绝密★启用前
2019年广州市普通高中毕业班综合测试
（二）
理科数学试题答案及评分参考
评分说明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
A
D
B
D
A
C
C
B
D
二、填空题
13．14．15．16．
三、解答题
17．解法1：
（1）设等比数列的公比为，
因为，，
所以……………………………………………………………………………………2分
解得或………………………………………………………………………………4分
因为是递增的等比数列，
所以，．……………………………………………………………………………………5分
所以数列的通项公式为．………………………………………………………………6分
解法2：
（1）设等比数列的公比为，
因为，，
所以，是方程的两个根．…………………………………………………………2分
解得或…………………………………………………………………………………4分
因为是递增的等比数列，
所以，，则．…………………………………………………………………………5分
所以数列的通项公式为．………………………………………………………………6分
（2）由
（1）知．………………………………………………………………………………7分
则，①…………………………………………8分
在①式两边同时乘以得，
，②………………………………………9分
①-②得，…………………………………………………10分
即，…………………………………………………………………………11分
所以．………………………………………………………………………12分
18．解：
（1）根据上表中的样本数据及其散点图：
（ⅰ）．…………………………………2分
（ⅱ）…………3分
………………………………4分
．…………………………………………………………………………5分
因为，，
所以．……………………………………………………………………………………………6分
由样本相关系数，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．………………………7分
（2）因为回归方程为，即．
所以．
【或利用】……………………………10分
所以关于的线性回归方程为．
将代入线性回归方程得．………………………………………11分
所以根据回归方程预测年龄为岁时人的脂肪含量为%．…………………………………12分
19．
（1）证明：
取中点，连结，，，
因为底面为菱形，，
所以．
因为为的中点，
所以．………………………………………1分
在△中，，为的中点，
所以．
设,则，，
因为，所以．………………………………………2分
【2分段另证：
在△中，，为的中点，所以．
在△和△中，因为，，，所以△△．
所以．所以．】
因为，平面，平面，
所以平面．……………………………………………………………………………………3分
因为平面，
所以平面平面．…………………………………………………………………………4分
（2）解法1：
因为，，，
平面，平面，
所以平面．
所以．
由
（1）得，，
所以，，所在的直线两两互相垂直．
………………………5分
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．……………………………………………………………6分
设，则，，，，………………………………7分
所以，，，………………………………8分
设平面的法向量为，
则令，则，，
所以．…………………………………………………………………………………9分
设平面的法向量为，
则令，则，，
所以．……………………………………………………………………………………10分
设二面角为，由于为锐角，
所以………………………………………………………………………………11分
．
所以二面角的余弦值为．…………………………………………………………12分
解法2：
因为，，，平面，平面，
所以平面．
所以．…………………………………………………………………………………………5分
所以，．
过点作，为垂足，
过点作交于点，连接，……6分
因为，，
所以，即．
所以为二面角的平面角．………7分
在等腰△中，，，
根据等面积法可以求得．…………………………………………………………………8分
进而可以求得，
所以，．…………………………………………………………………………9分
在△中，，，，
所以．
在△中，，，，
所以，即．…………………………10分
在△中，，，，
所以………………………………………………………………11分
．
所以二面角的余弦值为．…………………………………………………………12分
20．解：
（1）设动点的坐标为，
因为，，…………………………………………………1分
所以．……………………………………………………………………2分
整理得．………………………………………………………………………………………3分
所以动点的轨迹的方程．………………………………………4分
（2）解法1：
过点的直线为轴时，显然不合题意．……………………………………………5分
所以可设过点的直线方程为，
设直线与轨迹的交点坐标为，，
由得．………………………………………………………6分
因为，
由韦达定理得=，=．…………………………………………………7分
注意到=．
所以的中点坐标为．…………………………………………………………8分
因为
．………………………………………………9分
点到直线的距离为．………………………………………10分
因为，……………………………………………………………11分
即，
所以直线与以线段为直径的圆相离．……………………………………………………12分
解法2：
①当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，与交于和两点，此时直线与以线段为直径的圆相离．…………………………………5分
②当过点的直线斜率存在时，设其方程为，
设直线与轨迹的交点坐标为，，
由得．……………………………………………6分
因为，
由韦达定理得，．…………………………………………………7分
注意到．
所以的中点坐标为．…………………………………………………………8分
因为
．………………………………………………9分
点到直线的距离为．……………………………………10分
因为，……………………………………………………………11分
即，
所以直线与以线段为直径的圆相离．……………………………………………………12分
21．
（1）解：
因为，函数的定义域为，
所以．………………………………………………………………1分
当时，，
所以函数在上单调递增．…………………………………………………………………2分
当时，由，得（负根舍去），
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减；在上单调递增．……………………………3分
综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．………………………………………………………………………4分
（2）先求的取值范围：
【方法1】由
（1）知，当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件．
………………………………………………………………………5分
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
要使函数有两个零点，首先，解得．………………6分
因为，且，
下面证明．
设，则．
因为，所以．
所以在上单调递增，
所以．
【若考生书写为：
因为当时，，且．此处不扣分】
所以的取值范围是．…………………………………………………………………………7分
【方法2】由，得到．………………………………………………5分
设，则．
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以由．…………………………………………………………………6分
因为时，，且，
要使函数有两个零点，必有．
所以的取值范围是．…………………………………………………………………………7分
再证明：
【方法1】因为，是函数的两个零点，不妨设，令，则．
所以即．……………………………………………………8分
所以，即，，．
要证，即证．………………………………………………………9分
即证，即证．
因为，所以即证，
或证．………………………………………………………………10分
设，．
即，．
所以．
【用其他方法判断均可，如令分子为，通过多次求导判断】
所以在上单调递减，………………………………………………………………………11分
所以．
所以．…………………………………………………………………………………12分
【方法2】因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．
所以即．……………………………………………………8分
所以，即，，．
要证，需证．………………………………………………………9分
即证，即证．
因为，所以即证．…………………………………………………10分
设，
则，．
所以在上单调递减，………………………………………………………………………11分
所以．
所以．…………………………………………………………………………………12分
【方法3】因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．
所以即．………………………………………………………8分
要证，需证．………………………………………………………9分
只需证．
即证，即证．
即证．…………………………………………………………………………10分
因为，所以，即．………………………………………………11分
所以．
而，
所以成立．
所以．…………………………………………………………………………………12分
【方法4】因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．
由已知得即．…………………………………………………8分
先证明，即证明．
设，则．
所以在上单调递增，所以，所证不等式成立．………………………9分
所以有．………………………………………………………10分
即．
因为（），……………………………………………………………………11分
所以，即．
所以．…………………………………………………………………………………12分
【方法5】要证，其中，，
即证．…………………………………………………………………………………8分
利用函数的单调性，只需证明．
因为，所以只要证明，其中．………9分
构造函数，，
则．…………………………………………10分
因为
（利用均值不等式）
，
所以在上单调递减．…………………………………………………………………11分
所以．
所以在上恒成立．
所以要证的不等式成立．……………………………………………………………12分
22．
（1）解法1：
因为直线的参数方程为（为参数），
当时，直线的直角坐标方程为．…………………………………………………………1分
当时，直线的直角坐标方程为．……………………………………3分
因为，…………………………………………………………………………4分
因为，所以．
所以的直角坐标方程为．………………………………………………………5分
解法2：
因为直线的参数方程为（为参数），
则有……………………………………………………………2分
所以直线的直角坐标方程为．………………………3分
因为，…………………………………………………………………………4分
因为，所以．
所以的直角坐标方程为．………………………………………………………5分
（2）解法1：
曲线的直角坐标方程为，
将直线的参数方程代入曲线的方程整理，得．……………6分
因为，可设该方程的两个根为，，
则，．……………………………………………………7分
所以
．…………………………………………………………8分
整理得，
故．…………………………………………………………………………………9分
因为，所以或，
解得或
综上所述，直线的倾斜角为或．…………………………………………………………………10分
解法2：
直线与圆交于，两点，且，
故圆心到直线的距离．…………………………………………………6分
①当时，直线的直角坐标方程为，符合题意．…………………………………………7分
②当时，直线的方程为．
所以，………………………………………………………………8分
整理得．
解得．………………………………………………………………………………………………9分
综上所述，直线的倾斜角为或．…………………………………………………………………10分
23．
（1）解：
当时，由，得．…………………………………………1分
当时，，解得．
当时，，解得．…………………………………………………………4分
综上可知，不等式的解集为．……………………………………5分
（2）解法1：
由，得．
则．…………………………………………………………………………………6分
令，
则问题等价于
因为……………………………………………………………………9分
．
所以实数的取值范围为．…………………………………………………………………10分
解法2：
因为，………………………………………………6分
即，则．……………………………………………7分
所以，…………………………………………8分
当且仅当时等号成立．……………………………………………………………………………9分
所以．
所以实数的取值范围为．…………………………………………………………………10分
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