行列式的性质.docx
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行列式的性质
行列式的性质
性质
基本性质
性质1行列式与它的转置行列式相等。
性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。
性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
推论行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
性质5若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和
性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。
•般利用行列式的定义计算高阶行列式比
F面我们将推导出行列式的一些性质，
为行列式的计算做准备.设
称行列式DT为D的转置行列式.
DT可以看成是D的
a11
3|2
III
a1n
a11
a21
IIIan1
a21
a22
卅
a2n
_T
a12
a22
川an2
■
■
D=
■f
+
*
■h
■f
an1
an2
III
i
ann
■
■r
ain
+
■f
a2n
*
HIann
D-
元素沿着主对角线旋转180所得，亦可看成是将D的所有行（列）按序写成所有列（行）所得（即所谓行列互换）.
性质1.1行列式的值与其转置行列式的
值相等，即
a11
a12
III
a1n
a11
a21
川9n1
a21
a22
III
a2n
a12
a22
川an2
■*
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an1
■
■
■
an2
III
*
*
V
ann
■r
■r
a1n
■
■
■
a2n
■f
川ann
证明将等式两端的行列式分别记作D和DT，对行列式的阶数用数学归纳法.
当n=2时，可以直接计算出D=Dt成立，假设结论对小于n阶的行列式都成立，下面考虑n阶的情况•
根据定义
-ai1A11ai2Ai2■丨I]'ainA1n,
D=anA11飞21傀1，|||■aniAni.
根据归纳假设A—Ai，于是
a22
a42
III
an2
a13
*
*
a23
4
1
R
a43
I
i
卅
an3
*
a1n
a2n
a4n
III
ann
+III+
a12
a22
a13
■h
a23
I
■
■r
a1n
a2n
.’1中
1Tan1
III
III
an42
an」3
III
an1n
由归纳假设，可以把上面
n“个n—1阶行列式
都按第1列展开，并将含a12的项合并在一起，其值恰好等于a12A12，事实上
a33
+
+
III
an3
q
1七
*（一1）a31a12
a23
d
a43II
+
+
1an3
卜
卜
a3n
III
ann
a2n
a4nII
1ann
a21a12
a23
1Hn亠
（T）an1a12:
an43
III
III
a21
0
川0
0
a31
III
0
0
川0
an1
+
+
a33
卜
HIan3
+
+
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0
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a43
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r
r
+IH+
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申
川a®
■
0
F
F
0
a3n
HIann
a2n
0
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ann
a2n
Hlan—n
0
a3n
an-4n
…1I
a12
a32
III
TH2
D=anA1+（-1）a21
a13
*
■f
*
a33
■*
■f
■p
III
a1n
a3n
III
an2
9n3
■F
*
ann
a21a3111Fan1
十1心12弧a33川an3.
■rrp
■rrr
a2na3n111ann
H2t1卡
二ai2-1M12=毛_1Mi2二耳2人2,其中余子式M；是M12的行、列互换后的行列式，他们都是n—1阶行列式，根据归纳假设M1T2=M12.
类似地，把含a13的项合并后其值等于aM3,川，把含知的项合并后其值等于amAm，因此D=DT.
由该性质，行列式中关于行所具有的性质，关于列也同样具有.因而，下面关于行列式的性质将仅对行叙述.
性质1.2对行列式（1.3）中的任一行按下式
展开，其值相等，即等于行列式的值
a11
a12川
a21
a22川
■
■
*
K2川
a1n
a2n
ann
=ai1Ai1ai2A2ainAn
（i=12川,n）（1.4）
其中Aj=（-1）ijMj,Mj为D中划掉第i行和第j列的全
部元素后，按原顺序排成的-1阶行列式
a11
+
III
a1jd
■
a1j41
+
III
a1n
+
+
a-41
III
■
aiXj丄
+
aiXj十
III
+
ai/n
a十1
+
III
ai—
■
aij
+
III
ai41n
+
an1
III
■
anj斗
+
anj出
III
+
ann
Mj
并称Mj为元素aj的余子式，Aj为元素aj的代数余子式■证明对行列式的阶数用数学归纳法
当"时，可以直接计算出结论成立
假设结论对小于n阶的行列式都成立，下面考虑n阶的情况.
D二a〔iA|i3i2A12
根据定义
a21
an1
a22
an2
a24川a2n
a34
III
a3n
an4川
ann
.1^na31
（-1）Cn:
■r
an1
a22
a32
HIa?
.」
HIa3n」
an2川
a22a23111a2n
a21a23111a2n
a32a33111a3n
1七
a31a3311|a3n
■r■■
■fah■
*FF
+（-1）ai2
■■■
baa
F■■
an2an3H1ann
an1an3111ann
HIainAn
根据归纳假设州可以按照第i-1行展开，于是由归纳假设，把上面n个n-1阶行列式都按第iT行展开，并将含备的项合并在一起，其值恰好等于a“Ai，事实上（不妨取i=2）
1d2
a33
+
川a3n
‘143
a32
4
a34HI
+
a3n
f
）a12a21
+
+
an3
IIIann
+（-1）a13a21
t
4
an2
+
+
an4HI
h
F
ann
a32
1-n
III
a3n」
-1）
III
a12
0
III
0
0
a13
HI
0
0
ni
0
a1n
1
0
a33
III
a3n
a32
0
a34
a3n
a32
hi
a3nJ.
0
+
+
F
卜
+
4
+
+
■
■
+
+
+川+
R
!
■
0
an3
III
ann
an2
0
an4
ann
an2
hi
ann」
0
aina21
an2
ann/
‘1d2
二-1a21
ai2
a32
ai3
a33
III
III
ain
a3n
an2
an3
III
ann
2+
=為-1M2^=a21A>1,
类似地，把含a22的项合并后其值等于
a22A22,|H
把含a2n的项合并后其值等于a2nA2n,
因此，
D二a〔iAn
a12A12丨1（'a1nA1n二a21A21a22A22丨Ha2nA2n.
性质1.5行列式两行相同值为零，即
a11
III
ak1
a12
III
ak2
III
III
III
a1n
in
akn
D=
III
III
III
IH
=0
an
ai2
III
ain
III
III
III
III
an1
an2
III
ann
（仁k：
：
丨空n）
（1.7）
^其1中aki=aii
证明
（i=12川，n）.
禾1」用数学归纳法，对于二阶行列式,
（1.7）式显然成立.
假设（1.7）式对于-1阶行列式成立，即
如果n—1阶行列式两行相同，则值为零
在n阶的情况下，对行列式D按第j行展开（"k,l），
ai1ai2川
a21a22川
♦♦
♦♦
♦♦
an1an2川
a1n
a2n
ann
二aj1Aj1•aj2Aj2|I（ajn州.
由于Aji=（—1）7ji（i=1,2,川n），且Mji为n—1阶行列式且两行相同，因此厲=0.
所以，D=0.
例•计算
解：
由于该行列式的所有列加到一起得同一个数a+（n-1）x，我们就根据这一特点，用行列式的性质6,将Dn的第2列，第3列，…，第n列的1倍同时加到第1列上去，再由性质3的推论，将公因子a+（n-1）x提出来，得
}XX
\ax
+1）刃一..
1xx
1z
0d~
訂盘+3-1）刃：
：
00
x一
0■
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x
0
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=[a+（«-l）x]（a-x）n_,
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