该问题的根的搜索空间是，［0.31
Pressanyheytocontinuc_
2.用对分法求解
min（t）二t（t2）
已知初始单谷区间［a，b］"-3,5］,要求按精度；=0.3,；=0.001分别计算.
对分法迭代的计算步骤：
（1）确定初始搜索区间［a,b］,要求飞厂：
：
0，：
'（b）0。
1
（2）计算［a,b］的中点c（ab）.
2
（3）若‘（c）:
:
:
0,则a=c,转⑷；若‘（c）=0,则t^c,转⑸；若'（c）0，则
b=c,转⑷.
⑷若|a-b卜：
；，则t^2（ab）,转⑸；否则转
（2）.
⑸打印t*，结束
对分法的计算框图
程序清单
对分法程序见附录2
实验结果
运行结果为
3.用Newton法求解
min「⑴二t3-2t1已知初始单谷区间［a，b］二【°，1】,要求精度；=0.01.
Newton法的计算步骤
（1）确定初始搜索区间
[a,b],要求
'（a）：
0,
'（b）.0
⑵选定to
⑶计算t=t°-「'（t。
）/「"（to）
⑷若|t-tol-；,则to=t,转（3）;否则转（5）
⑸打印匕建），结束.
Newton法的计算框图
程序清单
Newton法程序见附录3
实验结果
运行结果为：
'13regramFiles（K8&]\Micro^oftVisualStudia\M'/Propsets
|求解的结果是；=0.劭砧P丄匕时f=-0.0886621
Pressanvtocontinue
项目二一维搜索算法
（二）
［实验目的］
编写黄金分割法、抛物线插值法的程序。
［实验准备］
1.掌握黄金分割法的思想及迭代步骤；
2.掌握抛物线插值法的思想及迭代步骤。
［实验内容及步骤］
编程解决以下问题：
1.用黄金分割法求解
min（t）=t（t2）
已知初始单谷区间［a，b］=［-3,5］,要求精度•；：
=0.001.
黄金分割法迭代步骤：
（1）确定：
（t）的初始搜索区间［a,b］.
（2）计算t^a0.382（b-a）
（3）计算t|=a0.618（b-a）
*t+to
（4）若|ti-t2F；,则打印t12，结束；否则转⑸.
2
（5）判别是否满足_2:
若满足，则置a=t2,2=£,2=1
然后转⑶；否则，置
b二,1讥，1二2,2「「（b-a）,2二住2）
然后转⑷.
黄金分割法的计算框图：
程序清单
黄金分割法程序见附录4
实验结果
运行结果为：
▼'D:
\ProgramFiles（x86）\MicrosoftVisualStudio\MyProject5\zuiyou\Debug\ziyuan.exe*
to功厂迭代次数为0]迭代结里为root=0-056函数值逬似为：
f=0.115136
Pressanvkeytocontinue.
2.用抛物线插值法求解
minf（x）=8x3-2x2-7x3
已知初始单谷区间［a，b］=［°，2］.
:
=0.001
抛物线插值法的计算步骤：
（1）（t）<（to）,所以相对to来说t是好点，故划掉区间［t°,t2］,保留［ti,to］为新区
间，故置t2=to,（t2）"：
（to）,to二t,（t）="to）,ti保持不变；
（2）：
（t）（to）,所以相对t来说to是好点，故划掉区间［t^t］,保留［t,t2］为新区间,
故置t^t,（t）匚：
（tj,to与t2保持不变；
程序清单
抛物线插值法程序见附录5
实验结果
运行结果为：
■'D:
\ProgrannFiles（xS6）\MicrosoftVisualStudio\MyProject5\zu
迭代第黑
近似?
R：
0>630061
函数植近似为：
-0-203424^essanykeytocantinue
项目三常用无约束最优化方法
（一）
［实验目的］
编写最速下降法、Newton法（修正Newton法）的程序［实验准备］
1.掌握最速下降法的思想及迭代步骤。
2.掌握Newton法的思想及迭代步骤；
3.掌握修正Newton法的思想及迭代步骤。
［实验内容及步骤］
编程解决以下问题：
1.用最速下降法求
minf（X）25x；,X°=［2,2］T，二0.01
最速下降法计算步骤
（1）取初始点X（0）,容许误差（精度）；0,令k=0
（2）计算p（k）-八f（X（k））
（3）检验p（k）空；？
若是迭代终止，取X"=X（k）,否则转4°
（4）求最优步长k:
minf（X（k）•'p（k））=f（X（k）•'kp（k））（—维搜索）
>:
-0
令X（k1）=x（k）「kP⑹,令k-k1,转2°
最速下降法的计算框图
程序清单
最速下降法程序见附录6
实验结果
运行结果为：
2.用Newton法求
minf（X）=60「10人「4x2Xx|-x1x2初始点X0=[0,0]丁，；=0・01.
Newton
法的计算步骤
（1）
给定初始点x），及精度；•°，令k=0；
（2）
（3）
'f（X）亠-，停止，极小点为x（k），否则转步骤（3）；计算了2f（X（k））F令S（k）=—[H（X（k））]，Vf（X（k））；
令x（f=x（k）+s（k）,k=k+1，转步骤
（2）。
程序清单
Newton法程序见附录7
实验结果
运行结果为
Anvkeytccantinus
3.用修正Newton求
minf（X）=4（X11）22（x2一1）2为x?
10初始点X0=[0,0]丁，疋r。
01.
修正Newton的计算步骤
（1）给定初始点x®,及精度；V,令k=0；
（2）若'丿I，停止，极小点为x（k）,否则转步骤（3）;
（3）计算FPF',令s（k—[H（X（k））e（X（k））；
使得f（X（k「kSk（）=）minfXk（J：
_0
程序清单
修正Newton程序见附录8
实验结果
运行结果为
项目四常用无约束最优化方法
（二）
实验目的
编写共轭梯度法、变尺度法（DFP法和BFGS法）程序。
实验准备
1.掌握共轭方向法的思路及迭代过程；
2.掌握共轭梯度法的思想及迭代步骤;
3.掌握DFP法和BFGS法的思想及迭代步骤。
实验内容及步骤
编程解决以下问题：
1.用共轭梯度法求得min（x「4x；），取初始点X。
二【1,1「，；=0.01.
共轭梯度法算法步骤
（4）。
程序清单
共轭梯度法程序见附录9
实验结果
运行结果为
D:
\ProgramFiles（x86J\MicrosciftVisualStudio\MyProjerts\zu|y°ebug\z>yn
请输入函数的元数值”2请输入初始值：
1
1
Ml=-«i_0Pf1flW2,5（2=-H.ap2=»_aiawwi
（a.b]-1-4.SeRHBB^lV5MHHHI
pl=0•E凶电M■说F*KeHHH0.t=0.-17-1238
Ml—0H@S0@@@*m2=0■BBQaO0Pi>i=O<000898.p2=-0.0B3B05U^bJ»[-4B5Se000UJ580OB8]
^1-0.066600,p2—B・60QBO5.t-0・020810
Mtt^zDx1"-0■000800>x2—8・000860
厳终的凿數値为曾-SB@00BPreasanykeytocuniti.nu.cH
■22
2.用共轭梯度法求minf（X）=2Xi•X2-皿2，自定初始点，；=0.01.
程序清单
共轭梯度法程序见附录9
实验结果
运行结果为
3.用DFP法求minf（X）=4（Xi-5）（X2-6），初始点X。
珂8,9]丁，=°.°1
DFP法的具体迭代步骤如下
（1）给定初始点一:
迭代精度己，维数n
（2）置0tk，单位矩阵,计算席炉
（3）计算搜索方向-
（4）进行一维搜索求1,使
/M叫卅評）亠呻気0护）
得迭代新点-/-■'-■：
-
（5）检验是否满足迭代终止条件H‘11?
若满足，停止迭代，输出最优解
-二，-：
>'■：
；否则进行下一步。
（6）检查迭代次数，若k=n，则置..'',转向步骤
（2）;若k步。
（7）计算:
DFP法的计算框图
程序清单
DFP法程序见附录10
实验结果
运行结果为：
DFF^
函錚=4（Xl-5>^2t*2.的极小点为if=0砥荐根小点为自变量取值为|
xd=5
x2=6
卩尸耳貝盂Rrnub：
Ftijnnrif:
~im[iiE_
项目五常用约束最优化方法
［实验目的］
编写外点罚函数法、外点罚函数法的程序
［实验准备］
1•掌握外点罚函数法的思想及迭代步骤；
2.掌握内点罚函数法的思想及迭代步骤。
［实验内容及步骤］
编程解决以下问题：
1.用外点罚函数法编程计算
minf（X）二-x2,
Q（X）=InX2A0,
st.丿h（X）=捲+x2—1=0,
精度；=101
外点法的计算步骤：
（1）给定初始点X（0）,初始罚因子■⑴,
放大系数c>1;允许误差e>0,设置k=1;
（2）以x（k-1）作为搜索初始点，求解无约束规划问题
minf（xp■P（x）,令x（k）为所求极小点。
（3）当P（x（k））:
:
e，则停止计算，得到点x（k）；否则，令’（kT）=c'（k）,返回
（2）执行。
程序清单
外点罚函数法程序见附录11
实验结果
实验结果为
2.用内点罚函数法编程计算
3
min3（x11）
X2
st.
Xi-■1一0,x2—0.
初始点取为X。
心4r,
初始障碍因子取Ui=10缩小系数取c=0.1.
内点罚步骤
障碍参数⑴，缩小系数b•（0,1），置k=1；
（2）以x（k①为初始点，求解下列规划问题
令x（k）为所求极小点
minf（x）（k）B（x）
s.t.xS
（3）如果（k）B（x（k））：
：
：
e，则停止计算，得到结果x（k）,
（4）否则令（k1）=b（k）,置k=k+1,返回
（2）。
内点罚计算框图
程序清单
内点罚函数法程序见附录12
实验结果
运行结果为
附录1
#include#include#defineMAX20480doublefun（doublex）{
returnx*x*x-2*x+1;
}
doubleMax_Num（doublea,doubleb）
{
if（a>b）
returna;
else
returnb;
}
doubleMin_Num（doublea,doubleb）{
if（areturna;
else
returnb;
}
voidStepAdding_Search（double&a,double&b）
{
doublet[MAX]={0};
doubleh[MAX]={0};
doublef[MAX]={0};
doubleresult=0;
doublep=2;
t[0]=0;
h[0]=1;
f[0]=fun（t[0]）;
for（intk=0;k{
t[k+1]=t[k]+h[k];
f[k+1]=fun（t[k+1]）;
if（f[k+1]vf[k]）
{
h[k+1]=p*h[k];
result=t[k];
t[k]=t[k+1];
f[k]=f[k+1];
}
elseif（k==0）
{
h[k]=-h[k];
result=t[k+1];
}
else{
a=Min_Num（result,t[k+1]）;b=Max_Num（result,t[k+1]）;
}
}
}
intmain（）
{
doublea=0.0;
doubleb=0.0;
StepAdding_Search（a,b）;
「vvaCOUt«"该问题的根的搜索空间是
return0;
}
附录2
#include
#include
#defineeps0.001
doublefun（doublex）
{
returnx*x+2*x;
}
doublediff_fun（doublex）
{
return2*x+2;
}
doubledichotomy（doublea,doubleb）
{
doublec=0.0;
if（（diff_fun（a）<0）&&（diff_fun（b）>0））
{
while（true）
{
c=（a+b）/2;
if（diff_fun（c）<0）
{
a=c;
if（fabs（（a-b））{
return（a+b）/2;
}
}
elseif（diff_fun（c）==0）
{
returnc;
}
else
{
b=c;
if（fabs（（a-b））{
return（a+b）/2;
}}}}}
intmain（）
{
doublea=-3.0;
doubleb=5.0;
doubleresult=dichotomy（a,b）;
coutvv"求解的结果是：
"vvresultvvendl;
return0;
}
附录3
#includeviostream.h>
#includevmath.h>
#defineeps0.01
doublefun（doublex）
{
returnx*x*x-2*x+1;
}
doublediff_fun（doublex）
{
return3*x*x-2;
}
doublediff_2_fun（doublex）
{
return6*x;
}
doublenewton（doublea,doubleb）
{
doubleresult=（a+b）/2;
doublet=0.0;
while（true）
{
t=result-（diff_fun（result）/diff_2_fun（result））;
if（fabs（（t-result））veps）
{
returnresult;
}
else
{
result=t;
}
}
}
intmain（）
{
doublea=0.0;
doubleb=3.0;
doublex=newton（a,b）;
coutvv"求解的结果是x="vvxvvendl;
coutvv"此时f（x）="vvfun（x）vvendl;
return0;
}
附录4
#includeviostream>
#includevmath.h>
usingnamespacestd;
doublefun（doublet）
{
return（t*t+2*t）;
}
voidGoldensection（double（*pfun）（doublet））
{
intmaxflag=1000,k=1;
doublea=-3,b=5,err=0.001,t,t1,t2;
do
{
t1=a+0.618*（b-a）;
t2=b-0.618*（b-a）;
if（t1=t2）{a=t2;b=t1;}
else{if（t1vt2）{a=t2;}
else{b=t1;}}
k++;
}while（fabs（a-b）>err&&kvmaxflag）;
if（k>=maxflag）
coutvvendlvv"黄金分割法迭代失败！
迭代次数为k="vvkvvendl;else
{
t=（a+b）/2;
coutvvendlvv"黄金分割法迭代成功！
迭代次数为k="vvk-1vvendl;
:
f（root）="vvfun（t）vvendl;}
coutvv"迭代结果：
近似根为root="vvtvvendl;coutvv"函数值近似为
}
intmain（）
{
Goldensection（fun）;
return0;
}
附录5
#include
#include
usingnamespacestd;
doublefun（doublex）
{
return（8*x*x*x-2*x*x-7*x+3）;
}
doublemax（doublea,doubleb）
{
if（a>b）returna;
elsereturnb;
}
doublemin（doublea,doubleb）
{
if（a>b）returnb;
elsereturna;
}
voidParainterpolation（double（*pfun）（doublex））{
doublea=0,b=2,err=0.001,x=0,x0=1,f,f0;
do
{
x=（（x0*x0-b*b）*fun（a）+（b*b-a*a）*fun（x0）+（a*a-x0*x0）*fun（b））/（2*（（x0-b）*fun（a）+（b-a）*fun（x0）+（a-x0）*f
un（b）））;
f0=fun（x0）;
f=fun（x）;
if（f=f0）{a=min（x,x0）;b=max（x,x0）;x0=（a+b）/2;}
else{
if（（fun（x）-f0）*（x-x0）>0）
{
b=max（x,x0）;x0=min（x,x0）;
}
else
{
a=min（x,x0）;x0=max（x,x0）;
}
}
}while（fabs（x-x0）>err）;
x=（x+x0）/2;
coutvv"迭代结果：
"wendl;
"]X*[|jER=[|JdIO】x*[o]耳乙=【0】dh]b*pwE|+[|Jx=[|Jx!
[o]6¥piue|+[o]x=[o]x!
（e161x）epLue|=piue|}（00乙=>辭头（【116JL]6+[o]6¥[o]6）lJbs）9|!
i|M!
|pus»;noo!
o=!
h】d-=[|Jb!
[o]d-=[o]6堆17】e+【0】x*[乙]e+[|jx*[订耳乙）=[|Jd乂【£]e+【|Jx*[乙]e+[o]x*[o]耳乙）=[0】d!
[i]e«uio（++!
!
9>!
：
0=!
）JOj!
|pu9»H:
[g]e、[朋、[£旧、⑵e、[圧[ole:
诲翌阴诲國Y嗨逖羽舆..»inoo
!
|pu9»11[g]e+sx[i7]e+以[£旧+乙xjxNe+乙xrx[订盼|,x^x[o]e=（x）j华莎沁..»inoo!
u=[|,]x!
iu=[o]x!
u«uio!
iu«uio!
|PU9»uu\:
旬阴[|JxTo]xu»inoo
0VVUQ!
|PU9»H9固耿Y嗨舆u»inoo：
0=!
iuitu'iu'A'o'[乙]b'[乙]dsiqnopl9】E'【£]x'piUE|©iqnop!
|pus»;noolPU9»u番孫马吴自畐搦W窖搦$蚩劉丄堪窖u»inoo
}OuiblupioA{!
sujn;sj!
（^bus）/21UB|-=s!
s9|qnop!
（（21de）/v\od+（21[oK[o]B）Mod）-=2iue|
堆lJx*[|Jx*©[|jE）/v\od+[o]x*[o]x*（y[o】E）Mod）=MH：
3iue|£|,iue|令iqnop}（[s]b°|qnop'[乙]d°|qnop'[乙]x°|qnop）wpiUE|令|qnop9pnQU!
#9pnQU!
#9沓朗
{：
0ujn;sj!
（unj）uo!
；e|odj9；u!
ejec|
}OujBiuM
{!
|pu9»（x）un»,，:
■沏必旬滋国..»inoo!
|pu9»x»H:
制沏必„»inoo
g【o]=-P【o】;
g【i]=-P【i];
i++;
coutvv'
I******************************************I
'vvendl;
coutvv"第"vvivv"次迭代结果：
"vvendl;
cout<<"p的模为:
"vvsqrt（g[0]*g[0]+g[1]*g[1]）vvendl;
coutvv'x的值"vvx[0]
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