沪科版八年级数学上 册第14章全等三角形中常见的辅助线做法 教案.docx

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沪科版八年级数学上册第14章全等三角形中常见的辅助线做法教案

个性化教学设计

教案编写人：

科目年级日期时段

教师

课题

全等三角形常见重要辅助线

本次课程

内容罗列

1.基础知识点梳理

2.经典例题分析

3.课堂讲、练、测结合

4.易错题分析讲练

5.考点真题精讲

其它安排

专题讲练：

全等三角形常见重要辅助线

※题型讲练

题型一：

倍长中线法．

【例1】已知，如图△ABC中，AD为BC边上的中线，求证：

AB+AC>2AD．

【例2】如图，△ABC中，BD=AC，∠ADC=∠CAD，E是DC的中点，求证：

AD平分∠BAE．

题型二：

截长补短法．

【例1】如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：

AD+BC=AB．

【例2】如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：

∠C=2∠B

题型三：

旋转作图法．

【例1】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＝AC，D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，求证：

BD＝BA．

【例2】正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数．

※课后练习

1．已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD取值范围．

2．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上．求证：

BC=AB+DC。

3．如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小．

4．如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE．求证：

CE=DE．

5．如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD=AB，∠ADB=∠BAD，AE是△ABD的中线。

求证：

AC=2AE。

6．如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，按下列要求画图并回答：

画∠MAB、∠NBA的平分线交于E

（1）求∠AEB的度数；

（2）

（2）过点E作一直线交AM于D，交BN于C，求证：

DE=CE；

（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，

①AD+BC=AB；②AD+BC=CD谁成立？

并说明理由。

专题一全等三角形的性质及应用

1.如图,△ABC≌△EBD,问∠1与∠2相等吗?

若相等请证明,若不相等说出为什么?

解析:

由三角形全等,得到对应角相等,然后再沟通∠1和∠2之间的关系.

2.如图,已知△EAB≌△DCE,AB、EC分别是两个三角形的最长边，∠A=∠C=35°，

∠CDE=100°，∠DEB=10°，求∠AEC的度数.

专题二全等三角形的探究题

3.全等三角形又叫合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形．假设△ABC和△A1B1C1是全等（合同）三角形，且点A与A1对应，点B与B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A及A1→B1→C1→A1环绕时,若运动方向相同,则称它们是真正合同三角形，如图1；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形，如图2．

（1）

（2）

两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻折180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（）．

4.如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE．

（1）试说明BD=DE+CE；

（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE？

5.如图所示，△ABC绕着点B旋转（顺时针）90°到△DBE，且∠ABC＝90°.

⑴△ABC和△DBE是否全等？

指出对应边和对应角;

⑵直线AC、直线DE有怎样的位置关系？

专题三利用全等进行测量

1.1805年，法国拿破仑率军与德军在莱茵河激战，德军在河北岸Ｑ处，如图，因不知河宽，法军很难瞄准敌军，聪明的拿破仑站在南岸Ｏ处调整好自己的帽子，使视线恰好擦过帽舌边沿看到敌军兵营Ｑ处，然后后退到B点，这时他的视点恰好能落在O处，于是他命令部下测量他脚站的B处与O点之间的距离，并下令按这个距离炮轰敌兵营，法军能命中吗？

说明理由．

2.某同学根据数学知识原理制作了如图所示的一个测量工具----拐尺,其中O为AB的中点,CA⊥AB,BD⊥AB,CA=BD,现要测量一透明隔离房间的深度,如何使用此测量工具,说明理由.

专题四全等三角形中的探究题

3.如图所示,在△ABC中,∠C＝90,AC=10㎝,BC=5㎝,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过A点且垂直于AC的射线上运动.问P点运动到AC上什么位置时,△ABC才能和△APQ全等?

4.如图

（1），已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE.

（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由．

（2）若将CD沿CB方向平移得到图

（2）（3）（4）（5）的情形，其余条件不变，此时第

（1）问中AC与CE的位置关系还成立吗？

结论还成立吗？

请说明理由．

5.能够互相重合的多边形叫做全等形，即如果两个多边形对应角相等，对应边相等，那么两个多边形一定全等。

但判定两个三角形全等只需三组对应量相等即可，如SAS，SSS等，但如果要判定两个四边形全等仅有四组量对应相等是不够的，必须具备至少五组量对应相等.

（1）请写出两个四边形全等的一种判定方法（五组量对应相等）;

（2）如图，简要说明你的判定方法是正确的;

（3）举例说明仅有四边对应相等的两个四边形不一定全等（画出图形并简要说明理由）.

参考答案

1.解：

∠1和∠2∵△ABC≌△EBD,∴∠A=∠E（全等三角形对应角相等）,又∵∠A+∠AOF+∠1=180°,∠E+∠EOB+∠E=180°（三角形内角和定理）,∠AOF=∠BOE（对顶角相等）,∴∠1=∠2（等式的性质）.

2.解:

因为AB、EC是对应边，所以∠AEB=∠CDE=100°，又因为∠C=35°，所以

∠CED=180°-35°-100°=45°，又因为∠DEB=10°，所以∠BEC=45°-10°=35°，所以∠AEC=∠AEB-∠BEC=100°-35°=65°.

3.B提示:

A与C中的两个三角形可以通过旋转，使它们重合．D中的两个三角形可以用平移、旋转相结合的方式使之重合．而B中的两个三角形可以用翻折的方法使之重合，故B中的三角形是镜面合同三角形．

4.解:

（1）因为△BAD≌△ACE，所以BD=AE，AD=CE，又因为AE=AD+DE=CE+DE，所以BD=DE+CE．

（2）∠ADB=90°,因为△BAD≌△ACE,所以∠ADB=∠CEB，若BD∥CE，则∠CED=∠BDE，所以∠ADB=∠BDE，又因为∠ADB+∠BDE=180°，所以∠ADB=90°.

5.解:

⑴由题知可得：

△ABC≌△DBE,

AC和DE，AB和DB，BC和BE是对应边；∠A和∠D，∠ACB和∠DEB，∠ABC和∠DBE是对应角;⑵延长AC交DE于F.∵△ABC≌△DBE　　∴∠A＝∠D，又∵∠ACB＝∠DCF（对顶角相等）,∠A＋∠ACB＝90°,∴∠D＋∠DCF＝90°,即∠AFD＝90°.∴AC与DE是垂直的位置关系.

1.能.因为AO∥PQ，所以∠AOB=∠Q．因为AB=OP，∠ABO=∠POQ，所以△ABO≌△POQ，所以BO=OQ，即距离敌营距离等于BO，所以法军能命中．

2.解:

如图,使AC与房间内壁在一条直线上,且C与一端点接触,然后人在BD的延长线上移动至F,使F、O、E三点正好在一条直线上,记下F点,这时量出DF长,即为房间深度CE.理由如下:

由∠A=∠B=90°,OA=OB,∠EOA=∠FOB,所以△EAO≌△FBO,得BF=AE,则BF-BD=AE-AC,即DF=CE.

3.解:

要使△ABC和△APQ全等,由于∠PAQ=∠C＝90,PQ=AB,则只需AP=BC或AP=AC,由HL即知它们全等,从而得P点在A点或AC的中点处时△APQ和△ABC全等.

4.解:

（1）AC⊥CE，可确定△ABC≌△CDE，得∠ACB＝∠E，因为∠ACB＋∠ECD＝∠E＋∠ECD＝90°，所以∠ACE＝180°－90°＝90°，所以AC⊥CE．图

（2）（3）（4）（5）四种情况，结论仍然成立，理由同上．

5.解:

（1）∠D＝∠D′,AD=A′D′,DC=D′C′,BC=B′C′,AB=A′B′,

（2）连接AC,在△ADC和△A′D′C′中,因为AD=A′D′,∠D＝∠D′,DC=D′C′,所以△ADC≌△A′D′C′,则AC=A′C′,从而得△ACB≌△A′C′B′,从而得到四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的对应角,对应边均相等,即有四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′;（3）举一个凸四边形和凹四边形.

教师对本次课堂总结

作业安排（限时限量）

学生评价

满意

一般

不满意

学生签字：

教案审核人：