人教版八年级数学上册课时练第十一章 《三角形》 基础篇.docx

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人教版八年级数学上册课时练第十一章《三角形》基础篇

课时练：

第十二章《全等三角形》（基础篇）

一．选择题

1．下列有关三角形全等的判定，错误的是（　　）

A．三边分别相等的两个三角形全等（SSS）

B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）

C．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）

D．两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等（SSA）

2．如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，则下列结论中正确的是（　　）

A．DE＝DFB．BD＝FDC．∠1＝∠2D．AB＝AC

3．有下列说法：

①两个三角形全等，它们的形状一定相同；②两个三角形形状相同，它们一定是全等三角形；③两个三角形全等，它们的面积一定相等；④两个三角形面积相等，它们一定是全等三角形．其中正确的说法是（　　）

A．①②B．②③C．①③D．②④

4．某实验室有一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，胡老师想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，胡老师要带的玻璃编号是（　　）

A．1B．2C．3D．4

5．三角形具有稳定性，就是当三角形的三边长确定时，三角形的形状和大小就确定了，其理论依据是（　　）

A．SASB．ASAC．AASD．SSS

6．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，若添加一个条件不能得到“△ABD≌△ACE”是（　　）

A．∠ABD＝∠ACEB．BD＝CEC．∠BAD＝∠CAED．∠BAC＝∠DAE

7．如图△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CF，BE＝CD，∠EDF＝α，则下列结论正确的是（　　）

A．α+2∠A＝180°B．2α+∠A＝180°C．α+∠A＝90°D．α+∠A＝180°

8．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AD＝3，BD＝5，则点D到BC的距离是（　　）

A．3B．4C．5D．6

9．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：

①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积＝2AC•BD，其中正确的结论有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

10．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，以下结论，其中正确的是（　　）

①∠AED＝90°；

②点E是BC的中点；

③DE＝BE；

④AD＝AB+CD．

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

二．填空题

11．如图，点B、A、E在同一直线上，△ADB≌△ACE，∠E＝40°，∠C＝25°，则∠DAC＝　　°

12．如图，点A，E，F，C在同一直线上，AB∥CD，BF∥DE，BF＝DE，且AE＝2，AC＝8，则EF＝　　．

13．如图，AB＝AD，∠1＝∠2，如果增加一个条件　　，那么△ABC≌△ADE．

14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，交AD于F，FG∥BC，FH∥AC，下列结论：

①AE＝AF；②AF＝FH；③AG＝CE；④AB+FG＝BC，其中正确的结论有　　．（填序号）

15．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：

（1）PM＝PN恒成立；

（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的序号为　　．

三．解答题

16．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC，

（1）求证：

EB＝FC；

（2）若∠BAC＝45°，求∠BDC的度数；

（3）若四边形ABDC的面积为8，AB＝3，AC＝5，求DF的长．

17．在△ABC中，BE、CD分别是AC、AB边上的高线，BE＝CD．

（1）如图1，求证：

AB＝AC；

（2）如图2，若BF平分∠ABC，∠ABE＝∠ABF，求证：

AC+CF＝BC．

18．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD、CE交于点F，CE＝BE，且∠BEC+∠BDC＝180°．求证：

AC＝BF．

小明经探究发现，在AB上取一点G（不与E点重合），使CE＝CG，连接CG（如图2），从而可证△BEF≌△CGA，使问题得到解决．

（1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程；

参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：

（2）如图3，等腰△ABC中，AB＝AC，D、F在直线BC上，DE＝BF，连接AD，过点E作EG∥AC交FG于点G，∠DFG+∠D＝∠BAC，请在图中找出一条和线段AD相等的线段，并证明．

19．如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，点D在线段DC上运动（点D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E．

（1）若AB＝CD，求证：

△ABD≌△DCE．

（2）△ADE能成为等腰三角形吗？

若能，求出此时∠CDE的度数：

若不能，请说明理由．

20．已知：

如图所示，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD＝AE，BE、CD交于点F，且∠DFE＝120°．在BE的延长线上截取ET＝DC，连接AT．

（1）求证：

∠ADC＝∠AET；

（2）求证：

AT＝AC；

（3）设BC边上的中线AP与BE交于Q．求证：

∠QAB＝∠QBA．

参考答案

一．选择题

1．解：

A、三边分别相等的两个三角形全等（SSS），正确；

B、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（SAS），正确；

C、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（ASA），正确；

D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，错误；

故选：

D．

2．解：

∵DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，

∴∠1＝∠2（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）

故选：

C．

3．解：

①两个三角形全等，它们的形状一定相同，此说法正确；

②两个三角形形状相同，它们不一定是全等三角形，此说法错误；

③两个三角形全等，它们的面积一定相等，此说法正确；

④两个三角形面积相等，它们不一定是全等三角形，此说法错误；

综上，正确说法的是①③，

故选：

C．

4．解：

因为第2块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第2块．

故选：

B．

5．解：

当三角形的三边长确定时，三角形的形状和大小就确定了，其理论依据是SSS，

故选：

D．

6．解：

AB＝AC，AD＝AE，

A、若∠ABD＝∠ACE，则符合“SSA”，不能判定△ABD≌△ACE，不恰当，故本选项正确；

B、若BD＝CE，则根据“SSS”，△ABD≌△ACE，恰当，故本选项错误；

C、若∠BAD＝∠CAE，则符合“SAS”，△ABD≌△ACE，恰当，故本选项错误；

D、若∠BAC＝∠DAE，则∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，

即∠BAD＝∠CAE，符合“SAS”，△ABD≌△ACE，恰当，故本选项错误．

故选：

A．

7．解：

在△BDE和△CFD中，

，

∴△BDE≌△CFD（SAS），

∴∠BED＝∠CDF，

∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC，

∴∠B＝∠EDF＝α，

∵∠B＝∠C＝α，

∴2a+∠A＝180°．

故选：

B．

8．解：

作DH⊥BC于H，

∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DH⊥BC，

∴DH＝AD＝3，

故选：

A．

9．解：

在△ABD与△CBD中，

，

∴△ABD≌△CBD（SSS），故①正确；

∴∠ADB＝∠CDB，

在△AOD与△COD中，

，

∴△AOD≌△COD（SAS），

∴∠AOD＝∠COD＝90°，AO＝OC，

∴AC⊥DB，故②正确；

四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BDC＝

AC•BD，故③错误；

故选：

C．

10．解：

如图作EH⊥AD于H．

∵EA平分∠BAD，EB⊥BA，EH⊥AD，

∴BE＝EH，

同法可证：

EH＝EC，

∴EB＝EC，故②正确，

∵∠B＝∠EHA＝90°，AE＝AE，EB＝EH，

∴Rt△EAB≌Rt△EAH（HL），

∴AH＝AB，∠AEB＝∠AEH，

同理可证：

△EDH≌△EDC（HL），

∴DH＝DC，∠DEH＝∠DEC，

∴AD＝AH+DH＝AB+CD，∠AED＝

（∠BEH+∠CEH）＝90°，故①④正确，

∵DE＞EH，EH＝BE，

∴DE＞BE，故③错误，

故选：

B．

二．填空题（共5小题）

11．解：

∵△ADB≌△ACE，

∴∠BAD＝∠EAC，

∴∠DAE＝∠BAC，

∵∠BAC＝∠C+∠E＝65°，

∴∠BAC＝∠DAE＝65°，

∴∠DAC＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE＝50°，

故答案为50°．

12．解：

∵AB∥CD，BF∥DE，

∴∠A＝∠C，∠BFA＝∠DEC，

在△ABF和△CDE中，

，

∴△ABF≌△CDE（AAS），

∴AF＝CE，

∴AF﹣EF＝CE﹣EF，

∴AE＝CF＝2，

∵AC＝8，

∵EF＝8﹣2﹣2＝4，

故答案为：

4．

13．解：

添加的条件为：

AC＝AE，

∵∠1＝∠2，

∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，

即∠BAC＝∠DAE，

在△ABC与△ADE中

，

∴△ABC≌△ADE，

故答案为：

AC＝AE

14．解：

∵∠FBD＝∠ABF，∠FBD+∠BFD＝90°，∠ABF+∠AEB＝90°，

∴∠BFD＝∠AEB，

∴∠AFE＝∠AEB，

∴AF＝AE，故①正确，

∵FG∥BC，FH∥AC，

∴四边形FGCH是平行四边形，

∴FH＝CG，FG＝CH，∠FHD＝∠C，

∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠C＝90°，

∴∠BAF＝∠BHF，

∵BF＝BF，∠FBA＝∠FBH，

∴△FBA≌△FBH，

∴FA＝FH，故AB＝BH，②正确，

∵AF＝AE，FH＝CG，

∴AE＝CG，

∴AG＝CE，故③正确，

∵BC＝BH+HC，BH＝BA，CH＝FG，

∴BC＝AB+FG，故④正确．

故答案为①②③④．

15．解：

如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．

∵∠PEO＝∠PFO＝90°，

∴∠EPF+∠AOB＝180°，

∵∠MPN+∠AOB＝180°，

∴∠EPF＝∠MPN，

∴∠EPM＝∠FPN，

∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，

∴PE＝PF，

在Rt△POE和Rt△POF中，

，

∴Rt△POE≌Rt△POF，

∴OE＝OF，

在△PEM和△PFN中，

，

∴△PEM≌△PFN，

∴EM＝NF，PM＝PN，故

（1）正确，

∴S△PEM＝S△PNF，

∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（3）正确，

∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，故

（2）正确，

∵M，N的位置变化，∴MN的长度是变化的，故（4）错误，

故答案为：

（1）

（2）（3）

三．解答题（共5小题）

16．

（1）证明：

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°．

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），

∴EB＝FC．

（2）解：

∵Rt△BDE≌Rt△CDF，

∴∠BDE＝∠CDF，

∴∠EDF＝∠BDC，

∵∠BED＝∠CFD＝90°，∠BAC＝45°，

∴∠EDF＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°，

∴∠BDC＝135°；

（3）解：

在Rt△ADE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），

∴AE＝AF，

∵EB＝FC，

∴AC＝AF+FC＝AE+EB＝AB+2EB＝3+2EB＝5，

∴EB＝1，

∴AF＝AE＝AB+EB＝4，

∵Rt△BDE≌Rt△CDF，

∴四边形AEDF的面积＝四边形ABDC的面积＝8，

∴△ADF的面积＝

AF×DF＝4，

∴DF＝2．

17．

（1）证明：

如图1，∵BE＝CD，∠E＝∠D＝90°，∠EAB＝∠CAD，

∴△ABE≌△ACD（AAS），

∴AB＝AC；

（2）证明：

∵∠ABF＝∠CBF，设∠FBC＝α，

∴∠ABF＝∠ABE＝α，∠ABC＝∠ACB＝2α，

∴∠BCE+∠CBE＝5α＝90°，

∴α＝18°，

∴∠BAC＝108°，∠BCE＝36°，

如图2，在BC上截取BG＝AB，连接FG，

∴△ABF≌△GBF（SAS），

∴∠BGF＝∠BAF＝108°，

∴∠CGF＝72°，

∵∠BCE＝36°，

∴∠CFG＝72°，

∴CF＝CG，

∵CG+BG＝BC，

∴AC+CF＝BC．

18．

（1）证明：

过点C作CG＝CE，交AB与点G，如图2所示：

则∠CEG＝∠CGE，

∴∠BEF＝∠CGA，

∵CE＝BE，

∴BE＝CG，

∵∠BEC+∠BDC＝180°，∠BEC+∠CEG＝180°．

∴∠BDC＝CEG，

∵∠BDC＝∠A+∠EBF，∠CEG＝∠EFB+∠EBF，

∴∠A＝∠EFB，

在△BEF和△CGA中，

，

∴△BEF≌△CGA（AAS），

∴AC＝BF；

（2）解：

AD＝FG，理由如下：

延长FG分别交AC、AD于点H、M，如图3所示：

∵∠AMF＝∠DFG+∠D，∠DFG+∠D＝∠BAC，

∴∠AMF＝∠BAC，

∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD，∠AHF＝∠CAD+∠AMF，

∴∠BAD＝∠AHF，

在EG的延长线上取点N，使FN＝GF，

则∠FGN＝∠AHF，

∵EG∥AC，

∴∠AHF＝∠FGN，∠NEF＝∠ACB，

∴∠BAD＝∠N，

∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC，

∴∠NEF＝∠ABC，

∵DE＝BF，

∴DE+BE＝BF+BE，即BD＝EF，

在△ABD和△NEF中，

，

∴△ABD≌△NEF（AAS），

∴AD＝NF，

∴AD＝FG．

19．

（1）证明：

∵∠B＝∠C＝50°，∠ADE＝50°，

∴∠B＝∠ADE，

∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，

∴∠BAD＝∠EDC，

在△ABD和△DCE中，

∴△ABD≌△DCE（ASA）；

（2）解：

△ADE能成为等腰三角形，理由如下：

有以下三种可能：

①当AD＝DE时，

∵∠ADE＝50°，∠DAE＝∠DEA＝65°．

∵∠DEA＝∠CDE+∠C，

∴∠CDE＝∠DEA﹣∠C＝65°﹣50°＝15°；

②当DE＝AE时，

∵∠ADE＝50°，

∴∠DAE＝∠ADE＝50°，

∴∠DEC＝∠ADE+∠DAE＝100°，

∵∠C＝50°，∴∠CDE＝1880°﹣100°﹣50°＝30°；

③当AD＝AE时，

∵∠ADE＝50°，

∴∠AED＝∠ADE＝50°，

∵∠AED＝∠C+∠CDE＝50°+∠CDE，

∴∠CDE＝0°（不合题意，舍去）；

综上所述，△ADE为等腰三角形时，∠CDE的度数为15°或30°．

20．证明：

（1）∵∠BAC＝60°，∠DFE＝120°，

∴∠AEF+∠ADC＝360°﹣60°﹣120°＝180°．

∵∠AEF+∠AET＝180°

∴∠ADC＝∠AET．

（2）∵AD＝AE，∠ADC＝∠AET，ET＝DC，

∴△AET≌△ADC（SAS）．

∴AT＝AC．

（3）延长AP至G点，使得GP＝AP，连接BG．

∵AP为BC边上的中线，

∴CP＝BP，

∵∠APC＝∠GPB．

∴△APC≌△GPB（SAS）．

∴AC＝GB，

由

（2）可知AC＝AT，

∴GB＝AT，

由

（2）可知∠TAC＝∠CAD＝60°，

∴∠TAB＝120°，

又∵△APC≌△GPB，

∴∠CAP＝∠BGP，

∴AC∥BG

∴∠ABG＝180°﹣∠BAC＝180°﹣60°＝120°＝∠TAB．

∴AB＝BA，

∴△ABG≌△BAT（SAS），

∴∠QAB＝∠QBA．