一盒粉笔合理的定价了。
师：
那么现在当务之急是干什么呢？
生：
我们需要计算两种规格的各种粉笔的总体积，
师：
那么我们按照一个怎样的流程去计算呢？
生：
先构建一个边长为20cm的正方形，圆柱的半径是1cm，正六棱柱的地面正六边形，外接圆恰好是半径为1cm的圆，看一个正方形内，最多可以放多少个这样的圆和多少个这样的正六边形，从而再计算相应的空间的利用率，从而得出，谁的体积更大一些。
模型建立：
根据以上所有的基本假设，画出粉笔盒中的俯视图，如图建立坐标系我们根据两圆外切的性质，建立层数与圆心所在直线的方程关系。
层数
圆心所在直线
1
Y=1
2
Y=1+
3
Y=1+
……
n
Y=1+（n-1）
又由于，边长为20cm的限制，而且最高层必须为完整的一层，我们确定1+10
=18.32。
所以，在圆柱形粉笔盒内有11层，我们再来观察第一层和第二层，第一层有10个圆柱之后，第二层有9个。
层数
中心所在直线
1
Y=1
2
Y=1+
3
Y=1+
……
n
Y=1+（n-1）
第二种粉笔盒我们首先建立奇数列，正六边形中心所在直线方程。
层数
对应层中心所在直线
1
Y=1+
2
Y=1+
3
Y=1+
……
n
Y=1+
则奇数列可以放11层，我们再看偶数列中心所在直线方程
n=11时，y=19.1865，再加上
=0.866为20.05,考虑到边界，偶数列也可以放11层。
我们纵向来看。
则n=13时，x=19,考虑到边界总共可以放13列。
列数
对应列中心所在直线
1
X=1
2
X=2.5
3
X=4
……
n
X=1.5n-0.5
模型计算：
（1）圆柱粉笔计算总体积：
，总共所有的圆柱数目为
，粉笔总共的体积为
（2）六棱柱粉笔计算总体积：
边长
，
总共的正六棱柱的数目为
总共的粉笔的体积为：
模型的结论与推广：
通过计算发现，生产正六棱柱的粉笔盒内的粉笔总体积：
生产圆柱粉笔盒内的粉笔总体积=371:
329，所以一盒普通的圆柱形粉笔卖5元话的，为了保证性价比的同意，正六棱柱的粉笔，可以卖5.63元。
师：
模型中还有哪些重大问题，没有考虑呢？
生：
我们精确的测量数据，粉笔盒的实际长度，与粉笔实际半径，已经市面上销售的正六棱柱的粉笔，他们的边长，跟我们假设的数据，有很大的出入，尺寸的不同，是否会影响我们的计算结果呢？
师：
这个同学提的问题非常的好，那么下来之后，我们同学在网上购买相同规格粉笔盒的两盒不同的粉笔，测量实际的数据，用我们同样的方法评价粉笔的性价比。
师：
我们能否把我们的研究结果推广到其他的地方？
生：
我们可以把我们的计算结果，推广到，用卡车装圆柱形的钢管数目的多少，香烟盒怎么设计，可以装三层香烟。
师：
我们能够对我们研究的问题，你还能提出，与我们所研究问题类似的问题呢？
生：
如果我们还是用硬纸板制作一个粉笔盒，单位面积的硬纸板，制作成圆柱形的好还是正方体好呢？
师：
这个同学很快把我们研究的问题就可以迁移出去，研究的方法，最终都会规则到平面几何的方法中去。
4．案例教学的说明与启示：
在整个教学活动中，引导学生的思维，经历发现问题，分析问题，基本假设，模型建立，模型求解，模型结论，模型推广的全过程。
特别是分析问题的过程，一定要让学生积极的参与进来，找准角度建立尽可能简单的数学模型；在基本假设的探究过程中，根据我们建立的简单数学模型，基本假设，需要调动所有学生的积极性，引导学生尽可能全面的考虑问题，将复杂情况简单化；模型建立的过程中，指导学生用超级画板将所研究的问题，图形化，再引导学生用函数思想求解问题，模型求解阶段，先提前给出简单的数据，帮助学生求解，再引导学生去实际测量生活中的数据，带入我们建立的模型求解。
模型推广中，让学生发散思维，让学生回顾我们所遇到的问题，在工程和社会生活中还有哪些可以迁移的地方，比如烟盒的设计与制作，货车运输钢管的模型，改进封闭的包装盒等等，体会数学中模型话解决问题的价值。
5.数学模型案例教学的价值：
高中课堂中渗透数学建模案例教学，应该引导学生，引导学生积极的解答。
鼓励学生独立思考。
传统的教学只告诉学生怎么去做，怎么去记忆一些程序性的知识，不能够极大的调动学生的学习热情。
案例教学没人会告诉你应该怎么办，而是要自己去思考、去创造，使得数学建模的过程变得生动活泼，每个人都可以对老师提出的问题发表自己的看法。
中学数学建模案例教学正是为此而生并在实践的过程中不断发展的完善的。
传统的教学方法是老师讲、学生听，学到的都是死知识。
而在案例教学中，学生拿到案例后，先要进行消化，然后查阅必要的理论知识，经过缜密地思考，提出解决问题的方案。
同时他的方案随时需要教师加以指导，这也促使教师加深思考，根据不同学生的不用方案，不断的去某一特殊案例的教学设计，优化问题流程，使教学进入良性的循环之中。
参考文献
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