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§2.4格林函数法解的积分公式

在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一

种常用的方法——格林函数方法。

格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。

格林函数代表一个

点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。

知道了点源的场，就可以

用迭加的方法计算出任意源所产生的场。

一、泊松方程的格林函数法

为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。

设u（r）和v（r）在区域T及其边界上具有连续一阶导数，而在T中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分

u

vdS

化成体积积分

uvdS

（uv）dV

u

vdV

uvdV.

T

T

T

（12-1-1）

这叫作第一格林公式。

同理，又有

vudSvudVuvdV.

TT

（12-1-1）与（12-1-2）两式相减，得

（uvvu）dS（uvvu）dV,

T

亦即

uv

vudS

（uvvu）dV.

n

n

T

n表示沿边界的外法向求导数。

（12-1-3）叫作第二格林公式。

现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。

泊松方程是

uf（r）,（rT）

（12-1-2）

（12-1-3）

（12-1-4）

1

第一、第二、第三类边界条件可统一地表为

u

u

（M）,

n

（12-1-5）

其中（M）是区域边界

上的给定函数。

＝0，

≠0为第一类边界条件，

≠0，

＝0是第二类边界条件，、都不等于零是第三类边界条件。

泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。

为了研究点源所产生的场，需要找一个能表示点源密度分布的函数。

§5.3中介

绍的函数正是描述一个单位正点量的密度分布函数。

因此，若以

v（r，r0）表示位

于r0点的单位强度的正点源在r点产生的场，即v（r，r0）应满足方程

v（r,r0）

（rr0）.

（12-1-6）

现在，我们利用格林公式导出泊松方程解的积分表示式。

以v（r，r0）乘（12-1-4），

u（r）乘（12-1-6），相减，然后在区域T中求积分，得

（v

uu

v）dV

z

T

vfdV

u（r

r0）dV.

T

T

T

（12-1-7）

应用格林公式将上式左边的体积分化

K

r0

成面积分。

但是，注意到在

r＝r0点，

v具有函数的奇异性，格林公式不

能用。

解决的办法是先从区域T中挖

O

y

去包含r0的小体积，例如半径为的小

球K（图12-1），的边界面为

。

x

图12-1

对于剩下的体积，格林公式成立，

（v

uuv）dV

v

u

uv

dS

v

u

uvdS.

TK

n

n

n

n

（12-1-8）

把（12-1-8）代入挖去K的（12-1-7），并注意r≠r0，故（r－r0）＝0，于是

vu

uvdS

vu

u

vdS

vfdV.

n

n

n

n

T

K

（12-1-9）

当r

r0

1，方程（12-1-6）的解v（r，r0）—→位于点r0

而电量为－0的点电

荷的静电场中的电势，即－

1／4r

r0。

令→0，得

2

vfdV,

（12-1-9）右边—→T

v

udS

u

11

2d

ud

u

0

左边的

n

n

4

4

n

nr

r0

u

vdS

u

1

1dS

1

u1

r2d

u（r0）.

左边的

n

r

4

r

4

r2

（12-1-10）

这样，（12-1-7）成为

u（r0）

v（r,r0）f（r）dV

T

v（r,r0）

u（r）

u（r）

v（r,r0）dS.

n

n

（12-1-11）

（12-1-11）称为泊松方程的基本积分公式。

（12-1-11）将（12-1-4）的解u用区域T上的体积分及其边界上的面积分表示了出来。

那么，能否用（12-1-11）来解决边值问题呢？

我们看到，（12-1-11）中需

u

要同时知道u及n在边界上的值，但是，在第一边值问题中，已知的只是u在边

u

界上的值；在第二边值问题中，已知的只是n在边界上的值。

在第三边值问题

u

中，已知的是u和n的一个线性关系在边界上的值，三类边界条件均未同时分别

u

给出u和n的边界上的值。

因此，我们还不能直接利用（12-1-11）解决三类边值问题。

其实，这里距离问题的解决已经很近了。

原来，对于函数v（r，r0），我们还只考虑其满足方程（12-1-6）。

如果我们对v（r，r0）提出适当的边界条件，则上述困

难就得以解决。

对于第一边值问题，u在边界上的值是已知的函数（M）。

如果要求v满足齐次的第一类边界条件

v0,

（12-1-12）

uu

则（12-1-11）中含n的一项等于零。

从而不需要知道n在边界上的值。

满足方

3

程（12-1-6）及边界条件（12-1-12）的解称为泊松方程第一边值问题的格林函数，用G（r，r0）表示。

这样，（12-1-11）式成为

u（r0）G（r,r0）f（r）dV

（r）G（r,

r0）dS.

T

n

（12-1-13）

对于第三边值问题，令v满足齐次的第三类边界条件，

v

0.

v

n

（12-1-14）

满足方程（12-1-6）及边界条件（12-1-14）的解称为泊松方程第三类边值问题的格林函数，也用G（r，r0）表示。

以G（r，r0）乘（12-1-5）式两边，得

G

u

Gu

G.

n

又以u乘（12-1-14），并以G代替其中的v，得

u

G

Gu

0.

n

将这两式相减，得

G

u

uG

G.

n

n

将此式代入（12-1-11），得

1

G（r,r0）（r）dS.

u（r0）G（r,r0）f（r）dV

T

（12-1-15）

至于第二边值问题，表面看来，似乎可以按上述同样的办法来解决，即令G为定解问题

G（rr0）,

（12-1-16）

G

0

n

（12-1-17）

的解，而由（12-1-11）得到

u（r0）G（r,r0）f（r）dVG（r,r0）（r）dS.

T（12-1-18）

可是，定解问题（12-1-16）～（12-1-17）的解不存在。

这在物理上是容易理解的：

不妨把这个格林函数看作温度分布。

泛定方程（12-1-16）右边的函数表明在

所围区域T中有一个点热源。

边界条件（12-1-17）表明边界是绝热的。

点热源不停

地放也热量。

而热量又不能经由边界散发出去，T里的温度必然要不停地升高，其

4

分布不可能是稳定的。

这就需要引入推广的格林函数。

对于三维空间，

G（xx0）（yy0）（zz0）1,

VT

G

0.

n

式中VT是T的体积。

对于二维空间，

G（xx0）（yy0）1,

AT

G

0.

n

式中AT是T的面积，方程右边添加的项是均匀分布的热汇密度，这些热汇的总体恰好吸收了点热源所放出的热量，不多也不少。

（12-1-13）和（12-1-15）的物理解释有一个困难。

公式左边u的宗量r0表明观测点在r0，而右边积分中的f（r）表示源在r，可是，格林函数G（r，r0）所代表的

是r0的点源在r点产生的场。

这个困难如何解决呢？

原来，这个问题里的格林函数

具有对称性G（r，r0）＝G（r0，r），将（12-1-13）和（12-1-15）中的r和r0对调，并利用格林函数的对称性，（12-1-13）成为

u（r）G（r,r0）f（r0）dV0

（r0）G（r,r0）dS0,

T

n0

（12-1-19）

这就是第一边值问题解的积分表示式

。

（12-1-15）成为

u（r）G（r,r0）f（r0）dV0

1

G（r,r0）（r0）dS0,

（12-1-20）

T

这就是第三边值问题解的积分表示式。

（12-1-19）和（12-1-20）的物理意义就很清楚了，右边第一个积分表示区域

T中分

布的源f（r0）在r点产生的场的总和。

第二个积分则代表边界上的状况对

r点场的

影响的总和。

两项积分中的格林函数相同。

这正说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的场。

现在来证明格林函数的对称性。

在T中任取两个定点r1和r2。

以这两点为中心，

各作半径为的球面1和2。

从T挖去1和2所围的球K1和K2。

在剩下的区域T

－K1－K2上，G（r，r1）和G（r，r2）并无奇点。

以u＝G（r，r1），v＝G（r，r2）代入格林公式（12-1-3）

u

v

vudS

（uvvu）dV

12

n

n

TK1K2

5

由于G（r，r1）和G（r，r2）是调和函数，上式右边为零。

又由于格林函数的边界

0

条件，上式左边。

这样

uv

vu

dS

uv

vu

dS0.

1

n

n

2

n

n

令→0，上式成为0－v（r1）＋u（r2）－0＝0，即G（r1，r2）＝G（r2，r1）。

对于拉普拉斯方程，即（12-1-4）式右边的（fr）≡0，这时，我们只要令（12-1-19）

和（12-1-20）两式右边的体积分值等于零，便可得到拉普拉斯方程第一边值问题的

解

u（r）

（r0）G（r,r0）dS0

n0

（12-1-21）

以及第三边值问题的解

u（r）

1

G（r,r0）（r0）dS0

（12-1-22）

我们看到，借助格林公式，也可利用格林函数方法得到齐次方程定解问题的解。

二、用电像法求格林函数

（一）无界空间的格林函数基本解

从§12.1讨论可知，确定了G，就能利用积分表式求得泊松方程边值问题的解。

虽然，求格林函数的问题本身也是边值问题，但这是特殊的边值问题，其求解比一般边值

问题简单。

特别是对于无界区域的情形，常常还可以得到有限形式的解。

无界区域的格林函数称为相应方程的基本解。

我们将一个一般边值问题的格林函数

G分成两部分

GG0

G1.

（12-2-1）

其中G0是基本解。

对于三维泊松方程，即

G0满足

G0

（r

r0）.

（12-2-2）

G1则满足相应的齐次方程（拉普拉斯方程）

G10（12-2-3）

及相应的边界条件。

例如在第一边值问题中，G0，从而有

6

G1

（GG0）G0.

（12-2-4）

拉普拉斯方程（12-2-3）的边值问题的求解是熟知的。

至于方程（12-2-2），它描述

的是点r0的点源在无界空间产生的稳定场。

以静电场为例，它描述在点r0电量为－

0的点电荷在无界空间中所产生电场的r点的电势，即G01/4rr0。

现在再给出（12-2-2）的一种解法。

先假设点源位于坐标原点，由于区域是无

界的，点源产生的场应与方向无关，如果选取球坐标（r，，），则G0只是r的函数，方程（12-2-2）变成一个常微分方程，当r≠0时，G0满足拉普拉斯方程

1d

r2dG0

0,

r2dr

dr

（12-2-5）

其解为

G0

C1

C2.

r

（12-2-6）

令无穷远处G0＝0，于是C2＝0。

为了求出C1，将方程（12-2-2）在包含r0＝0的区域作体积分，这个区域可取为以r0＝0为球心，半径为的小球K，其边界面为（参见图12-1），

G0dV1.

K

利用（12-1-3）（令其中的u≡1），将上式右边体积分化成面积分。

G0dV

G0

dS

2

C1

r

2

sindd

r

0

0rr

K

C1

1

则

4，从而

G0（r）

11.

4r

若电荷位于任意点r0，则

G0

1

1

（r,r0）

.

4r

r0

类似地，用平面极坐标可求得二维泊松方程的基本解

G

0

（r,

r）

1ln

1

.

0

2

r

r0

4C1

（12-2-7）

（12-2-8）

7

（二）用电像法求格林函数

让我们来考虑这样一个物理问题。

设在一接地导体球内的M0（r0）点放置一带

电量为－0的点电荷。

则球内电势满足泊松方程

G（r

r0）,

（12-2-9）

边界条件是

G球面

0.

（12-2-10）

此处G便是泊松方程第一边值问题的格林函数。

从电磁学知道，在接地导体球内放置电荷时，导体球面上将产生感应电荷。

因此，球内电势应为球内电荷直接产生的

电势与感应电荷所产生的电势之和。

因此，我们可将

G写成两部分之和

GG0

G1,

（12-2-11）

其中G0是不考虑球面边界影响的电势，

G1则是感应电荷引起的。

由前面的讨论可

知，G0满足

G0

（r

r0）,

（12-2-12）

从而G1满足

G1

0

（12-2-13）

以及边界条件

G1球面

（G

G0）球面

G0球面.

（12-2-14）

这样，G0就是基本解，G0（r,r0）

1/4r

r0

。

至于G1则可从方程（12-2-13）

及边界条件（12-1-14）用分离变数等方法求得。

但这样得到的解往往是无穷级数。

现在介绍另一种方法——电像法，用电像法可以得到有限形式的解。

电像法的基本思想是用另一设

P

想的等效点电荷来代替所有的感应

电荷，于是可求得G1的类似于G0M

的有限形式的解。

显然，这一等效

点电荷不能位于球内，因为感应电

Or0M0

M1

荷在球内的场满足（12-2-13），即

球内是无源的。

又根据对称性，这

个等效电荷必位于OM0的延长线

上的某点M1，记等效电荷的电量为

图12-2

8

q，其在空间任意点

M（r）引起的电势是G1（r,r1）

q/40r

r1

。

若将场点取

在球面上的P点，如图12-2所示，则OPM0和OM1

具有公共角∠

POM

1，如果按

P

比例关系r0∶a＝a∶r（1

a为球的半径）选定M（1这M1必在球外），则OPM0跟OM1P

相似，从而

1

1

1

1.

rr0球面上∶r

r1球面上

r0

∶a

因此，若取q

0a/r0，则球面上的总电势是

1

1

a1

1

1

1

rr1

a

0.

4r

r0

r04r

r1

4r

r1

rr0

r0

正好满足边界条件（12-2-10）。

这个设想的位于M1点的等效点电荷称为M0点点电荷的电像。

这样，球内任一点的总电势是

1

1

a

1

1

G（r,r0）

r

r0

r0

4r

r1

4

1

1

a

1

1

.

4

r

r0

r0

4

a

2

r0

r

r02

（12-2-15）

§10.1例6求出球外点电荷的电像（在球内），读者不妨把这两种情况中的电像加以对比。

若M0（r0）为圆内的一点，则圆内泊松方程第一边值问题的格林函数满足

G

（r

r0）,

（12-2-16）

G圆周上

0.

（12-2-17）

这个问题也可用电像法求解，结果是

G（r,r0）

1ln

1

1ln

1

1lna,

2

rr0

2

r

r1

2r0

（12-2-18）

式中a为圆的半径。

例1在球r＝a内求解拉普拉斯方程的第一边值问题

3u0（ra）,

uraf（,）.

解前面已用电像法求得球的第一边值问题的格林函数

9

1

1

a

1

1

G（r,r0）

rr0

r0

4

.

4

rr1

把它代入第一边值问题的解的积分公式（12-1-13）就行了。

为了把G（r，r0）代入（12-1-19），还必须先算出就取在球心。

G

n。

引用球坐标系，极点

1

1

r

r0

r2

2rr0cos

r02

（12-2-19）

其中是矢径r跟r0之间的夹角，

cos

cos

cos

0

sin

sin

0cos（

0）.

计算法向导数

1

1

r

r0cos

nr

r0

r

r2

2rr0cos

r02

（r2

2rr0cos

r02）3/2

分子里的cos

可利用（12-2-19）消去，

1

2

r

r0

2

r02

r

r0

2

r0

r2

a

2

nr

r0

2rr

3

2ar

3

.

r0

r0

同理，

a

1

ar12

2

a

2

rr1

nr0

r

r1

r0

2ar

r1

3

a4

r

r0

2a2

a2