江西省公务员考试备考：排列组合精讲.doc

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2011年江西省公务员考试备考：

排列组合精讲

排列组合原理

　　　　　　　　　　　　　　　　　　——思维方法的衍生法或派生法

　　　我们在高中数学中已经学了排列组合的基础知识了，因此大家对“排列组合”这概念应该不会是陌生的。

宇宙中的万事万物严格地说就是元素、分子、细胞等基本单元排列组合的结果，如所有分子都是由原子排列组合而成的，复杂的化学反应也是由简单的化学反应排列组合而成的；所有生物都是由不同的细胞排列组合而成的，可见排列组合知识是多么的重要!

为此下面就简单介绍一下高中代数中所讲到的排列组合的一些基础知识

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　元 素

　　通常人们把被取的对象（不管它是什么）叫做元素。

　　　如若我们研究对象为数字（如1、2、3、4、5等）那么，这些数字也叫做元素；若我们研究的对象为地名（如：

北京、上海、广州、南京等），那么这些地名也一样可叫做元素；若我们研究的对象为字母（如：

a、b、c、d等），那么这些字母也可叫做元素；若我们研究的对象为分子（如：

Cl２、Br2、H2、HCl等），那么这些分子也一样可叫做元素；若我们研究的对象为一个人（如：

张三、李四、王五等），那么这些人也可叫做元素……

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　排 列

　　　那么，一般地说，从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，这就叫做从几个不同元素中取m个元素的一个排列。

　　　例如：

已知a、b、c、d这四个元素，写出每次取出3个元素的所有排列。

　　　对于初学者可以先画下图来算出：

　　　看上图V所指的字母及第二排字母三个排成一列即可得到下列排列（这就是a、b、c、d这四个元素中每次取3个元素所得的所有排列）：

　　　有共24个排列，这个数值24是可以根据乘法原理算出来的。

数学中的乘法原理为：

做一件事，完成它需要分成几个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m2×m1×m3×……×mn种不同的方法。

据此从a、b、c、d这四个元素中每次取出三个排成三位数的方法共有N＝４×３×２＝２４种。

　　　数学中有一个排列数公式：

　　　从n个不同元素中取出m（m＜-n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。

用符号Pnm表示，（P是“排列”一词的英文Permatation的第一个字母），在数学课本中根据乘法原理可推出排列数的公式为：

　　　Pmn＝n（n－１）（n－２）……（n－m＋１）

　　　公式中的n,m∈N,且m≤n

　　　例如：

从8个元素中每次取3个元素出来排列，所得的排列数则为

Ｐ38＝８×（８－１）（８－２）

＝８×７×６

＝３３６（种）

　　　例如：

从8个元素中每次取5个元素出来排列所得的排列数为

Ｐ58＝８×（８－１）×（８－２）×（８－３）×（８－４）

＝８×７×６×５×４

＝６７２０

　　　例如：

从8个元素中每次取2个元素出来排列，所得的排列数为

Ｐ28＝８×（８－１）＝８×７＝５６

　　　例如：

从8个元素中每次取4个元素出来排列，所得的排列数为

P48＝８×（８－１）×（８－２）×（８－３）

＝８×７×６×５

＝１６８０

　　　在排列数公式中，当m＝n时，有：

　　　Ｐnn＝n（n－１）（n－２）……３×２×１

　　　这表明，n个不同元素全部取出来排列的排列数等于自然数1到n的连乘积。

n个不同元素，全部取出的一个排列叫做n个不同元素的一个全排列。

自然数1到n的连乘积叫做n的阶乘，用n!

表示，所以n个不同元素的全排列数公式则为：

　　　　　　Ｐnn＝n!

　　　前面所讲的排列数公式可作如下变形：

Ｐmn＝n（n－１）（n－２）……（n－m＋１）

　　　因此排列数公式还可写成下列形式：

　　　（注意：

为了使这个公式在m＝n时也成立，我们规定0!

＝1，这时Ｐnn＝n!

）例如，从8个元素中全部取出来的排列数则为：

8的阶乘。

　　P88＝８×７×６×５×４×３×２×１

＝４０３２０

　　　从上述几个例子的分析可见，从8个元素中分别取2、3、4、5、6、7、8个出来排到所得的排列数的总和高达数万。

　　　要是我们将几个思维法进行排列，也会得出许许多多不同思维顺序的新思维法；要是我们思考问题时使用几种思维法去思维，若这几种思维法的使用先后顺序不同，也会产生许许多多不同的思维效果。

可见，排列是一种很重要的方法。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　组 合

　　　一般地说，从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素出来拼成一组，就叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

　　　从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，就叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示，C是“组合”的英文Combination的第一个字母。

　　　例如，前面讲到的从a、b、c、d这四个元素中取3个元素出来的排列与组合的关系如下：

组合数         排列数

　　　由上分析可以看出，对于每一个组合都有6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取3个元素出来排列的排列数为P34，可接下列两步来考虑。

　　　第一步：

从4个不同元素中取出3个元素作组合，共有C34＝４个组合；

　　　第二步：

对每一个组合中的3个不同元素作全排列，各有P33＝6个排列。

　　　这样，再根据乘法原理即得：

　　　P34＝Ｃ34×Ｐ33；

而从上式得：

　　　将上述公式变成通式：

　　　一般地说，求从n个不同元素中取出m个元素排列的排列数为Pmn，可按下列两步来考虑：

　　　第一步：

先求出从这n个不同的元素中取出m个元素的组合数为Cmn；

　　　第二步：

求每一个组合中m个不同元素的全排列数Pmm。

根据乘法原理则得到：

　　　　　Pmn＝Ｃmn×Ｐmm

因此而得：

即

注意：

这里的n,m∈N，且m≤n，这个公式就叫做组合数公式。

又因为

所以上述组合数公式还可以写成：

　　　例如：

从8个元素中每次取3个元素出来组合所得的组合数为：

　　　　例如：

从4个元素中每次取3个元素出来组合所得的组合数为：

　例如：

从8个不同元素中每次取5个元素出来组合所得的组合数为：

显见，这个组合数与前面从8个不同元素中每取3个元素出来组合所得的组合数是相等的，即C58＝Ｃ38，同理C14＝Ｃ34、C62＝C46、C52＝C35、……

　　　因此有公式：

Cnm＝Cn-mn（这为组合数的性质定理1）

　　　（注意：

为了使这个公式在n＝m时也成立，我们规定C0n＝１）

　　　这是组合数的其中一个性质，此外，组合数还有另一个性质为：

Cmn＋１＝Cmn＋Cm-1n（这为组合数的性质定理2）。

　　　例如：

计算C98100和C320＋C220

　　　解：

由组合数的性质定理1可得：

　　　而由组合数的性质定理2可得：

　　　下面我们就详细算一算从5个不同元素中每次分别取1、2、3、4、5种元素出来组合所得的组合数：

　　　这5个不同元素进行不同的组合所得的组合数共为5＋１０＋１０＋５＋１＝３１我们从5种不同元素中每次分别取出1、2、3、4、5种元素出来排列所得的排列数分别为：

P15＝５

P25＝５×４＝２０

P35＝５×４×３＝６０

P45＝５×４×３×２＝１２０

P55＝５×４×３×２×１＝１２０

　　　这样从5种不同元素中每次每1、2、3、4、5种元素出来排列所得的排列总数为：

5＋２０＋６０＋１２０＋１２０＝３２５。

　　　从上分析可见，5种不同元素进行不同形式的组合的组合数为31，排列数为325。

若是从更多的元素中进行不同形式的组合和排列，其组合数和排列数都将非常之巨大。

要是我们将排列组合方法真正运用到学习、科学研究和创造发明活动中去，其效果之巨大必定会使人难以想象。

　　　我们在数学中从学过的二元坐标中可知，坐标平面上的任何一个点都是由x轴和y轴上的一个点共同组合成的；而在三元坐标中，坐标的立体空间中的任何一个点都是由x、y、z轴上的一个点共同组合成的；同理，在四元坐标，五元坐标及多元坐标的空间中任何一个点都分别是由4个、5个及多个点共同组合成的。

可见二元和三元坐标上不过是组合法中的一个范例。

前段时间我浏览了一下《中国思维魔王》一书，这本书实为发明“思维魔球”的发明人许国泰的传记，因为许国泰发明了“思维魔球”而名躁一时。

其实，细心的读者，一定会发现，许先生的“思维魔球”也就是我刚才讲的多元坐标（即多个点共同组合成一个点）的一个应用范例；还有在我国策划界小有名气的陈放先生著的《创意的革命》和《智能原子弹》等书中讲的什么拉线相干法等一大堆创意法等等没一种不是排列组合法的翻板或变形或延伸。

在此我要提醒广大读者，虽然目前新方法不断涌现，层出不穷，有的大都是名称非常玄的，甚至有令人耳目一新的感觉，但细细想来都不外是排列组合法的缩影或直接翻板或变形或延伸。

认真细想起来，这些方法实质上根本没有一点新意，也没有一点创意。

有的只不过是外表的翻新而已，实为一种换汤不换药的做法。

而在这个重视包装的年代里，旧方法被人拿来重新包装，然后隆重推出去，引起一片掌声也是常有的事。

当然这对人们重新认识一种旧方法也是很有好处的，若旧方法不被人重新包装，就往往会被人们遗忘了，从而慢慢地被消失在人们的脑海中。

从这一角度说，旧方法被重新包装也是件好事。

　　　在宇宙中，任何事物都可以看成是一种元素，大至银河系等星系、星球，小至原子和分子等都可以看成是一种种元素。

这样能供我们进行各种各样排列组合的元素就多了，多至无穷无尽，这样我们将宇宙中万事万物进行各种各样不同层次或跨层次的排列组合，产生的组合数或排列数就多得数不胜数，以到无穷无尽，而在这无穷无尽的排列组合中就必定会产生一些新发现、新发明、新创造，提出一些新假说、新原理、新理论等等。

如录音机与收音机组合可产生一种新发明——收录机，而目前出现的许多方法其实也是由排列组合法产生的，因此我认为方法也像化学中的化学反应方程式一样，虽然看似千变万化、错综复杂，但它们都只不过是几种简单反应排列组合的产物。

我在《化学新思想》中讲到所有元素看似各不相同，但它们都是由氢元素的三种不同的同位素氕、氘、氚进行不同形式的组合的结果；而所有单质和化合物多得数不胜数、错综复杂，但它们都无一不是由这百来种元素排列组合的结果；而我们人、动物和植物等生物体看似各不相同、丰富多彩，实质上也只不过是由不同细胞等元素进行各种各样排列组合的结果；我们的日常用品也相当丰富多彩，如：

彩电、冰箱、洗衣机、电饭锅、电炒锅、电烫斗、电话、手机、传真机、电脑、打印机、办公桌等等，细细想起来，无一不是排列组合的产物。

严格地说，世界上没有绝对单一纯净的东西，所有东西都是由不同元素按一定顺序排列组合而成的；就是我们现在读的图书也是由纸张、文字、胶水、薄膜、线或钉及各种色彩组合而成的；就是我们的汉字，虽然数以万计，但无非也是由点、横、竖、撇、捺等笔画排列组合而得的；我们学习的英文单词多得数不胜数，但无非也是由26个字母中取某几个出来进行不同排列组合的结果；其它任何文字也都一样，都是排列组合的结果，无一例外。

可见，世界上万事万物都是排列组合之结果。

　　　要是我们将我们所见过的万事万物（即各种不同的元素）进行各式各样不同层次的排列组合，我们肯定会在十分有趣的排列组合思维中产生更多更奇的新事物，因此说排列组合是新生事物之源泉。

　　　我们可以从宇宙中n（无穷多）种元素（即事物）中选取2种、3种、4种、5种、6种……m种出来分别进行各种各样的排列组合，其结果肯定会令人感到惊讶!

原来世界是多么的美妙!

宇宙中万事万物正在不断地发生着各种各样不同层次的排列组合，也正因为这样，世界才在不断地发生变化和发展。

　　　我认为我们这个地球上的生物早已完成了生命自发的不同排列组合，现在人们正在利用人为的因素将不同事物进行不同的排列组合，从而产生出世界本来就没有的新事物（如一切创造发明等），同时，利用人为的排列组合法我们人类正在不断地认识各种新生事物（从地球的角度来说，我们认识的所谓新生事物，其实也不是新生的，是地球上早已存在的，只不过是我们在此之前尚未认识罢了，因此对地球来说实际上并没有多少是新生事物的，许许多多是早就存在于地球上的，就好像我们现在用的高中课本，对未认识的人是新的，对已读过的人就是旧的。

其实世界上万事万物都如此，未见过、未认识的就是新的），因此说排列组合法也是我们认识世界的一种极好的方法。

　　　如推理法分别与演绎法、归纳法、统计法、辩证法、定性法、定量法、关系法、模态法、必然性法、换质法、换位法、附性法、减性法等等许多方法进行二元组合（类似于x轴上的某一点可跟y轴许许多多个点组合而形成许许多多个新点一样）就可产生许多种新方法：

演绎推理法、归纳推理法、统计推理法、辩证推理法、定性推理法、定量推理法、关系推理法、模态推理法、必然性推理法、模范推理法、换位推理法、附性推理法、减性推理法等等。