F-mgsinθ-μmgcosθ=0故F=mgsinθ+μmgcosθ，若μ=tanθ，则mgsinθ=μmgcosθ，即F=2mgsinθ故C项正确；若要使物块在平行于斜面向下的拉力F作用下沿斜面向下匀速滑动，由平衡条件有：
F+mgsinθ-μmgcosθ=0则F=μmgcosθ-mgsinθ若μ=tanθ，则mgsinθ=μmgcosθ，即F=0，故D项错误
力的合成和分解
知识梳理
一、合力与分力
如果一个力产生的效果和其他几个力产生的效果相同，这个力就叫那几个力的合力，那几个力就叫这个力的分力。
二、力的合成：
求几个力的合力叫做力的合成。
1.平行四边形定则：
力的合成的本质就在于保证作用效果相同的前提下，用一个力的作用代替几个力的作用，这个力就是那几个力的“等效力”（合力）。
力的平行四边形定则是运用“等效”观点，通过实验总结出来的共点力的合成法则，它给出了寻求这种“等效代换”所遵循的规律。
2.三角形定则：
平行四边形定则可简化成三角形定则。
由三角形定则还可以得到一个有用的推论：
如果n个力首尾相接组成一个封闭多边形，则这n个力的合力为零。
3.共点的两个力合力的大小范围：
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2
4.共点的三个力合力的最大值为三个力的大小之和，最小值可能为零。
三、力的分解：
求一个力的分力叫力的分解。
1.力的分解遵循平行四边形法则，力的分解相当于已知对角线求邻边。
2.两个力的合力惟一确定，一个力的两个分力在无附加条件时，从理论上讲可分解为无数组分力，但在具体问题中，应根据力实际产生的效果来分解。
3.几种有条件的力的分解
（1）已知两个分力的方向，求两个分力的大小时，有唯一解。
（2）已知一个分力的大小和方向，求另一个分力的大小和方向时，有唯一解。
（3）已知两个分力的大小，求两个分力的方向时，其分解不惟一。
（4）已知一个分力的大小和另一个分力的方向，求这个分力的方向和另一个分力的大小时，其分解方法可能惟一，也可能不惟一。
四、力的合成与分解体现了用等效的方法研究物理问题。
合成与分解是为了研究问题的方便而引入的一种方法。
用合力来代替几个力时必须把合力与各分力脱钩，即考虑合力则不能考虑分力，同理在力的分解时只考虑分力而不能同时考虑合力。
五、力的合成分解中常用的数学方法
在力的合成分解中利用平行四边形定则求解是基本方法，也要根据实际情况采用不同的分析方法：
1.若出现直角三角形，常用三角函数表示合力与分力的关系。
2.若给定条件中有长度条件，常用力组成的三角形（矢量三角形）与长度组成的三角形（几何三角形）的相似比求解。
3.用正交分解法求解力的合成与分解问题：
把一个力分解成两个互相垂直的分力，这种分解方法称为正交分解法。
用正交分解法求合力的步骤：
（1）首先建立平面直角坐标系，并确定正方向
（2）把各个力向x轴、y轴上投影，但应注意的是：
与确定的正方向相同的力为正，与确定的正方向相反的为负，
这样，就用正、负号表示了被正交分解的力的分力的方向
（3）求在x轴上的各分力的代数和Fx合和在y轴上的各分力的代数和Fy合
（4）求合力的大小
合力的方向：
tanα=
（α为合力F与x轴的夹角）
注：
（1）在分析同一个问题时，合矢量和分矢量不能同时使用。
也就是说，在分析问题时，考虑了合矢量就不能再考虑分矢量；考虑了分矢量就不能再考虑合矢量。
（2）矢量的合成分解，一定要认真作图。
在用平行四边形定则时，分矢量和合矢量要画成带箭头的实线，平行四边形的另外两个边必须画成虚线。
（3）各个矢量的大小和方向一定要画得合理。
（4）在应用正交分解时，两个分矢量和合矢量的夹角一定要分清哪个是大锐角，哪个是小锐角，不可随意画成45°。
（当题目规定为45°时除外）
题型讲解
1.平行四边形定则
无风时气球匀速竖直上升的速度是4m/s，现自西向东的风速大小为3m/s，则
（1）气球相对地面运动的速度大小为__________，方向__________。
（2）若风速增大，则气球在某一时间内上升的高度与风速增大前相比将______。
（填“增大”、“减小”、“保持不变”）
【解析】
（1）在地面上的人看来，气球的运动同时参与了两个运动，即竖直向上的运动和自西向东的水平运动。
如图2－8所示，根据平行四边形定则，其合速度大小为
v＝
m/s＝5m/s
设合速度方向与水平方向夹角为θ，则
tan θ＝
，θ＝arctan1.33＝53°
即合速度的方向为向东偏上53°。
（2）如果一个物体同时参与两个运动，这两个分运动是“相互独立、同时进行”的，各自遵守各自的规律。
由风引起的水平方向的分运动不会影响气球竖直方向的分运动，气球上升的高度与风速无关，在任一段时间内上升的高度不变。
2.三角形定则
（1）如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心，一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止P点。
设滑块所受支持力为FN。
OF与水平方向的夹角为0。
下列关系正确的是（）
A．
B．F＝mgtan0
C．
D．FN=mgtan0
（2）如图所示，固定在水
平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一个小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的A点，另一端绕过定滑轮，如图所示。
今缓慢拉绳使小
球从A点滑向半球顶点（未到顶点），则此过程中，小球对半球的压力大小N及细绳的拉力T大小的变化情况是（）
A.N变大，T变大B.N变小，T变大
C.N不变，T变小D.N变大，T变小
【解析】对A进行受力分析，如图所示，力三角形AF′N
与几何三角形OBA相似，由相似三角形对应边成比例，解
得N不变，T变小。
3.正交分解法
质量为m的木块在推力F作用下，在水平地面上做匀速运动．已知木块与地面间的动摩擦因数为µ，那么木块受到的滑动摩擦力为下列各值的哪个?
A．µmgＢ．µ（mg+Fsinθ）
Ｃ．µ（mg－Fsinθ）Ｄ．Fcosθ
【解析】木块匀速运动时受到四个力的作用：
重力mg、推力F、支持力FN、摩擦力Fµ．沿水平方向建立x轴，将F进行正交分解如图（这样建立坐标系只需分解F），由于木块做匀速直线运动，所以，在x轴上，向
左的力等于向右的力（水平方向二力平衡）；在y轴上向上的力等于向下
的力（竖直方向二力平衡）．即
Fcosθ＝Fµ①
FN＝mg+Fsinθ②
又由于Fµ＝µFN③
∴Fµ＝µ（mg+Fsinθ）
故Ｂ、Ｄ答案是正确的
4.力的合成与分解的实际运用
已知某船在静水中的速率为v1＝4m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100m，河水的流动速度为v2＝3m/s
，方向与河岸平行。
试分析：
（1）欲使船以最短时间渡过河去，航向怎样？
最短时间是多少？
到达对岸的位置怎样？
船
发生的位移是多大？
（2）欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？
渡河所用时间是多少？
【解析】
（1）根据运动的独立性和等时性，当船在垂直河岸方向上的分速度v⊥最大时，渡河所用时间最短，设船头指向上游且与上游河岸夹角为α，其合速度v与分运动速度v1、v2的矢量关系如图2－10所示。
河水流速v2平行于河岸，不影响渡河快慢，船在垂直河岸方向上的分速度v⊥＝v1sinα，则船渡河所用时间为t＝
。
显然，当sinα＝1即α＝90°时，v⊥最大，t最小，此时船身垂直于河岸，船头始终指向正对岸，但船实际的航向斜向下游，如图2-11所示。
渡河的最短时间tmin＝
＝
s＝25s。
船的位移为s＝v t＝
t min＝
×25m＝125m。
船渡过河时已在正对岸的下游A处，其顺水漂流的位移为
x＝v2tmin＝
＝
m＝75m。
（2）由于v1＞v2，故船的合速度与河岸垂直时，船的渡河距离最短。
设此时船速v1的方向（船头的指向）斜向上游，且与河岸成θ角，如图2-12所示，则
cos θ＝
＝
，θ＝41°24′
船的实际速度为v合＝
＝
m/s＝
m/s。
故渡河时间t′＝
＝
s＝
s≈38s。
受力分析、共点力平衡
知识梳理
一、物体的受力分析
1.明确研究对象
在进行受力分析时，研究对象可以是某一个物体，也可以是保持相对静止的若干个物体。
在解决比较复杂的问题时，灵活地选取研究对象可以使问题简洁地得到解决。
研究对象确定以后，只分析研究对象以外的物体施予研究对象的力（即研究对象所受的外力），而不分析研究对象施予外界的力。
2.按顺序找力
先场力（重力、电场力、磁场力），后接触力；接触力中必须先弹力，后摩擦力（只有在有弹力的接触面之间才可能有摩擦力）。
3.只画性质力，不画效果力
画受力图时，只能按力的性质分类画力，不能按作用效果（拉力、压力、向心力等）画力，否则将出现重复。
4.需要合成或分解时，必须画出相应的平行四边形（或三角形）
二、物体的平衡
物体的平衡有两种情况：
一是质点静止或做匀速直线运动，物体的加速度为零；二是物体不转动或匀速转动（此时的物体不能看作质点）。
三、共点力作用下物体的平衡
1.共点力——几个力作用于物体的同一点，或它们的作用线交于同一点（该点不一定在物体上），这几个力叫共点力。
2.共点力的平衡条件
在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零，即F合＝0或Fx合＝0，Fy合＝0
3.判定定理
物体在三个互不平行的力的作用下处于平衡，则这三个力必为共点力。
（表示这三个力的矢量首尾相接，恰能组成一个封闭三角形）
四、平衡条件推论
1.二力平衡必共线：
若物体在两个共点力作用下处于平衡状态，则这两个力满足等大反向的关系；
2.三力平衡必共点：
若物体在三个非平行力作用下处于平衡状态，则这三个力一定是共点力，（表示这三个力的矢量首尾相接，恰能组成一个封闭三角形）；
3.当物体受N个共点力作用面平衡时，其所受N-1个力的合力，一定是剩下那个力的平衡力；
4.当物体处于平衡状态时，沿任意方向物体所受的合力均为零
题型讲解
1.静平衡问题的分析方法
如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。
一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为
。
则两小球的质量比
为（）
A．
B．
C．
D．
【解析】小球受重力m1g、绳拉力F2=m2g和支持力F1的作用而平衡。
如图所示，由平衡条件得，F1=F2，
，得
2.动态平衡
（1）重为G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。
如图所示。
若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2各如何变化？
【解析】对小球受力分析，如图。
由于挡板是缓慢转动的，可以认为每
个时刻小球都处于静止状态，因此所受合力为零。
应用三角形定则，G、F1、F2三个矢量应组成封闭三角形，其中G的大小、方向始终保持不变；F1的方向不变；F2的起点在G的终点处，而终点必须在F1所在的直线上，由图可知，挡板逆时针转动90°的过程中，F2矢量也逆时针转动90°，因此F1逐渐变小，F2先变小后变大。
（当F2⊥F1，即挡板与斜面垂直时，F2最小）
大。
（2）如图7所示整个装置静止时，绳与竖直方向的夹角为30º。
AB连线与OB垂直。
若使带电小球A的电量加倍，带电小球B重新稳定时绳的拉力多大？
【解析】AOB与FBT′围成的三角形相似，则有：
AO/G=OB/T。
说明系统处于不同的平衡状态时，拉力T大小不变。
由球A电量未加倍时这一特殊状态可以得到：
T=Gcos30º。
球A电量加倍平衡后，绳的拉力仍是Gcos30º。
3.平衡中的临界和极值问题
（1）已知质量为m、电荷为q的小球，在匀强电场中由静止释放后沿直线OP向斜下方运动（OP和竖直方向成θ角），那么所加匀强电场的场强E的最小值是多少？
【解析】根据题意，释放后小球所受合力的方向必为OP方向。
用三角形定则从右图中不难
看出：
重力矢量OG的大小方向确定后，合力F的方向确定（为OP方向），而电场力Eq的矢量起点必须在G点，终点必须在OP射线上。
在图中画出一组可能的电场力，不难看出，只有当电场力方向与OP方向垂直时Eq才会最小，所以E也最小，有E=
（2）如图所示，在固定的、倾角为α斜面上，有一块可以转动的夹板（β不定），夹板和斜面夹着一个质量为m的光滑均质球体，试求：
β取何值时，夹板对球的弹力最小.
【解析】解法一：
图解法
对球体进行受力分析，然后对平行四边形中的矢量G和N1进行平移，使它们构成一个三角形，如图的左图和中图所示.
于G的大小和方向均不变，而N1的方向不可变，当β增大导致N2的方向改变时，N2的变化和N1的方向变化如图中的右图所示.
显然，随着β增大，N1单调减小，而N2的大小先减小后增大，当N2垂直N1时，N2取极小值，且N2min=Gsinα.
解法二：
解析法
看上图的中间图，对这个三角形用正弦定理，有：
=
，
即：
N2=
，β在0到180°之间取值，N2的极值讨论是很容易的.
【答案】当β=90°时，甲板对球的弹力最小.
4.整体法和隔离法
对于连结体问题，如果能够运用整体法，我们优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少；不计物体间相互作用的内力，或物体系内的物体的运动状态相同，一般首先考虑整体法，对于大多数动力学问题，单纯采用整体
法并不一定能解决，通常采用整体法和隔离法相结合的方法。
隔离法：
物体之间总是相互作用的，为了使研究的问题得到简化，常将研究对象从相互作用的物体中隔离出来，而其它物体对研究对象的影响一律以力来表示的研究方法叫隔离法。
整体法：
在研究连接体一类的问题时，常把几个相互作用的物体作为一个整体看成一个研究对象的方法叫整体法
。
例、有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑.AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示.现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是（）
A．FN不变，f变大B．FN不变，f变小
C．FN变大，f变大D．FN变大，f变小
探究弹力和弹簧伸长的关系验证力的平行四边形定则
知识梳理
一、弹力与形变的关系．
实验原理
1．如图所示，弹簧在下端悬挂钩码时会伸长，平衡时弹簧产生的弹力与重力大小相等.
2．用刻度尺测出弹簧在不同的钩码拉力下的伸长量x，建立坐标系，以纵坐标表示弹力大小F，以横坐标表示弹簧的伸长量x，在坐标系中描出实验所测得的各组（x，F）对应的点，用平滑的曲线连接起来，根据实验所得的图线，就可探知弹力大小与伸长量间的关系．．
实验器材
轻质弹簧（一根），钩码（一盒），刻度尺，铁架台，重垂线，坐标纸，三角板．
实验步骤：
数据处理:
1．建立坐标系，标明横轴和纵轴所表示的物理量及单位；
2．标度：
标度要适当,让所得到的图线布满整个坐标系；
3．描点：
描点时要留下痕迹；
4．连线:
让尽可能多的点落在同一直线上，让其余的点落在直线的两侧，误差较大的点舍弃；
5．根据图象做出结论.
注意事项
1.给弹簧施加拉力不要太大，以免弹簧被过分拉伸，超出它的弹性限度。
2.测量弹簧长度时，不要用手拉弹簧，在弹簧自然竖直状态去测量.
3.为了减小误差，要尽量多测几组数据.
4.使用数据时应采用（lX-l0）即弹簧长度变化量.
二、验证平行四边形定则
实验目的
验证平行四边形定则
实验器材
① 方木板一块②测力计两个③细绳两段④橡皮条一段⑤白纸⑥铅笔⑦刻
度尺⑧量角器⑨图钉
实验原理
利用测力计测力作矢量图验证力的平行四边形定则.
实验步骤
注意事项
1.测力计使用前要校准零点。
2.弹簧伸长方向和所测拉力方向应一致,并与木板平行.
3.在不超出弹簧秤量程的条件下，应该尽可能使弹簧秤的拉力大一些，读数时注意弹簧秤的量程及最小刻度.
4.同一次实验中，橡皮筋结点Ｏ位置一定要相同。
5.拉橡皮条的细线要长些,标记两条细线方向的两点要尽可能远些.
题型讲解
1.探究弹力与弹簧伸长量之间的关系
某同学和你一起探究弹力和弹簧伸长的关系，并测弹簧的劲度系数k．做法是先将待测弹簧的一端固定在铁架台上，然后将最小刻度是毫米的刻度尺竖直放在弹簧一侧，并使弹簧另一端的指针恰好落在刻度尺上．当弹簧自然下垂时，指针指示的刻度数值记作L0，弹簧下端挂一个50g的砝码时，指针指示的刻度数值记作L1；弹簧下端挂两个50g的砝码时，指针指示的刻度数值记作L2；……；挂七个50g的砝码时，指针指示的刻度数值记作L7．
①下表记录的是该同学已测出的6个值，其中有两个数值在记录时有误，它们的代表符号分别是和．
测量记录表：
代表符号
L0
L1
L2
L3
L4
L5
L6
L7
刻度数值/cm
1.70
3.40
5.10
8.60
10.3
12.1
②实验中，L3和L2两个值还没有测定，请你根据上图将这两个测量值填入记录表中．
③为充分利用测量数据，该同学将所测得的数值按如下方法逐一求差，分别计算出了三个差值：
d1＝L4－L0＝6.90cm，d2＝L5－L1＝6.90cm，d3＝L6－L2＝7.00cm．
请你给出第四个差值：
d4＝＝cm．
④根据以上差值，可以求出每增加50g砝码的弹簧平均伸长量ΔL．ΔL用d1、d2、d3、d4表示的式子为：
ΔL＝，代入数据解得ΔL＝cm．
⑤计算弹簧的劲度系数k＝N/m．（g取9.8m/s2）
2.平行四边形定则
有同学利用如图的装置来验证力的平行四边形定则：
在竖直木板上铺有白纸，固定两个光滑的滑轮A和B，将绳子打一个结点O，每个勾码的重量相等，当系统达到平衡时，根据勾码个数读出三根据绳子的拉力TOA、TOA和TOA，回答下列问题：
[来源:
学|科|网]
（1）改变勾码个数，实验能完成的是（）
A．勾码的个数N1=N2=2，N3=4B．勾码的个数N1=N3=3，N2=4
C．勾码的个数N1=N2=N
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