《椭圆》方程典型例题20例含标准答案解析Word格式文档下载.docx

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M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为

2，求椭圆的方程．

由题意，设椭圆方程为

x2

y2

a2

x

y1

由x2

y

，得1a2x2

2a2x0，

∴xM

x1

x21a2，yM

1xM

，

1a2

kOM

yM

1，∴a2

4，

xM

4

∴x2

y2

1为所求．

（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；

（2）直线与曲线的综合问

题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

典型例题四

例4椭圆

，B

9

与焦点F4，0

的

25

1上不同三点Ax1，y1

4，，Cx2，y2

5

距离成等差数列．

（1）求证x1x28；

（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．

证明：

（1）由椭圆方程知a

5，b

3，c

4．

由圆锥曲线的统一定义知：

AF

c，

a

∴

ex1

x1．

同理

CF

x2．

9，

∵

2BF，且BF

∴5

4x1

4x2

18，

即

8

．

（2）因为线段

AC的中点为

y1

，所以它的垂直平分线方程为

x2x

又∵点T在x轴上，设其坐标为

x，

00，代入上式，得

x0

y12

y22

2x1

又∵点Ax1，y1，Bx2，y2都在椭圆上，

∴y12925x1225

925

x22

9x1x2x1x2．

∴y12

将此式代入①，并利用x1x28的结论得

x04

36

kBT

典型例题五

例5已知椭圆x2

1，F1

、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点

M，使M

到左准线l的距离MN是MF1

与MF2的等比中项？

若存在，则求出点

M的坐

标；

若不存在，请说明理由．

假设M存在，设Mx1，y1，由已知条

件得

a2，b

3，∴c

1，e

1．

∵左准线l的方程是x

4，

∴MN

4x1．

又由焦半径公式知：

MF1aex12x1，

MF2aex12x1．

MF1

MF2，

∵MN

∴x14

1x1

1x1．

整理得5

x12

32

48

解之得x1

4或x1

12．

①

另一方面

2．

②

则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在．

（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．

（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，

根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．

（3）本例也可设M2cos，3sin存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．

典型例题六

例6已知椭圆

，求过点P

且被P平分的弦所在的直线方程．

分析一：

已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为

k，利用条件求k．

解法一：

设所求直线的斜率为k，则直线方程为y

kx

1．代入椭圆

方程，并整理得

12k2x2

2k2

2kx1k2

k

0．

由韦达定理得x1

2k2

22

k．

2k

∵P是弦中点，∴x1

．故得k

所以所求直线方程为

2x

4y

分析二：

设弦两端坐标为

x1，y1

、x2，y2，列关于x1、x2、y1、y2的方程

组，从而求斜率：

y1

解法二：

设过P

的直线与椭圆交于Ax1，y1

、Bx2，y2

，则由题意得

x21，

③

1.

④

①－②得x12

⑤

将③、④代入⑤得y1

1，即直线的斜率为

所求直线方程为2x4y30．

（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：

过定点且被定点平分的弦；

平

行弦的中点轨迹；

过定点的弦中点轨迹．

（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代

斜率．

（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：

“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．

典型例题七

例7求适合条件的椭圆的标准方程．

（1）长轴长是短轴长的

2倍，且过点

2，6；

（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为

6．

分析：

当方程有两种形式时，应分别求解，如（

1）题中由x2

求出

b2

148，b2

37，在得方程x2

1后，不能依此写出另一方程

1．

148

37

（1）设椭圆的标准方程为x2

1或y2

21．

b

由已知a

2b．

又过点

2，6

，因此有

6

62

或

由①、②，得a2

，b2

37或a2

52，b2

13．故所求的方程为

52

13

（2）设方程为x2

1．由已知，c3，b

c3，所以a2

18．故所

求方程为x2

18

根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于

焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程

1或

典型例题八

例8椭圆x2

1的右焦点为F，过点A1，3

，点M在椭圆上，当

16

12

AM

2MF为最小值时，求点M的坐标．

本题的关键是求出离心率e

1，把2MF转化为M到右准线的距离，

从而得最小值．一般地，求

AMMF均可用此法．

e

1，右准线

由已知：

a

4，c

2．所以e

l：

8．

过A作AQ

l，垂足为Q，交椭圆于M，故

MQ

2MF．显然AM

2MF的最小值为AQ，

即M为所求点，因此yM

3，且M在椭圆上．故

23．所以M2

3，3．

本题关键在于未知式AM2MF中的“2”的处理．事实上，如图，

e1，即MF是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆

上一点M，使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值．

典型例题九

例9求椭圆x2

1上的点到直线xy6

0的距离的最小值．

先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求

出距离的最小值．

椭圆的参数方程为

3cos，

3cos，sin

sin.

设椭圆上的点的坐标为

则点到直线的距离为

3cossin6

2sin

d

当sin1时，d最小值22．

当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．

典型例题十

例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e

，已知点P0，

到这个椭圆上的点的最远距离是

7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点

P的

距离等于7的点的坐标．

本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求

d的最大值时，要注意讨论b的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用

椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问

题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．

设所求椭圆的直角坐标方程是

，其中ab

0待定．

由e

c2

可得

1e2

31，即a2b．

设椭圆上的点x，y到点P的距离是d，则

3y

4b2

3y2

3y

其中

b．

如果b

1，则当y

b时，d2（从而d）有最大值．

1，与b

1矛盾．

由题设得

，由此得b

7

因此必有b

1成立，于是当y

1时，d2（从而d）有最大值．

3，可得b

1，a

∴所求椭圆方程是x2

由y

1及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点

3，1

，点

到

的距离是

7．

点P0，

xacos

根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中ab0，

ybsin

待定，0

为参数．

1，即a2b．

设椭圆上的点x，y

的距离为d，则

到点P0，

d2

a2cos2

bsin

3b2sin2

3bsin

3b2

sin

2b

如果1

1，即b

1，则当sin

1矛盾，因此必有

1成立．

1时d2（从而d）有最大值．

于是当sin