高中数学解题学科方法参数法word资料14页.docx

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高中数学解题学科方法参数法word资料14页

学科方法·参数法 

语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。

如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。

现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。

结果教师费劲,学生头疼。

分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。

造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。

常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。

久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。

参数观点是运动、变化思想在数学中的重要体现．参数是解析几何中最活跃的元素，也是解题的一种主要方法．解析几何中的许多解题技巧都来源于参数观点．

要练说，先练胆。

说话胆小是幼儿语言发展的障碍。

不少幼儿当众说话时显得胆怯：

有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。

总之，说话时外部表现不自然。

我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。

一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。

每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。

二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。

或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。

三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。

对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。

长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。

（一）参数法解题的基本步骤

一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：

“师者教人以不及，故谓师为师资也”。

这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。

《韩非子》也有云：

“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。

这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。

参数法解题的步骤是：

（1）设参，即选择适当的参数（参数的个数可取一个或多个）；

（2）用参，即建立参数方程或含参数的方程；

（3）消参，即通过运算消去参数，使问题得到解决．

例1 已知抛物线y2=2px（p＞0），在x轴的正半轴上求一点M，使过M的弦P1P2，满足OP1⊥OP2．

【解】 如图2－5，设M（m，0）（m＞0）、P1（x1，y1）、P2（x2，y2）．

∵ OP1⊥OP2，

即y1y2=-x1x2．

∴ （y1y2）2＝4p2x1x2．

从而（-x1x2）2=4p2x1x2．

∵ x1≠0，x2≠0，

∴ x1x2=4p2                                                                                                                                                                               ①

设直线P1P2的方程为y=k（x-m），把它代入y2=2px中，整理，得

k2x2-2（k2m+p）x+k2m2=0．

由韦达定理，得x1x2=m2                                                                                                                                            ②

把②代入①中，得m2=（2p）2．

∵ m＞0，p＞0，∴m=2p．

于是所求的点M的坐标为（2p，0）．

【解说】 本例选点P1、P2的坐标为参数，利用已知条件建立x1，x2，y1，y2，m，p的关系式，消去参数，求得m的值．

OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2．当点P在l上移动时，求动点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．（1995年全国高考理科压轴题）

【解】 如图2－6，设动点Q（x，y）（x，y不同时为零）．又设|OR|=λ|OQ|，|OP|=u|OQ|，（λ，u＞0），由于Q、R、P三点共线，所以点R（λx，λy）、点P（ux，uy）．

∵ |OQ|·|OP|=|OR|2，

∴ u|OQ|2=λ2|OQ|2．又

|OQ|≠0，

同理，由P在l上，可得

于是由①、②、③，可得动点Q的轨迹方程为

且长轴平行于x轴的椭圆，去掉坐标原点．

利用已知条件|OQ|·|OP|=|OR|2巧妙地消去参数，这里参数是一个过渡，起桥梁作用．这种解法比高考命题者提供的答案简明．

（二）解题技巧的一个源泉

参数观点是产生解题技巧的一个源泉，解析几何的许多解题技巧都起源于参数．其中“设而不求”和“代点法”就是最突出的两个．

1．设而不求

例3 如图2－7，过圆外一点P（a，b）作圆x2＋y2=R2的两条切线，切点为A、B，求直线AB的方程．

【解】 设A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则切线AP、BP的方程分别为x1x+y1y＝R2，x2x+y2y＝R2．

∵ 这两条切线都过点P（a，b），

∴ ax1＋by1=R2，

ax2＋by2=R2．

由以上二式可以看出，点A、B在直线ax＋by=R2上，又过A、B只有一条直线，

∴ 直线AB的方程为ax＋by=R2．

【解说】 本例中把A、B的坐标作为参数．虽然设了A、B的坐标，但并没有去求它的值，而是利用曲线与方程的概念，巧妙地“消去”参数，这就是所谓的“设而不求”．

2．代点法

例4 求抛物线y2=12x的以M（1，2）为中点的弦所在直线的方程．

【解法1】 设弦的两个端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），则由中点坐标公式，得

y1＋y2＝4                                                        ①

即（y1＋y2）（y1-y2）=12（x1-x2）．                                                                ②

即直线AB的斜率k=3．

故直线AB的方程为y-2=3（x-1）．

即                             3x-y-1=0．

【解法2】 ∵弦的中点为M（1，2），

∴ 可设弦的两个端点为A（x，y）、B（2-x，4-y）．

∵ A、B在抛物线上，

∴ y2=12x，（4-y）2=12（2-x）．

以上两式相减，得

y2-（4-y）2=12（x-2+x），

即 3x-y-1=0，这就是直线AB的方程．

【解说】 以上两种解法都叫做代点法．它是先设曲线上有关点的坐标，然后代入曲线方程，最后经适当变换而得到所求的结果．

习题2．2

用参数法解证下列各题：

1．已知椭圆9x2＋16y2=144内有一点P（2，1），以P为中点作弦MN，则直线MN的方程为．    [   ]

A．9x-8y＋26＝0

B．9x＋8y-26＝0

C．8x-9y+26=0

D．8x＋9y-26=0

2．点D（5，0）是圆x2＋y2-8x-2y+7=0内一点，过D作两条互相垂直的射线，交圆于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程．

且OP⊥OQ，求m的值．

4．已知射线OA、OB分别在第一、四象限，且都与Ox轴成60

的轨迹．

5．已知两点P（-2，2）、Q（0，2）以及一条直线l：

y=x．设长为

程．（要求把结果写成普通方程）（1985年全国高考理科试题）

6．已知椭圆的中心在原点，对称轴合于坐标轴，直线y=-x＋1与

习题2．2答案或提示

1．仿例4，选（B）．

2．设M（x，y），A（x＋x0，y＋y0），B（x-x0，y-y0），把A、B

=0．

3．仿例1，可得m=3．

5．设A（t，t），B（t＋1，t＋1），又设直线PA、PB的斜率分别

x2-y2＋2x-2y＋8=0．

6．设椭圆的方程为ax2＋by2=1（a＞0，b＞0），A、B、C的坐

学科方法·待定系数法

（一）求直线和曲线的方程

例1 过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程．

【解】 设所求的直线方程为（x-2y-3）+λ（2x-3y-2）=0，整理，得

依题意，列方程得

于是所求的直线方程为8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．

【解说】 

（1）本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数．

（2）待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法．

例2 如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若

系，求曲线C的方程．（2019年全国高考理科试题）

【解】 如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．

设曲线C的方程为y2=2px，p＞0（x1≤x≤x2，y＞0）．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N

解之，得p=4，x1=1．

故曲线C的方程为y2=8x（1≤x≤4，y＞0）．

（二）探讨二元二次方程（或高次方程）表示的直线的性质

例3 已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：

（1）直线L1与L2交角的两条角平分线方程；

（2）直线L1与L2的夹角的大小．

【解】 设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则

ax2+bxy＋cy2＝（mx+ny）（qx+py）．

从而由待定系数法，得

a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．

（1）由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为

即（m2＋n2）（qx＋py）2=（q2+p2）（mx＋ny）2，

化简、整理，得

（nq-mp）[（nq＋mp）x2＋2（np-mq）xy-（nq＋mp）y2]=0．

∵ L1、L2是两条不重合的直线

∴b2-4ac＝（mp+nq）2-4mnpq=（mp－nq）2＞0．

即 mp-nq≠0．

从而（nq＋mp）x2＋2（np-mq）xy-（nq+mp）y2=0．

把mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得bx2+2（c-a）xy-by2＝0．

即为所求的两条角平分线方程．

（2）显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°．

当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则

【解说】 一般地说，研究二元二次（或高次）方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便．

（三）探讨二次曲线的性质

1．证明曲线系过定点

例4 求证：

不论参数t取什么实数值，曲线系（4t2＋t＋1）x2+（t＋1）y2＋4t（t＋1）y-（109t2＋21t+31）=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标．

【证明】 把原方程整理成参数t的方程，得

（4x2＋4y-109）t2+（x2+y2+4y-21）t+x2＋y2-31=0．

∵ t是任意实数上式都成立，

【解说】 由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F（x，y，t）=0过定点的步骤是：

（1）把F（x，y，t）=0整理成t的方程；

（2）因t是任意实数，所以t的各项系数（包括常数项）都等于零，得x、y的方程组；

（3）解这个方程组，即得定点坐标．

2．求圆系的公切线或公切圆

例5 求圆系x2＋y2-2（2m＋1）x-2my＋4m2＋4m＋1=0（m≠0）的公切线方程．

【解】 将圆系方程整理为[x-（2m+1）]2＋（y-m）2=m2（m≠0）

显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线．

设它的公切线方程为y=kx＋b，则由圆心（2m＋1，m）到切线的距离等于半径|m|，得

从而[（1-2k）m-（k＋b）]2＝m2（1＋k2），

整理成m的方程，得

（3k2-4k）m2-2（1-2k）（k+b）m+（k+b）2=0．

∵ m取零以外的任意实数上式都成立，

【解说】 由本例可总结出求圆系F（x，y，m）=0的公切线方程的步骤是：

（1）把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；

（2）当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx＋b，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m的关系式f（k，b，m）=0；

（3）把f（k，b，m）=0整理成参数m的方程G（m）=0．由于m∈R，从而可得m的各项系数（包括常数项）都等于零，得k、b的方程组；

（4）解这个方程组，求出k、b的值；

（5）用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程．

3．化简二元二次方程

例6 求曲线9x2＋4y2＋18x-16y-11=0的焦点和准线．

【分析】 把平移公式x=x′＋h，y=y′＋k，代入原方程化简．

习题2．3

用待定系数法解证下列各题：

1．求经过三点（2，3）、（5，3）、（3，-1）的圆的方程．

2．求双曲线x2-2y2-6x＋4y＋3=0的焦点坐标．

3．若方程ax3＋bx2y＋cxy2＋dy3=0表示三条直线，且其中两条互相垂直，求证：

a2＋ac＋bd＋d2=0．

4．求圆系2x2+2y2-4tx-8ty＋9t2=0（t≠0）的公切线方程．

5．试证圆系x2+y2-4Rxcosα-4Rsinα+3R2=0（R是正的常数，α为参数）与定圆相切，并求公切圆的方程．

6．若在抛物线y2=2px（p＞0）的对称轴上有一个定点Q，过Q的任

习题2．3答案或提示

1．设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，把三个已知点的坐标代入，可求得D=-8，E=-2，F=12．

3．设过原点互相垂直的两条直线方程为lx2+mxy-ly2=0，另一条直线方程为px＋qy=0，则ax3＋bx2y＋cxy2+dy3=（lx2＋mxy-ly2）（px＋qy），从而a=lp，b=lq＋mp，c=mq-lp，d=-lp．于是可得a2＋ac＋bd＋d2=0．

4．y=x或y=7x．

5．圆系方程为（x-2Rcosα）2+（y-2Rsinα）2=R2，设公切圆方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，则由两圆相切的充要条件是圆心距等于两圆半径和或差的绝对值，可得（a-2Rcosα）2＋（b-2Rsinα）2=（R±r）2，整理，可得a2＋b2-2R

即a=b=0．从而r2-3R2±2Rr=0，解得r1=R，r2=3R．

6．设Q（x0，0），直线AB的参数方程为x=x0＋tcosα，y=tsinα．代

任一值，所以x0=p．

学科方法·判别式法

（一）确定直线与二次曲线和二次曲线与二次曲线的位置关系

它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线l的距离？

（1988年全国高考理科试题）

点、l为准线的抛物线方程为y2=2px．

椭圆上有四个点符合题意的充要条件为方程组

y2=2px

有四个不同的实数解．

显然，这个方程组有四个不同的实数解的充要条件为方程①有两个不相等的正根．

设方程①的两个根为x1、x2，则x1＞0、x2＞0的充要条件为

又由已知，得p＞0                                                               ⑤

【解说】 本例的实质是求椭圆与抛物线有四个不同的交点的条件，它归结为一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的正根的条件，即Δ

（二）求极值

例2 过点P（3，2）作直线l分别交x轴、y轴正方向于A、B两点，求△AOB面积S的最小值．

【解】 如图2-21，设直线l的方程为y-2=k（x-3）（k＜0），则它在x轴、y轴上的截距分别为

从而9k2+2（S-6）k+4=0．

∵ Δ=[2（S-6）]2-4×4×9≥0，

∴ S（S-12）≥0．

∵ S＞0，∴S≥12．

∴ Smin=12．

例3 在椭圆9x2+4y2=36上分别求一点，使x+y有最大值和最小值．

【解】 设x+y=u，则y=u-x．

把它代入椭圆方程中，整理，得13x2-8ux+4（u2-9）=0．

∵ x是实数，∴Δ≥0即（-8u）2-4×13×4（u2-9）≥0．解之，得-

（三）求参数的取值范围

例4 已知抛物线y=ax2-1上恒有关于直线l：

y=-x对称的两点，求a的取值范围．

【解法1】 如图2-22，设点P（x0，y0）关于直线l对称的点为Q（-y0，-x0），则由P、Q都在抛物线y=ax2-1上，得

以上两式相减，得

x0+y0=a（x0+y0）（x0-y0）．

∵ 点P不在直线x+y=0上，∴x0+y0≠0．从而a（x0-y0）=1，即y0=x0-

∵ P、Q两点恒存在，∴x0是实数，即方程（*）恒有两个不等实

学科方法·综合几何法

（一）利用平面几何知识解题

例1 已知⊙O的方程为x2＋y2=r2，点A（-r，0）、B（r，0），M是⊙O上任一点，过A作M处的切线的垂线AQ交BM的延长线于P，求动点P的轨迹方程．

【解】 如图2－12，连MO，则OM⊥MQ，从而OM∥AP．

∵ |BO|=|OA|

∴ |AP|＝2|MO|＝2r．

于是动点P的轨迹是以点A为圆心，|AP|=2r为半径的圆．

设P（x，y），则P的轨迹方程为

（x+r）2+y2＝（2r）2．

【解说】 本例利用圆的切线的性质和三角形中位线定理，其解法十分明快、简捷．

例2 已知圆O′：

（x-14）2＋（y-12）2=362内一点C（4，2）和圆周上两动点A、B，使∠ACB=90°，求斜边AB的中点M的轨迹方程．

【解】 如图2－13，连结MO′、MC、BO′，则O′M⊥MB，|MC|=|AM|=|MB|．设M（x，y），则在Rt△BMO′中，|O′M|2+|BM|2=|O′B|2，又|BM|=|CM|，

∵ |O′M|2＋|CM|2=|O′B|2，

即（x-14）2+（y-12）2＋（x-4）2+（y-2）2=362，

∴ 动点M的轨迹方程为x2＋y2-18x-14y-468＝0．

【解说】 本例利用圆的垂径定理和直角三角形的性质，使一个运算量较大的习题，得到极其简便的解法，充分显示了平面几何知识在解析几何中的应用．

（二）利用圆锥曲线的定义和几何性质解题

例3 已知一动圆P与圆O1：

（x+1）2＋y2=1外切，与圆O2：

（x-1）2+y2=9内切，求动圆圆心P的轨迹方程．

【解】 如图2－14．设动圆圆心P的坐标为（x，y），它的半径为r．由已知，得两定圆的圆心分别为O1（-1，0）、O2（1，0），半径分别为r1=1，r2=3．

∵ 动圆P与⊙O1外切，与⊙O2内切，

∴ |PO1|=1+r，|PO2|=3-r，

∴ |PO1|+|PO2|=4．

即动点P到两点O1、O2的距离之和等于4．

从而由椭圆的定义，得动点P的轨迹是以两定点O1、O2为焦点，长轴长为4的椭圆．由于⊙O1与⊙O2内切于点M（-2，0），所以轨迹中不包括点M．故动点P的轨迹方程为

【解说】 本解法的特点是利用椭圆的定义和两圆相切的条件．

例4 如图2-15，F是圆锥曲线的焦点，P1P2是焦点弦，e、p分别是离心率和焦参数（即焦点到准线的距离|FF1|），求证

【证明】 如图2-15，过P1、P2分别作准线L的垂线，垂足分别为Q1、Q2．

由圆锥曲线的定义，得

【解说】 本解法的特点是灵活利用圆锥曲线的统一定义和线段定比分点公式．

习题2．5

用综合几何法解证下列各题：

焦点，AB为左支上过F1的弦，且|AB|m，则△ABF2的周长是____．

2．已知△ABC的两个顶点A（-a，0）、B（a，0）（a＞0），顶点C在运动，且|AC|=2b（b是定值），求BC中点P的轨迹方程．

3．已知

ABCD的相对两个顶点A（-4，6）、C（8，2），过原点O作一直线l把平行四边形的面积分成相等的两部分，求直线l的方程．

焦点也是F2，C1的准线与C2的准线重合，P是C1与C2的一个交点，求证：

5．已知椭圆的两个焦点是F1、F2，Rt△PF2Q的直角顶点为P，P、Q在椭圆上，F1在线段PQ上，且|PQ|=|PF2|，求这椭圆的离心率．

6．从过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F的弦AB的端点向准线l引垂

 习题2．5答案或提示

1．周长=（|AF2|-|AF1|）+（|BF2|-|BF1|）+2（|AF1|+|BF1|）=2a+2a+2m=4a+2m．

3．设AC与BD交于G，则平面几何知识可得，所求的直线l过点G．l的方程为y=2x．

4．设C2：

y2=2px、C1的离心率为e，点P到C1的左准线的距离为d，则由抛物线、双曲线的定义，得|PF2|=d，

6．

（1）因为|AF|=|AA1|、|FB|=|BB1|、AA1∥y轴∥BB1，所以∠AFA1=

学科方法·坐标法

坐标法是解析几何最基本的方法，它的思路是，通过建立平面坐标系（直角坐标系或极坐标系等），把几何问题转化为代数问题（或代数问题转化为几何问题），从而利用代数知识（或解析几何知识）使问题得以解决．

（一）坐标法解证几何题

例1 在△ABC中，已知BC=a，CA=b，AB=c，S为三角形面

【证明】 如图2－1，以边AB的中点O为坐标系原点、AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设A、B、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0）、（p，q）（m＞0，q＞0），则a2=|BC|2=（m-p）2＋q2=m2+p2＋q2-2mp，b2=|AC|2=（p＋m）2＋q2=p2＋m2＋q2-2mp，c2=4m2，S＝mq．

例2 已知：

AB是半圆的直径，且AB=2r，直线L与BA的延长

与L的距离分别为MP、NQ，且MP=MA，NQ=NA．求证：

AM＋AN=AB．

【分析】 由|MA|=|MP|和|NA|=|NQ|，知M、N在以A为焦点的抛物线上，因此M、N是半圆与抛物线的两个交点，从而本题可考虑用直角坐标法和极坐标法求解．

【证法1】 如图2－2，以AT的中点O为坐标原点，射线OB为x轴的正方向，建立直角坐标系．

∵ |MA|＝|MP|，|NA|=|NQ|，

∴ M、N是以A为焦点，L为准线的抛物线上的点．

∵ p=|AT|=2a，

∴ 抛物线的方程y2=4ax                                                ①

由已知，得半圆的方程为

[x-（a+r）]2＋y2=r2（y≥0）