网络远程教育高等数学专升本电子教材.docx

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量，几个中间变量，再搞清是求偏导数，还是求全导数（有两个以上自变量时是求偏导数，若自变量只有一个，那就是求全导数），另外要记住对自变量求导时，必须经过每一个中间变量。

2．隐函数求导例设函数z=z（x,y，由方程xz¶z¶z=ln所确定，求,zy¶x¶y解设F（x,y,z=xz1yz1-ln，则Fx=,Fy=-（-2=zyzzyyFz=-xy1x1-×=-2-2zzyzz1F¶zzz\=-x=-=x1x+z¶xFz-2-zz1¶zz2y=-=-=x1y（x+z）¶yFz-2-zzFy3．全微分例1解：

求z=lnx2+y2的全微分1×2x=xx+y22Q¶z=¶x¶z=¶y\dz=x2+y22x2+y21x+y22×2y2x+y22=yx+y22¶z¶z1dx+dy=2（xdx+ydy¶x¶yx+y2y在点上（1，4）处的全微分x例2求函数z=解¶z¶x（1,4=1y2x×（-yx2（1,4=-1上海招考热线第41页共43页

¶z¶y（1,4=11=4yx2x（1,4×1dy4x+y£11\dz（1,4=-dx+5．二重积分的计算例1计算二重积分1òòxydxdy，其中D满足x³0,y³0，D（1-x20解òòxydxdy=òdxòD0xydyy2=òx（0021（1-x2（1-x4dx=òx×dx021311=òx（1-4x2+6x-4x2+x2dx2011=ò（x-4x2+6x2-4x2+x3dx20==例23511x282811（-x+2x3-x2+x4022574118811（-+2-+=2257428057计算二重积分òòDx2dxdy，其中D是曲线xy=1与直线y=x,x=2所围。

y2x解òòD22xx2x21dxdy=dxdy=òx2（-dx122òò11yy1xyx=ò（-x+x3dx=（-12x2x429+=2414x,x=2所围成的平例3面区域。

计算二重积分òòxD2ydxdy，其中D是由曲线xy=1,y=上海招考热线第42页共43页

解òòx2ydxdy=2dxxx2ydyò1ò1Dx=ò=ò21y2x（22x1x2x1dx=òx2（-2dx122x221x31x4x11（-dx=（-=228218小结计算二重积分的基本方法是化二重积分为累次积分。

计算二重积分的一般步骤是：

先画出积分区域D的图形；然后确定积分次序及确定积分上下限，并计算定积分。

定限的原则是后积分的先定限，其上、下限均是常数，先积分的后定限，其积分限是后积分变量的函数或常数。

在选用直角坐标计算二重积分时，要根据积分区域及被积函数的特点确定积分次序。

7．交换积分次序例1解例2解例3解例4解交换二重积分I=11ò10dyòf（x,ydx的积分次序0yI=òdxòf（x,ydy0x交换二重积分I=òdyò011-y0f（x,ydx的积分次序I=òdxò011-x20f（x,ydy交换二重积分I=òdxò0112-xxf（x,ydy的积分次序1y22-yI=òdyòf（x,ydx+òdyòf（x,ydx0010交换二重积分I=òdxò0x20f（x,ydy+òdxò131（3-x20f（x,ydy的积分次序I=òdyò013-2yyf（x,ydx小结交换积分次序的一般步骤是先按所给的二重积分的积分限画出积分区域D，再按积分区域D确定新的积分次序的积分限。

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