版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题第十一章 计数原理随机变量及其概率分布 111 Word版含解.docx
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版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题第十一章计数原理随机变量及其概率分布111Word版含解
考试内容
等级要求
加法原理与乘法原理
B
排列与组合
B
二项式定理
B
离散型随机变量及其分布列
A
超几何分布
A
条件概率及相互独立事件
A
n次独立重复试验的模型及二项分布
B
离散型随机变量的均值与方差
B
§11.1分类计数原理与分步计数原理
考情考向分析以理解和应用两个基本原理为主，常以实际问题为载体，加强分类讨论思想，注重分析问题、解决问题能力的考查，常与排列、组合知识交汇；两个计数原理在高考中单独命题较少，一般是与排列组合结合进行考查；两个计数原理的考查一般以解答题的形式出现，难度为中档．
1．分类计数原理
如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
2．分步计数原理
如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
3．分类和分步的区别，关键是看事件能否一步完成，事件一步完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步．分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理，将种数相乘．
概念方法微思考
1．在解题过程中如何判定是用分类计数原理还是分步计数原理？
提示如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步计数原理．
2．两种原理解题策略有哪些？
提示①分清要完成的事情是什么；
②分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；
③有无特殊条件的限制；
④检验是否有重复或遗漏．
题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．（×）
（2）在分类计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．（√）
（3）在分步计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．（√）
（4）如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi（i＝1,2,3，…，n），那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法．（√）
（5）在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．（√）
题组二教材改编
2．[P9T8]已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是________．
答案6
解析分两步：
第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是3×2＝6.
3．[P29习题T9]将3个不同的小球放入编号分别为1,2,3,4,5,6的盒子内，6号盒子中至少有1个球的放法种数是________．
答案91
解析本题应分为6号盒子中有1个球，2个球，3个球三类来解答，可列式为C
（A
＋A
）＋C
A
＋C
＝91（种）．
题组三易错自纠
4．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为________．
答案18
解析分两类情况讨论：
第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有3×2×2＝12（个）奇数；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3×2×1＝6（个）奇数．根据分类计数原理知，共有12＋6＝18（个）奇数．
5．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．
答案12
解析当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时共有4种情况．当有三个1时：
2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有9种，当有三个2,3,4时：
2221,3331,4441，有3种，根据分类计数原理可知，共有12种结果．
6．已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为________．
答案12
解析 将4个门编号为1,2,3,4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2,3,4号门进入，同样各有3种走法，共有3×4＝12（种）不同的走法．
7.现用4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种．
答案48
解析 需要先给C块着色，有4种方法；再给A块着色，有3种方法；再给B块着色，有2种方法；最后给D块着色，有2种方法，由分步计数原理知，共有4×3×2×2＝48（种）着色方法．
题型一分类计数原理
1．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对（a，b）的个数为________．
答案13
解析方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的情况应分类讨论．①当a＝0时，方程为一元一次方程2x＋b＝0，不论b取何值，方程一定有解．此时b的取值有4个，故此时有4个有序数对．
②当a≠0时，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.显然有3个有序数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．a≠0时，（a，b）共有3×4＝12（个）实数对，故a≠0时满足条件的实数对有12－3＝9（个），所以答案应为4＋9＝13.
2．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数（如120,343,275等），那么所有凸数的个数为________．
答案240
解析 若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6（个）．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12（个），…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72（个）．
所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240（个）．
3．定义“规范01数列”{an}如下：
{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有___个．
答案14
解析第一位为0，最后一位为1，中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,001110；只有2个1相邻时，共有A
个，其中110100,110010,110001,101100不符合题意；三个1都不在一起时有C
个，共2＋8＋4＝14（个）．
思维升华分类标准是运用分类计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关键位置．
（1）根据题目特点恰当选择一个分类标准．
（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．
（3）分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．
题型二分步计数原理
例1
（1）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为________．
答案18
解析从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝18（条）．
（2）有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．
答案120
解析每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120（种）．
引申探究
1．本例
（2）中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？
解每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729（种）．
2．本例
（2）中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？
解每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216（种）．
思维升华
（1）利用分步计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：
完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．
（2）分步必须满足两个条件：
一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
跟踪训练1一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不同（除交汇点O外）的游览线路有______种．（用数字作答）
答案48
解析根据题意，从点P处进入后，参观第一个景点时，有6个路口可以选择，从中任选一个，有6种选法；参观完第一个景点，参观第二个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有4种选法；参观完第二个景点，参观第三个景点时，有2个路口可以选择，从中任取一个，有2种选法．由分步计数原理知，共有6×4×2＝48（种）不同的游览线路．
题型三两个计数原理的综合应用
命题点1与数字有关的问题
例2用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．（用数字作答）
答案1080
解析①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C
·C
·A
＝960.
②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A
＝120.
故符合题意的四位数一共有960＋120＝1080（个）．
命题点2涂色、种植问题
例3如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为________．
答案96
解析按区域1与3是否同色分类：
①区域1与3同色：
先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5（还有3种颜色）有A
种方法．
∴区域1与3同色时，共有4A
＝24（种）方法．
②区域1与3不同色：
第一步涂区域1与3有A
种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有1种方法，第四步涂区域5有3种方法．
∴共有A
×2×1×3＝72（种）方法．
故由分类计数原理可知，不同的涂色种数为24＋72＝96.
命题点3与几何有关的问题
例4
（1）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．
答案36
解析第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24（个）；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36（个）．
（2）如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是________．
答案48
解析长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面（非表面）构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.
思维升华利用两个计数原理解决应用问题的一般思路
（1）弄清完成一件事是做什么．
（2）确定是先分类后分步，还是先分步后分类．
（3）弄清分步、分类的标准是什么．
（4）利用两个计数原理求解．
跟踪训练2
（1）建造一个花坛，花坛分为4个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花（不一定4种颜色都栽种），每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有________种．（用数字作答）
1
2
3
4
答案108
解析先栽第一块地，有4种情况，然后栽第二块地，有3种情况，第三块地有3种情况，第四块地有3种情况，则共有4×3×3×3＝108（种）不同的栽种方法．
（2）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有________个．
答案120
解析由题意，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×A
＝72（个）；若万位是4，则有2×A
＝48（个），故比40000大的偶数共有72＋48＝120（个）．
1．集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5,6,7,8,9}，从集合A，B中各取一个数，能组成的没有重复数字的两位数的个数为________．
答案58
解析根据分步计数原理和分类计数原理得
（C
·C
＋C
·C
＋C
·C
＋C
）·A
＝58.
2．（2018·苏州质检）三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有________种．
答案6
解析分两类：
甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式（如图），
同理，甲先传给丙时，满足条件的也有3种传递方式．
由分类计数原理可知，共有3＋3＝6（种）传递方式．
3．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有________种．
答案12
解析根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行车路线共有4×3＝12（种）．
4．若自然数n使得作竖式加法n＋（n＋1）＋（n＋2）各位数均不产生进位现象，则称n为“开心数”．例如：
32是“开心数”．因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“开心数”，因为23＋24＋25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为________．
答案12
解析根据题意知个位数n需要满足n＋（n＋1）＋（n＋2）<10，即n<2.3，
∴个位数可取0,1,2三个数，
∵十位数k需要满足3k<10，
∴k<3.3，
∴十位数可以取0,1,2,3四个数，故小于100的“开心数”共有3×4＝12（个）．
5．从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同对数值的个数为________．
答案17
解析当所取两个数中含有1时，1只能作真数，对数值为0，当所取两个数中不含有1时，可得到A
＝20（个）对数，但log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93.综上可知，共有20＋1－4＝17（个）不同的对数值．
6．设a，b，c∈{1,2,3,4,5,6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三角形有________个．
答案27
解析先考虑等边的情况，a＝b＝c＝1,2，…，6，有六个，
再考虑等腰的情况，若a＝b＝1，c此时c＝1与等边重复，
若a＝b＝2，c若a＝b＝3，c若a＝b＝4，c若a＝b＝5，c若a＝b＝6，c故一共有27个．
7．2017年1月27日，哈尔滨地铁3号线一期开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街．每人只能去一个地方，哈西站一定要有人去，则不同的游览方案为________种．
答案65
解析根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街．每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人一共有3×3×3×3＝81（种）情况，若哈西站没人去，即四位同学选择了城乡路和哈尔滨大街．每人有2种选择方法，则4人一共有2×2×2×2＝16（种）情况，故哈西站一定要有人去有81－16＝65（种）情况，即哈西站一定有人去的游览方案有65种．
8．用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有________种．
答案4320
解析 分步进行：
1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法．
根据分步计数原理可知，共有6×5×4×3×3×4＝4320（种）不同的涂色方法．
9.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为________．
答案96
解析若A，D颜色相同，先涂E有4种涂法，再涂A，D有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只有1种涂法，共有4×3×2＝24（种）；若A，D颜色不同，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂法，当B和D相同时，C有2种涂法，当B和D不同时，C只有1种涂法，共有4×3×2×（2＋1）＝72（种），根据分类计数原理可得，共有24＋72＝96（种）不同的涂色方法．
10．设集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{（x，y）|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数为________．（用数字作答）
答案10
解析易知A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，
∴x有2种取法，y有5种取法．
由分步计数原理，知A*B中的元素有2×5＝10（个）．
11．联合国国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有________种．
答案25
解析根据题意，可分为：
三个国家粮食和药品都有，有1种方法；
一个国家粮食，两个国家药品，有3种方法；
一个国家药品，两个国家粮食，有3种方法；
两个国家粮食，三个国家药品，有3种方法；
两个国家药品，三个国家粮食，有3种方法；
两个国家粮食，两个国家药品，有3×2＝6（种）方法；
三个国家粮食，一个国家药品，有3种方法；
三个国家药品，一个国家粮食，有3种方法，
故方法总数是25.
12．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为________．
答案240
解析将数字“124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，①若末位数字为2，因为含有2个4，所以有
＝60（种）情况；②若末位数字为6，同理有
＝60（种）情况；③若末位数字为4，因为有2个相同数字4，所以共有5×4×3×2×1＝120（种）情况．综上，共有60＋60＋120＝240（种）情况．
13.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓．若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓．则不同的固定螺栓方式的种数是________．
答案60
解析根据题意，第一个可以从6个螺栓里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号螺栓，第二个可以选3,4,5号螺栓，依次选下去，共可以得到10种方法，所以总共有10×6＝60（种）方法，故答案是60.
14．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元的，1个8元的，1个10元的（红包中金额相同视为相同红包），则甲、乙都抢到红包的情况有________种．
答案36
解析 ①若甲、乙抢到的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包，则被剩下的3人中的2人抢走，有A
A
＝12（种）情况；②若甲、乙抢到的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包，则被剩下的3人中的2人抢走，有A
A
＝12（种）情况；③若甲、乙抢到的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包，则被剩下的3人中的2人抢走有A
C
＝6（种）情况；④若甲、乙抢到的是2个6元的，剩下2个红包，则被剩下的3人中的2人抢走，有A
＝6（种）情况．
根据分类计数原理可知，共有36种情况．
15．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：
11,22,33，…，99,3位回文数有90个：
101,111,121，…，191,202，…，999.则
（1）5位回文数有________个；
（2）2n（n∈N*）位回文数有________个．
答案
（1）900
（2）9×10n－1
解析
（1）5位回文数相当于填5个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，第2位和第4位一样，有10种填法，中间一位有10种填法，共有9×10×10＝900（种）填法，即5位回文数有900个．
（2）根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．结合分步计数原理，知有9×10n－1种填法．
16．用6种不同的颜色给三棱柱ABC－DEF六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有________种．（用数字作答）
答案8520
解析分两步来进行，先涂A，B，C，再涂D，E，F.
第一类：
若6种颜色都用上，此时方法共有A
＝720（种）；
第二类：
若6种颜色只用5种，首先选出5种颜色，方法有C
种；先涂A，B，C，方法有A
种，再涂D，E，F中的两个点，方法有A
种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有C
·A
·A
·2＝4320（种）；
第三类：
若6种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有C
种；
先涂A，B，C，方法有A
种，再涂D，E，F中的一个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有C
·A
·3·3＝3240（种）；
第四类：
若6种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有C
种；
先涂A，B，C，方法有A
种，再涂D，E，F，方法有2种，故此时方法共有C
·A
×2＝240（种）．
综上可得，不同涂色方案共有720＋4320＋3240＋240＝8520（种）．
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