用轴对称知识求线段和的最小值讲解.docx

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用轴对称知识求线段和的最小值讲解

浅析用轴对称知识求线段和的最小值

求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单的解决。

我们先通过一个非常典型的例题来推导一个性质：

一、性质推导

例题：

如图所示，在河岸L的一侧有两个村庄A、B，现要在河岸L上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到A，B两村庄的距离之和最短？

首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作B点关于L的对称点B1,在直线L上任意定一点M，连接BB1，BM，B1M，根据轴对称知识，我们可以求证BM＝B1M，

所以，我们可以得出这样的性质：

成轴对称的两个对应点到对称轴上任意一点的距离相等。

在该例题中，利用这一性质，我们可得出：

点B到河岸L上任意点M的距离等于对称B1到点M的距离。

要使AM+B1M最小，必须使A、M、B1三点共线，

也就是说，必须使点M，与AB1连线和L的交点N重合，

所以，河岸上的N点为到A、B的距离之和最小的点。

证明：

M为L上的任意点

因为BM＝B1M

所以，BM+AM＝B1M+AM，而B1M+AM大于B1A，

所以，结论成立

二、应用

1：

在图

（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。

求这个最小值。

解：

作出A1B（作法如上图）

过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H，

在Rt△A1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，

用勾股定理求得A1B的长度为4

千米，

即PA+PB的最小值为4

千米。

图

（1）

2、如图

（1），在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=__________________。

图

（1）

图

（2）

解：

如图

（2），只要画出点Q关于x轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1交x轴于点M，则M点即为所求。

点M的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。

（也可以用勾股定理或相似三角形求出答案）。

3、求函数y=

+

的最小值。

解：

方法（Ⅰ）

把原函数转化为y=

+

，因此可以理解为在X轴上找一个点，使它到点（3，1）和（-3，5）的距离之和最小。

（解法同上一题）。

方法（Ⅱ）

如图（9），分别以PM=（3-x）、AM=1为边和以PN=（x+3）、BN=5为边构建使（3-x）

和（x+3）在同一直线上的两个直角△PAM、△PNB，两条斜边的长就是PA=

和PB=

，因此，求y的最小值就是求PA+PB的最小值，只要利用轴对称性质求出BA1的长，就是y的最小值。

（6

）。

三、拓展

（一）三条线段的和最小的问题：

如图3，

已知甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时,甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA边上，丙站在OB边上，游戏规则：

甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点P处。

如果三人速度相同，试作图求出乙丙站在何处，他们比赛所用时间最短。

析解：

三人的速度一定且相同，要使比赛时间最短，只需

三人所走的路程最短，因此可以利用轴对称知识，作点P关于

OA、OB的对称点

、

，连接

，交OA于

，交OB

于

，则点

和点

应分别是乙、丙的位置。

这样连接

、

则三人行的路程和为

。

规律总结：

轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。

（二）利用菱形的对称性，求线段和的最小值

1、如图（5），在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=2a，∠BAD=1200,点P在BD上，则PE+PC的最小值是（）

（A）6a,（B）5a

（C）4a,（D）2

a。

解：

如图（6），因为菱形是轴对称图形，所以BC中点E关于对角线BD的对称点E一定落在AB的中点E1，只要连结CE1，CE1即为PC+PE的最小值。

这时三角形CBE1是含有300角的直角三角形，PC+PE=CE1=2

a。

所以选（D）。

2、已知在菱形ABCD中，∠A=600，AD=8，M、N分别是AB，BC边上的中点，P是对角线AC上一动点，求PM＋PN的最小值。

分析：

因为动点P在菱形ABCD的对角线AC上，

而CD边的中点G，是N关于对称轴AC的对应点

所以，PG＝PN，

因此求PM＋PN的最小值就转化为求PM＋PG的最小值，连接MG，在△PMG中，PM＋PG的最小值就是MG，即PM＋PG≥MG（仅当M、P、G三点共线时取得最小值）。

解：

取CD的中点G，连接PG 

∵AC是菱形ABCD的对角线  

∴∠PCG＝∠PCN

又CB＝CD，N是BC边的中点 ∴CN＝CG

又PC＝PC，∴△PCG≌△PCN ∴PG＝PN

连接MG。

∵     ∴四边形AMGD为平行四边形

∴MG＝AD＝8

在△PMG中，（仅当P、M、G三点共线时取等号）

∴

即，故PM＋PN的最小值为8。

（三）利用正方形的对称性，求线段和的最小值

已知如图：

正方形ABCD的边长是3,E点分边BC为2:

1,P为对角线BD上一点,求PE+PC的最小值. 

分析:

要想求PE+PC的最小值,关键是确定点P的位置,根据对称的知识我们知道点P的位置应是，点C关于直线BD的对称点和点E连线与BD的交点.

解:

因为四边形ABCD为正方形,所以点C关于BD的对称点为A,连接AE交BD于P点,则此时PE+PC的最小值最小,最小值为:

PE+PC=AE=

（四）利用等腰梯形的对称性，求线段和的最小值

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠B＝60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC＋PD的最小值为_____________。

分析：

在梯形ABCD中，因为AB＝CD＝AD，易知梯形ABCD是等腰梯形，又直线MN是梯形ABCD的对称轴，所以直线MN是底边AD、BC的垂直平分线，连接PA，由线段垂直平分线上任一点，到已知线段两端的距离相等知，PA＝PD，所以求PC＋PD的最小值就转化为求PC＋PA的最小值，即求AC的长度即可。

 解：

连接PA

∵AB＝CD＝AD＝1，∴梯形ABCD是等腰梯形

又直线MN是梯形ABCD的对称轴

∴PA＝PD

过点A作AE⊥BC，过点D作DF⊥BC，E、F为垂足，易证△ABE≌△DCF，∴BE＝CF

在Rt△ABE中，∵∠B＝60°，AB＝1

在Rt△ABC中，由勾股定理，得

即PA＋PC的最小值为（当A、P、C三点共线时取得最小值）

也可这样求AC的值：

过A点作CD的平行线，交BC于G，则BG＝AB＝1,GC＝AD＝1

∴BC＝2

而角BCA＝DAC＝DCA，∴角BCA＝30,角BAC＝90度

在三角形ABC中，可求得AC

（五）利用圆的对称性，求线段和的最小值

已知如图,AB是⊙○的直径,AB=2cm,OC⊥AB,点D是弧AC的三等分点,P是OC上一动点,求PA+PD的最小值.

分析：

圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆上任意一点的关于直径所在直线的对称点都在圆上。

解:

作点D关于OC的对称点F,连接AF,此时PA+PD的最小值为AF.

因为AB是圆O的直径,OC⊥AB，则弧AC的度数为900，因为D是弧AC的三等分点，所以弧AD的度数是600，弧DC的度数是300，因为点D与点F关于OC的对称，所以且弧DC与弧CF相等,都为300，∴∠AOF=1200，作OE⊥AF，则∠AOE=600。

在Rt△AOE中，AO=1cm，∠AOE=600，则AE=，∴AF=

。

（六）利用坐标系的对称性，求线段和的最小值

如图,在直角坐标系中,有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，0），求四边形ABCD周长最短时的值。

分析：

因为A、B是定点且长度不变，四边形ABCD的周长最短，需使AD+CD+BC 的值最小，由于C、D两点未知，所以本题关键是找C、D两点，可考虑用轴对称的方法将BC、CD、AD这三条折线拉直。

解：

分别作A点关于x轴、B点关于y轴的对称点

A/（-8，-3）、B/（4，5），连接A/B/分别交x轴、y轴于

D、C点。

设直线A/B/的解析式为y=kx+b，把x=-8，y=-3；x=4，y=5分别代入得：

  -8k+b=-3             

  4k+b=5  

 解得k和b值，得到A/B/的解析式为:

3y=2x+7  

令x=0，求得y，得到C点

令y＝0，求得x，得到D点

由以上几例可以看出，当求线段和的最小值时，常常借助轴对称将两条线段转化到一条直线上，再利用“两点之间线段最短”进行求解。

四、链接

看这样一题：

要在一条河上架一座桥（桥须与河岸垂直，两河岸平行），请提供一种设计方案，使从A地到B地的路径最短，请说明理由。

请思考：

1、这题为什么不能用轴对称知识解决？

（认真理解我推导出的性质就可明白）

2、如何用平移知识解决此题？

3、类似我推导出的轴对称性质，平移的知识能否推导出类似的性质？

五、练习

1、（2002湖北黄岗竞赛题）如图（10），∠AOB=450，角内有一点P，PO=10，在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是___________________。

当ΔPQR周长最小时，∠QPR的度数=____________。

提示：

画点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，

∵∠AOB=450，∴ΔP1OP2是等腰直角三角形，P1P2=10

。

又问:

当ΔPQR周长最小时，∠QPR的度数=____________。

（答案：

900）

2、已知点A（-2，1），点B（3，4）。

在X轴上求一点P，使得PA+PB的值最小。

这个最小值是__________________。

（同例2）

3、（北京市竞赛题）如图（11），在矩形ABCD中，AB=20㎝，BC=10㎝，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值。

提示：

要使BM+MN的值最小，应设法把折线BM+MN拉直，从而想到用轴对称性质来做。

画出点B关于直线AC的对称点B1，则B1N的长就是最小值；

又因为N也是动点，所以，当B1N⊥AB时这个值最小，利用勾股定理和三角形面积公式可以求得这个最小值为16。

初三的同学也可以用射影定理和面积公式求解。

4、如图（12）在菱形ABCD中，∠DAB=1200，点E平分BC，点P在BD上，且PE+PC=1，那么边长AB的最大值是________________。

提示：

因为当PE+PC最小时，AB=CD达到最大，这个最大值是

。

5、如图（15），在河湾处M点有一个观察站，观察员要从M点出发，先到AB岸，再到CD岸然后返回M点，则该船应该走的最短路线是————————（先画图，再用字母表示）。

6、求代数式

+

的最小值。

（答案：

）

求两线段长度值和最小”问题全解析

山东沂源县徐家庄中心学校　左进祥

在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助．

一、在三角形背景下探求线段和的最小值

1.1在锐角三角形中探求线段和的最小值

例1　如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为            ．

分析：

在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．

解：

如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM，所以△AME≌△AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE取最小值为4，以BM+MN的最小值是4．故填4．

1.2在等边三角形中探求线段和的最小值

例2（2010山东滨州）如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为        .

分析：

要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可．

解：

因为等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4,∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．

因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE=

=.

二、在四边形背景下探求线段和的最小值

2.1在直角梯形中探求线段和的最小值

例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．

分析：

在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．

解：

如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PC＋PD和最小，为线段CE．因为AD＝4，所以AE=4．因为∠ABC＝90°，AD∥BC，所以∠EAP＝90°．

因为∠APE＝∠BPC,所以△APE∽△BPC，所以.因为AE=4，BC＝6，所以，所以，所以,因为AB＝5，所以PB=3.

2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值

例4　如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为             ．

分析：

根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．

解：

如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PA＋PB和最小，为线段BD．过点D作DG⊥BC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC＝60°，AD∥BC，所以∠BAD＝120°．因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．

2.3在菱形中探求线段和的最小值

例5　如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为           ．

分析：

根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．

解：

如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED=

=．所以PE＋PB的最小值为．

2.4在正方形中探求线段和的最小值

例6　如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为           ．

分析：

根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．

解：

如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN＋MN和最小，为线段BM．因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN的最小值为10.

例7（2009?

达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为                   cm．（结果不取近似值）．

分析：

在这里△PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．

解:

如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC于点P，连接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，DQ==，所以△PBQ的周长的最小值为：

BP+PQ+BQ=DQ+BQ=+1．故答案为+1．

三、在圆背景下探求线段和的最小值

例8（2010年荆门）如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为（   ）

（A）2   （B）    （C）1   （D）2

分析：

根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度．

解：

如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，

所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：

∠BON＝30°．由垂径定理得：

弧DN的度数为60°．所以∠BOD＝∠BON+∠DON=30°+60°=90°.所以DB==.所以选择B．

四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值

例9（2010山东济宁）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.

分析：

利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键．

要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了．

解：

（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y．

因为三角形OAM的面积为1，所以所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=．

（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以，

解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB的值最小．

五、在二次函数背景下探求线段和的最小值

例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.

（1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在

（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？

若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

分析：

在这里△AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．

解：

（1）由题意得:

所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；

（2）因为B（-2,0）,O（0,0）,所以设抛物线的解析式为：

y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：

3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．

（3）存在点C.如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB与抛物线的对称轴x=-1交AC于点C，此时△AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E．

过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为△BCE∽△BAF,所以,

所以，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．

六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值

例11（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

分析：

本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中．

解：

（1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.

若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.

由D+C=+C＞C=D+CE=DE+CE，所以△的周长最小.

因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4,D为OB的中点，所以BC=3，DO=O=2.

所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E的坐标为（1，0）；

（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x轴交于点E，在EA上截EF=2.因为GC∥EF，GC=EF，所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.

又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.

因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4,D为OB的中点，CG=2,所以BC=3，DO=O=2,BG=1.

所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）