演绎完美数学与音乐的巧妙结合1Word文档格式.docx
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mathematicalknowledgerequiredtocomposeaconcerto;
andmathematicaltransformations,goldenrationandnumericalsequenceandthelike.Thispaperalsotellssomestoriesaboutmathematicianswhohaveaspecialinterestinmusic.What'
smore,inordertocomposeapieceofmusicinanelegentway,someworld-classmusiciansalwayshavetohaveaunderstandingonmathematics.Thestoriesofmathematiciansandmusiciansmentionedabove,wouldofferusabrandnewinsightintothecloselinkbetweenmusicandmathematics.Inaword,thisisaperfectcombinationofsensitivityandrationalityandoftwodifferentkindsofetherealbeauties!
Keywords
MusicTheory,Temperament,MusicalInstruments,PrincipiaMathematica
中英文摘要及关键词·
·
（1）
1引言·
（3）
2基础乐理与数学·
3数学知识在音乐中的综合应用·
（9）
4乐器制作中的数学原理·
（13）
5数学家与音乐·
（17）
6结论·
（18）
致谢·
（19）
参考文献·
1引言
2500年前的一天，古希腊哲学家毕达哥拉斯外出散步，经过一家铁匠铺，发现里面传出的打铁声响，要比别的铁匠铺更加协调、悦耳。
他走进铺子，量了又量铁锤和铁砧的大小,发现了一个规律，音响的和谐与发声体体积的一定比例有关。
之后，他又在琴弦上做了许多试验，进一步发现只要按比例去划分一根振动着的弦，就可以产生悦耳的音程。
如1:
2产生八度，2:
3产生五度，3:
4产生四度等等。
就这样，毕达哥拉斯在世界上第一次发现了音乐和数学的联系。
若干世纪以来，音乐和数学一直被联系在一起。
从基本的阿拉伯数字到“黄金分割”，音乐中不仅包含了数学中的“数列”、“变换”、等知识，乐谱的书写乃至乐器的制作……无不透着数学的踪影。
数学家们研究音乐，音乐家也和数学密切相关。
正因如此，越来越多的人开始关注音乐，研究数学与音乐的联系。
了解这种关系无论是在生活中聆听音乐感受数学，还是利用数学知识制作音乐都会有意想不到的收获！
音乐是一种雅俗共赏的艺术，文人雅士有文人雅士的品味，庸俗之人有庸俗之人的欣赏自由，高兴时我们可以制造音乐聆听音乐，同样悲伤时也可以；
数学则是最为普遍的人类知识，是人类智慧不断的凝聚和积累，从原始时代到现在，再到是遥远的未来，数学之花只会越开越灿烂。
了解和研究音乐与数学的个中关系，将会是一件非常有趣而且有用的事情。
2基础乐理与数学
数学是研究现实世界空间形式的数量关系的一门科学，它早已从一门计数的学问变成一门形式符号体系的学问。
符号的使用使数学具有高度的抽象。
而音乐则是研究现实世界音响形式及对其控制的艺术。
它同样使用符号体系，是所有艺术中最抽象的艺术。
数学给人的印象是单调、枯燥、冷漠，而音乐则是丰富、有趣，充溢着感情及幻想。
表面看，音乐与数学是“绝缘”的，风马牛不相及，其实不然。
德国著名哲学家、数学家莱布尼茨曾说过：
“音乐，就它的基础来说，是数学的；
就它的出现来说，是直觉的。
”而爱因斯坦说得更为风趣：
“我们这个世界可以由音乐的音符组成也可以由数学公式组成。
”数学是以数字为基本符号的排列组合，它是对事物在量上的抽象，并通过种种公式，揭示出客观世界的内在规律：
而音乐是以音符为基本符号加以排列组合，它是对自然音响的抽象，并通过联系着这些符号的文法对它们进行组织安排，概括我们主观世界的各种活动罢了，正是在抽象这一点上将音乐与数学连结在一起，它们都是通过有限去反映和把握无限。
2.1音符与数字
莱布尼茨说过：
“音乐是数学在灵魂中无意识的运算。
”众所周知，古今中外的音乐虽然千姿百态，但都是由7个音符（音名）组成的，数字1～7在音乐中是神奇数字：
数字1
音乐上许多发展乐思的手法，如重复、变奏、衍生、展开、对比等等，有时强调统一，有时强调变化，综合起来，就是在统一中求变化，在变化中求统一。
单音是音乐中最小的“细胞”，一个个单音按水平方向连结成为旋律、节奏，按垂直方向纵合成为和弦，和声。
乐段（一段体）是表达完整乐思的最小结构单位。
数字2
巴洛克、古典、浪漫派音乐使用大小调调式体系，形成音阶与和声学的二元论（dualistictheory）。
数字3
三个音按三度音程叠置成为各种各弦。
三和弦是最常用的和声建筑材料。
爱因斯坦认为不管是音乐家还是科学家都有一个强烈的愿望，“总想以最适合的方式来画出一幅简化的和易于领悟的世界图像。
”
数字4
人声天然地划分为四个声部，任何复杂的多声部音乐作品都可以规范为四部和声。
我们平时所弹奏的钢琴作品的曲式结构，大多数都是“古典四方体”方整结构，即4+4+4+4……，4小节为一乐句，8小节为一乐段。
数字5
五度相生律（毕达哥拉斯律）及五度循环揭示了乐音组织的奥秘，而和声五度关系法则是构筑和声大厦的基石。
数字6
六和弦、六声音阶、一个八度之内有六个全音，常用的调是主调及其五个近关系副调。
数字7
更显神秘莫测，常用的七声音阶由七个音级组成，巴洛克时期以前采用中古教会七种调式，19世纪民族乐派之后中古教会七声调式部分地得到复兴。
数字0
除去数字1-7之外，音乐中数字0是不可或缺的音符。
在数学中，0表示什么都没有，而在音乐中，0表示停止所有的声音，给人一个想象和会问的空间，增添了抑扬顿挫的美感。
所谓的“别有忧愁暗恨生，此时无声胜有声”！
数字8
在记谱时，为了方便同样的旋律平移8度之后来演奏，会给人耳目一新的感觉，在表现灵动或者说低沉是不可或缺，所以不管在简谱还是五线谱中，数字8都有很广泛的应用。
2.2音阶中的数学原理
学习音乐总是从音阶开始，我们常见的音阶有7个基本音组成：
1
2
3
4
5
6
7
音
do
re
mi
fa
so
la
si
唱名
C
D
E
F
G
A
B
音名
用7个音以及比它们高一个或几个八度的音，低一个或几个八度的音组成各种组合就是“曲调”。
7声音阶按“高度”自低向高排列，要搞清音阶原理，知道什么是“音高”，音与音之间的“高度差”是多少。
2.2.1音高
振动的快慢在物理学上用频率表示，频率定义为每秒钟物体振动的次数，用每秒振动1次作为频率的单位称为赫兹。
频率为261.63赫兹的音在音乐里用字母c1表示。
相应地音阶表示为
c,d,e,f,g,a,b
在将C音唱成“do”时称为C调。
频率过高或过低的声音人耳不能感知或感觉不舒服，音乐中常使用的频率范围大约是16~4000赫兹，而人声及器乐中最富于表现力的频率范围大约是60~1000赫兹。
在弦乐器上拨动一根空弦，它发出某个频率的声音，如果要求你唱出这个音你怎能知道你的声带振动频率与空弦振动频率完全相等呢？
这就需要“共鸣原理”：
当两种振动的频率相等时合成的效果得到最大的加强而没有丝毫的减弱。
因此你应当通过体验与感悟去调整你的声带振动频率使声带振动与空弦振动发生共鸣，此时声带振动频率等于空弦振动频率。
人们很早就发现，一根空弦所发出的声音与同一根空弦但长度减半后发出的声音有非常和谐的效果，或者说接近于“共鸣”，后来这两个音被称为具有八度音的关系。
我们可以用“如影随形”来形容一对八度音，除非两音频率完全相等的情形，八度音是在听觉和谐方面关系最密切的音。
18世纪初英国数学家泰勒（Taylor，1685-1731）获得弦振动频率f的计算公式：
l表示弦的长度、T表示弦的张紧程度、ρ表示弦的密度。
2.2.2高度差子
假定一根空弦发出的音是do，则二分之一长度的弦发出高八度的do；
8/9长度的弦发出re，64/81长度的弦发出mi，3/4长度的弦发出fa，2/3长度的弦发出so，16/27长度的弦发出la，128/243长度的弦发出si等等类推。
例如高八度的so应由2/3长度的弦的一半就是1/3长度的弦发出。
为了方便将c音的频率算作一个单位，高八度的c音的频率就是两个单位，而re音的频率是9/8个单位，将音名与各自的频率列成下表：
表1
音名
C
D
E
F
G
A
频率
1
9/8
81/64
4/3
3/2
27/16
243/128
2
知道了do,re,mi,fa,so,la,si的数字关系之后，新的问题是为什么要用具有这些频率的音来构成音阶？
实际上首先更应回答的问题是为什么要用7个音来构成音阶？
这可是一个千古之谜，由于无法从逝去的历史进行考证，古今中外便有各种各样的推断、臆测，例如西方文化的一种说法基于“7”这个数字的神秘色彩，认为运行于天穹的7大行星（这是在只知道有7个行星的年代）发出不同的声音组成音阶。
我们将从数学上揭开谜底。
我们用不同的音组合成曲调，当然要考虑这些音放在一起是不是很和谐，前面已谈到八度音是在听觉和谐效果上关系最密切的音，但是仅用八度音不能构成动听的曲调──至少它们太少了，例如在音乐频率范围内c1与c1的八度音只有如下的8个：
C2（16.35赫兹）、C1（32.7赫兹）、C（65.4赫兹）、c（130.8赫兹）、c1（261.6赫兹）、c2（523.2赫兹）、c3（1046.4赫兹）、c4（2092.8赫兹），对于人声就只有C、c、c1、c2这4个音了。
为了产生新的和谐音，回顾一下前面说的一对八度音和谐的理由是近似于共鸣。
数学理论告诉我们：
每个音都可分解为由一次谐波与一系列整数倍频率谐波的叠加。
仍然假定c的频率是1，那么它分解为频率为1，2，4，8，…的谐波的叠加，高八度的c音的频率是2，它分解为频率为2，4，8，16，…的谐波的叠加，这两列谐波的频率几乎相同，这是一对八度音近似于共鸣的数学解释。
由此可推出一个原理：
两音的频率比若是简单的整数关系则两音具有和谐的关系，因为每个音都可分解为由一次谐波与一系列整数倍谐波的叠加，两音的频率比愈是简单的整数关系意味着对应的两个谐波列含有相同频率的谐波愈多。
次于2∶1的简单整数比是3∶2。
试一试，一根空弦发出的音（假定是表1的C，且作为do）与2/3长度的弦发出的音无论先后奏出或同时奏出其效果都很和谐。
可以推想当古人发现这一现象时一定非常兴奋，事实上我们比古人更有理由兴奋，因为我们明白了其中的数学道理。
接下来，奏出3/2长度弦发出的音也是和谐的。
它的频率是C频率的2/3，已经低于C音的频率，为了便于在八度内考察，用它的高八度音即频率是C的4/3的音代替。
很显然我们已经得到了表1中的G（so）与F（fa）。
问题是我们并不能这样一直做下去，否则得到的将是无数多音而不是7个音！
如果从C开始依次用频率比3∶2制出新的音，在某一次新的音恰好是C的高若干个八度音，那么再往后就不会产生新的音了。
很可惜，数学可以证明这是不可能的，因为没有自然数m、n会使下式成立：
（3/2）m=2n
此时，理性思维的自然发展是可不可以成立近似等式？
经过计算有（3/2）5=7.594≈23=8，因此认为与1之比是3/2即高三个八度关系算作是同一音，而（3/2）6与（3/2）1之比也是23即高三个八度关系等等也算作是同一音。
在“八度相同”的意义上说，总共只有5个音，他们的频率是：
1,（3/2）,（3/2）2,（3/2）3,（3/2）4
折合到八度之内就是：
1,9/8,81/64,3/2,27/16
对照表1知道这5个音是C（do）、D（re）、E（mi）、G（so）、A（la），这是所谓五声音阶，它在世界各民族的音乐文化中用得不是很广，中国古代名曲《春江花月夜》、《梅花三弄》等绝大部分名曲都是五声音阶。
2.3音律的产生发展与数学的关系
根据（3/2）7=17.09≈24=16，总共应由7个音组成音阶，我们在上一节的基础上用3∶2的频率比上行一次、下行一次得到由7个音组成的音列，其频率是
（2/3）,1,（3/2）,（3/2）2,（3/2）3,（3/2）4,（3/2）5
1,8/9,64/81,3/4,2/3,16/27,128/243
得到常见的五度律七声音阶大调式如表一。
考察一下音阶中相邻两音的频率之比，通过计算知道只有两种情况：
do-re、re-mi、fa-so、so-la、la-si频率之比是9∶8，称为全音关系；
mi-fa、si-do频率之比是256∶243，称为半音关系。
以2∶1与3∶2的频率比关系产生和谐音的法则称为五度律。
在中国，五度律最早的文字记载见于典籍《管子》的《地员篇》，由于《管子》的成书时间跨度很大，学术界一般认为五度律产生于公元前7世纪至公元前3世纪。
西方学者认为是公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派最早提出了五度律。
根据近似等式（3/2）12=129.7≈27=128并仿照以上方法又可制出五度律十二声音阶如下：
表2
#C
#D
#F
（37）/（211）
（32）/（23）
（39）/（214）
（34）/（26）
（22）/（3）
（36）/（29）
#G
#A
（38）/（212）
（33）/（24）
（310）/（215）
（35）/（27）
五度律十二声音阶相邻两音的频率之比有两种：
256∶243与2187∶2048，分别称为自然半音与变化半音。
从表中可看到，音名不同的两音例如#C-D的关系是自然半音，音名相同的两音例如C-#C的关系是变化半音。
五度律以外的形形色色的乐律中应用最广的是十二平均律与纯律。
十二平均律──人们注意到五度律十二声音阶中的两种半音相差不大，如果消除这种差别对于键盘乐器的转调将是十分方便的，因为键盘乐器的每个键的音高是固定的，而不象拨弦或拉弦乐器的音高由手指位置决定。
消除两种半音差别的办法是使相邻各音频率之比相等，这是一道中学生的数学题──在1与2之间插入11个数使它们组成等比数列，显然其公比就是，并且有如下的不等式
1.05350=256/243＜
=1.05946＜2187/2048=1.06787
这样获得的是十二平均律，它的任何相邻两音频率之比都是
，没有自然半音与变化半音之分。
用十二平均律构成的七声音阶如下：
表3
B
频率
（
）2
）4
）5
）7
）9
）11
在西方，巴赫是首先提出十二平均律的，即将C-c一个八度平均分成十二隔音，这就是为什么钢琴键盘声总是以七个白键，五个黑键作为一组：
7+5=12
2.4节拍与分数
在乐谱中节拍一般用一个固定的音符来代表，这个音符可以是二分音符、四分音符、八分音符甚至是十六分音符。
我们称这个固定的音符为拍子，也就是说：
一个音可以以二分音符为一拍，也可以以四分音符、八分音符甚至是十六分音符为一拍。
拍子以分数的形式来表示。
这个分数形式我们称之为拍号。
拍号一般在五线谱谱号的后面。
分子表示每小节拍子的数量，而分母表示单位音符的时值长度，即以几分音符为一拍。
例：
3/4以四分音符为一拍，每小节三拍。
我们规定一个全音符=两个二分音符=四个四分音符
即：
1=2/2=4/4=1/4+1/4+1/4+1/4
一个四分音符=两个八分音符
1/4=1/8+1/8
总的可以表示为：
1=2/2=4/4=1/4+1/4+1/4+1/4=2*（1/8）=4*（1/16）*4
3数学知识在音乐中的综合运用
除了第二章中所述的数学与音乐理论的关系之外，数学知识在音乐中有很多的综合运用，如指数曲线，周期函数等等。
这里我们先介绍一种简单的运用。
3.1音乐中的数学变换
数学中存在着平移变换,音乐中是否也存在着平移变换[2]呢?
我们可以通过图2的两个音乐小节[1]来寻找答案.显然可以把第一个小节中的音符平移到第二个小节中去,就出现了音乐中的平移,这实际上就是音乐中的反复.把图2的两个音节移到直角坐标系中,那么就表现为图3.显然,这正是数学中的平移.我们知道作曲者创作音乐作品的目的在于想淋漓尽致地抒发自己内心情感,可是内心情感的抒发是通过整个乐曲来表达的,并在主题处得到升华,而音乐的主题有时正是以某种形式的反复出现的.比如,图4就是西方乐曲WhentheSaintsGoMarchingIn的主题[2],显然,这首乐曲的主题就可以看作是通过平移得到的。
此外，在音乐作品当中的转调（移调）也是一种很普遍的方式，将一首曲子全曲或者某个部分整体上行或者下行几度变成另一个调性的曲子，在音乐中可以给人一种耳目一新的层次感。
这也是好多作曲家管用的手法，其实质就是将曲子整体的平移几度而已。
如果我们把五线谱中的一条适当的横线作为时间轴（横轴x）,与时间轴垂直的直线作为音高轴（纵轴y）,那么我们就在五线谱中建立了时间-音高的平面直角坐标系.于是,图4中一系列的反复或者平移,就可以用函数,,近似地表示出来[2],如图5所示,其中x是时间,y是音高.当然我们也可以在时间-音高的平面直角坐标系中用函数把图2中的两个音节近似地表示出来.
在这里我们需要提及十九世纪的一位著名的数学家,他就是约瑟夫.傅里叶（JosephFourier）,正是他的努力使人们对乐声性质的认识达到了顶峰.他证明了所有的乐声,不管是器乐还是声乐,都可以用数学式来表达和描述,而且证明了这些数学式是简单的周期正弦函数的和[2]。
音乐中不仅仅只出现平移变换,可能会出现其他的变换及其组合,比如反射变换等等.图6的两个音节就是音乐中的反射变换[3].如果我们仍从数学的角度来考虑,把这些音符放进坐标系中,那么它在数学中的表现就是我们常见的反射变换,如图7所示.同样我们也可以在时间-音高直角坐标系中把这两个音节用函数近似地表示出来.
通过以上分析可知,一首乐曲就有可能是对一些基本曲段进行各种数学变换的结果
3.2数列与音乐
看一下乐器之王———钢琴的键盘吧,其上也恰好与斐波那契数列[4]有关.我们知道在钢琴的键盘上,从一个C键到下一个C键就是音乐中的一个八度音程（如图1）.其中共包括13个键,有8个白键和5个黑键,而5个黑键分成2组,一组有2个黑键,一组有3个黑键.2、3、5、8、13恰好就是著名的斐波那契数列中的前几个数。
如果说斐波那契数在钢琴键上的出现是一种巧合,那么等比数列在音乐中的出现就决非偶然了:
1、2、3、4、5、6、7、i等音阶就是利用等比数列规定的.
再来看图1,显然这个八度音程被黑键和白键分成了12个半音,并且我们知道下一个C键发出乐音的振动次数（即频率）是第一个C键振动次数的2倍,因为用2来分割,所以这个划分是按照等比数列而作出的.我们容易求出分割比x,显然x满足x^（12）=2,解这个方程可得x是个无理数,大约是0.1106。
于是我们说某个半音的音高是那个音的音高的0.1106倍,而全音的音高是那个音的音高0.1106*2倍.实际上,在吉它中也存在着同样的等比数列[4]。
3.3黄金分割在音乐中的应用
菲波那齐数列在音乐中得到普遍的
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