FIR带阻滤波器的设计.docx
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FIR带阻滤波器的设计
1 前言
数字滤波器是一种用来过滤时刻离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数学处置来达到频域滤波的目的。
依照其单位冲激响应函数的时域特性可分为两类：
无穷冲激响应（IIR）滤波器和有限冲激响应（FIR）滤波器。
与IIR滤波器相较，FIR的实现是非递归的，老是稳固的；更重要的是，FIR滤波器在知足幅频响应要求的同时，能够取得严格的线性相位特性。
因此，它在高保真的信号处置，如数字音频、图像处置、数据传输、生物医学等领域取得普遍应用。
有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器具有严格的线性相位，又具有任意的幅频特性。
同时FIR系统只有零点，系统是稳固的,因此容易实现线性相位和许诺实现多通道滤波器。
只要通过必然的时延，任何非因果有限长序列都能变成因果的有限长序列，因此总能用因果系统来实现。
FIR滤波器由于单位冲激响应是有限长的，能够用快速傅立叶变换（FFT）算法来实现过滤信号，从而大大提高运算效率。
由于FIR滤波器具有以上优势，在信号处置和数据传输中取得了普遍的应用。
Matlab语言是一种用于科学计算的高效率语言。
随着Matlab信号处置工具箱（SignalProcessingToolbox）的不断完善,使数字滤波器的运算机辅助设计得以实现。
2设计原理
带阻滤波器的设计
理想带阻的频响：
其单位抽样响应：
带阻滤波器（W1，W2）=高通滤波器（W2）+低通滤波器（W1）
滤波器频率特性
窗口法原理
用一个有限长度的窗口函数序列W（n）来截取hd（n）：
（即进行砍头截尾），
h（n）=W（n）hd（n）使h（n）知足因果，有限长，实序列，并具有奇、偶对称性，那么可设计出具有线性相位的FIR滤波器。
窗口法应用普遍，利用窗函数法能够设计四种线性相位FIRDF，即低通、高通、带通、带阻。
3窗函数
加窗函数的阻碍
（1）不持续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度。
（2）在W=Wc+2pi/N处显现肩峰值，双侧形成起伏振荡，振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少。
（3）改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对照例。
其相对照例由窗函数形状决定，称为Gibbs效应。
窗函数的要求
1）窗谱主瓣尽可能窄以取得较陡的过渡带；
2）尽可能减少窗谱最大旁瓣的相对幅度以减小肩峰和波纹。
各类窗函数
一、矩形窗
窗谱：
幅度函数：
主瓣宽度最窄：
4pi/N，旁瓣幅度大
二、三角形（Bartlett）窗
窗谱：
幅度函数：
主瓣宽度宽：
8pi/N，旁瓣幅度较小
3、汉宁（Hanning）窗（升余弦窗）
幅度函数：
（N》1）
主瓣宽度宽：
8pi/N，旁瓣幅度小
4、海明（Hamming）窗（改良的升余弦窗）
幅度函数：
（N》1）
主瓣宽度宽：
8pi/N，旁瓣幅度更小
五、布莱克曼（Blackman）窗（二阶升余弦窗）
幅度函数：
（N》1）
主瓣宽度最宽：
12pi/N，旁瓣幅度最小
六、凯泽（Kaiser）窗
Io：
第一类变形零阶贝塞尔函数
改变β可同时调整主瓣宽度和旁瓣幅度，β增加那么旁瓣幅度降低，但主瓣宽度减小。
窗函数的特性
对称有限区间的窗函数的幅度响应有稳固的主瓣和衰减的旁瓣，能够全为正，也能够改变符号。
窗函数的幅度参数包括:
旁瓣峰值电平（PSL）,单位dB；延迟率Ds,单位为dB/dec
窗函数的频率参数包括：
主瓣宽度WM、3dB、6dB宽度（W3和W6）、抵达旁瓣峰值电平常的宽度Ws。
各类窗函数频谱
图3-1各类窗函数频谱
4带阻滤波器设计进程
带阻滤波器概念
数字带阻滤波器也具有频率响应的周期性，频率变量以数字频率
来表示（
，
为模拟角频率，
为抽样时刻距离，
为抽样频率），因此数字滤波器设计中必需给出抽样频率。
图数字带阻滤波器理想幅度频率响应（只表示了正频率部份），如此的理想频率响应是不可能实现的，缘故是频带之间幅度响应是突变的，因此其单位抽样响应是非因果的。
图4-1理想带阻滤波器的幅频特性
一样来讲，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的许诺误差来表征。
以低通滤波器为例，如图所示，频率响应有通带、过渡带和带阻三个范围（非理想的）。
在通带内，幅度响应以误差为
逼近于1，即
，
（式3-1）
在带阻中，幅度响应以误差为
逼近于0，即
，
（式3-2）
其中
，
别离为通带截止频率和阻带截止频率，他们都是数字域频率。
为了逼近理想低通滤波器特性，还必需有一个非零宽度
的过渡带，在那个过渡带内的频率响应滑腻地从通带下降到阻带。
图4-2理想低通滤波器逼近的误差容限
初始条件解析
由于初始条件为中心频率=200Hz，带宽=150Hz，因此阻带衰减频率别离为125Hz和275Hz。
窗函数设计方式设计思路
（1）先给定所要求设计的理想滤波器的频率响应Hd（ejw）.
（2）设计一个可实现的FIR滤波器频率响应H（ejw）。
（3）由于设计是在时域中进行，使所设计滤波器的h（n）去逼近理想单位取样响应序列hd（n）.
即，用一个有限长度的窗口函数序列W（n）来截取hd（n）：
（即进行砍头截尾），h（n）=W（n）hd（n）
使h（n）知足因果，有限长，实序列，并具有奇、偶对称性，那么可设计出具有线性相位的FIR滤波器。
改善滤波器性能的方法
若是给出的理想低通滤波器在通带的频谱
等于1而阻带为0，那么不论样点N取得如何密，在临界频率处总有两个幅度突变的样点，它们之间的落差为1。
于是阻带边缘产生反冲和阻尼振荡，其最大幅度取决于sinc[]函数，是个固定的值。
如此设计出来的滤波器的阻带最小衰耗固定为-20dB，与矩形窗一样。
增加采样点数N不能改善阻带最小衰耗。
改善阻带衰耗的唯一方法是加宽过渡带。
具体方式是：
在通、阻带交壤处人为地安排一到几个过渡点，其值介于零和1之间，如此可减小样点间的落差，使过渡平缓，反冲减小，阻带最小衰耗增大。
体会说明：
每多加一个过渡点，过渡带宽增加
，最优情形下阻带衰耗可增大20～30dB。
兼顾过渡带宽和阻带最小衰减。
增加采样点，同时在通、阻带交壤处安排过渡点。
4．5加窗进程
加窗进程事实上确实是卷积进程，即利用频域内W（n）与hd（n）对应的相卷积，即利用了h（n）=W（n）•hd（n）。
因此，窗函数序列的形状及长度的选择是设计关键。
加窗进程图如以下图所示：
图4-3加窗进程图1
图4-4加窗进程图2
图4-5加窗进程图3
由以上结果可知，加窗的进程即为频域内的卷积的进程。
5MATLAB程序
利用各类窗函数来实现FIR带阻滤波器：
clear;%清除工作区
clc;%清除命令行
closeall;
fs=2000;%采样频率为2000Hz
fm=fs/2;%信号最高频率为采样频率的一半
Wn=[125/fm275/fm];%阻带衰减频率别离为125Hz和275Hz
N=100;%滤波器阶数为100阶
%布拉克曼窗
window=blackman（N+1）;
b=FIR1（N,Wn,'stop',window）;
freqz（b,1,512,2000）;%取得频率响应
title（'blackman'）
figure
%凯泽窗
window=kaiser（N+1）;
b=FIR1（N,Wn,'stop',window）;
freqz（b,1,512,2000）;%取得频率响应
title（'kaiser'）
figure
6MATLAB仿真结果与分析
（1）布拉克曼窗
图6-1布拉克曼窗函数频谱图
（2）凯泽窗
图6-4凯泽窗函数频谱图
由以上仿真结果可知，用矩形窗函数设计的滤波器的过渡带最窄，但阻带衰减最差；而用布拉克曼窗设计的滤波器的阻带衰减最好，但过渡带最宽。
凯泽窗是一族窗函数，改变β可同时调整主瓣宽度和旁瓣幅度，β增加那么旁瓣幅度降低，但主瓣宽度减小。
最小阻带衰减仅由窗形状决定，不受N的阻碍；而过渡带的宽度那么随窗宽的增加而减小。
7设计心得
课程设计是培育咱们综合运用所学知识,发觉、提出、分析和解决实际问题,锻炼实践能力的重要环节。
本次课程设计的题目是基于频域抽样法的FIR数字带阻滤波器设计，通过认真阅读讲义相关章节和借阅MATLAB教程书籍，我为实际设计打好了理论基础，在此基础上，通过自己动手设计完成了课程设计要求。
通过这次课设，我更进一步明白得数字滤波器设计原理，学会了数字滤波器设计的方式和一样步骤，能够独立设计一个数字滤波器，实现了把理论知识转化为实际动手能力的进程。
我还从本次课程设计中体会到了MATLAB软件的壮大功能，了解到它在各类工程计算中的重要作用，为我以后进一步学习打下了良好的基础。
固然这次课程设计也暴露了我的一些问题，比如学习程序设计教程不够快，尽管MATLAB利用的语言和语法都继承于C语言，但仍是花了很多时刻学习其中的函数，最后才能把课程设计顺利完成。
参考文献
[1]董长虹.MATLAB信号处置与应用.北京：
国防工业出版社，2005
[2]程佩青.数字信号处置（第2版）[M].北京：
清华大学出版社，2003
[3]王济.MATLAB在振动信号处置中的应用.北京：
中国水利水电出版社、知识产权出版社，2006
[4]张志涌.精通MATLAB6.5版[M].北京：
北京航空航天大学出版社，2004
[5]候正信译.数字信号处置基础.北京：
电子工业出版社，2003
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