机械优化设计备课笔记1复习课程.docx
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机械优化设计备课笔记1复习课程
《机械优化设计》备课笔记
第一章优化设计总论
§１－０机械优化设计概述
一、机械优化设计：
作为一位工程师，在进行一项工程或产品设计时，总希望所设计的方案是一切可行方案中最优的设计方案，使所设计的工程或产品具有最好的使用性能、最低的材料消耗和制造成本、以获得最佳的经济效益。
这并不是一个新的课题。
自古以来，慎重的设计者在进行一项工程设计或产品设计时，常常要先拟定出几个不同的设计方案，通过分析对比，从中挑选出“最优”设计。
但是由于设计者的时间和精力的限值，使所拟定的设计方案的数目受到很大的限制。
因此，采用这种常规的设计手段进行工程设计，特别是当影响设计的因素很多时，就很难得到“最佳的设计方案”。
“优化设计”是在现代计算机广泛应用的基础上，发展起来的一门新型的设计方法。
它是根据最优化原理和方法，综合诸多影响的因素，以人机配合的方式或“自动探索的”方式，在计算机上进行自动化或半自动化的设计，以选出在现有工程条件许可下最好的设计方案。
这种设计是最优设计；设计手段是计算机和源程序，设计方法是采用最优化数学方法。
现代化的设计工作已不再是过去凭经验和直观判断来确定产品的结构方案，也不象过去用“安全寿命可行设计”方法那样：
在满足所提出的要求前提下，先确定产品结构方案，再根据安全寿命准则，对该方案进行强度、刚度等分析、计算，然后进行修改，以确定产品主要参数和结构尺寸。
而是借助电子计算机，应用一些精确度较高的力学数值分析方法（如有限元等），进行分析计算，并从大量的可行设计方案中，寻找出一种最优的设计方案，从而实现用理论设计代替经验设计，用精确计算代替近似计算、用优化设计代替一般安全寿命可行设计。
优化设计方法在机械设计中的应用，既可以使方案在规定的设计条件下达到某些最优化的结果，又不必耗费过多的计算工作量。
因此，产品结构、生产工艺的优化已成为市场竞争的必不可少的一种手段。
例如，据有关资料介绍，美国的一家化学公司，利用了一个化工优化系统的设计手段，对一个化工厂进行设计。
根据所给定的数据，在16小时内，进行了一万六千个可行设计的选择，从中选出一个成本最低、产量最大的设计方案，并给出了必要的精确数据。
而在这之前，这家化学公司曾经用了一组工程师对该化工厂进行设计，工作了一年仅做出了三个设计方案，而这三个方案没有一个可以和上述优化方案相比。
又如，美国贝尔飞机制造公司，采用优化方法解决了450设计变量的大型结构优化问题。
在对飞机机翼进行重新设计后，减轻重量达到30%。
波音公司也有类似的情况，在对波音747机身的重新设计后，受到减轻重量、缩短生产周期、降低成本的效果。
在我国武汉钢铁公司所引进的1700型薄板轧钢机是从德国DMAG公司提供的。
该钢铁公司的技术人员对引进设备进行优化改造后，每年就多盈利了几百万马克。
优化方法不仅用于产品的结构设计、工艺方案的选择，也适用于运输线路的确定、商品流通的调配，产品配方的配比等。
目前优化设计以在机械、冶金、石油化工、电机、建筑、宇航、造船、轻工纺织等部门都得到了广泛应用。
二、机械优化设计发展概况：
在第二次设计大战期间，由于军事上的需要，产生了运筹学，它解决了许多用古典微积分和变分方法所不能解决的优化问题。
50年代发展起来的数学规划理论形成了应用数学的一个分支，为优化设计奠定了理论基础。
60年代电子计算机和计算技术的发展为优化设计提供了强有力的计算手段，使工程技术人员能从大量繁琐的计算中解放出来，把主要精力转到优化方法选择上来。
虽然近30多年来，优化方法已在许多工业部门得到广泛应用，但优化技术成功地应用于机械设计还是从60年代后期开始的。
尽管发展的历史较短，但进展速度十分迅速，几十年来在机构综合，机械零部件的设计、专用机械设计和工艺等方面都获得了广泛的应用，并取得了卓有成效的成果。
三、本课程的主要内容：
机械优化设计工作，包括以下三个方面的内容：
1、建立优化设计数学模型，即将一个工程实际问题抽象成为优化设计的数学模型；
2、根据数学模型的特点，选择合适的优化方法，并编写出源程序；
3、在计算机上进行优化设计求解，以求出最佳的设计方案。
由于机械优化设计是利用数学方法寻求机械设计的最优方案，所以，首先要根据实际的机械设计问题，建立起优化问题的数学模型，即用数学形式来描述工程实际的设计问题。
在建立数学模型时，需要应用专业知识来确定设计变量、设计所追求的目标和设计的限制条件，以确定各设计变量之间的相互关系。
一旦数学模型建立以后，优化设计问题将变成一个数学求解问题。
应用数学规划的理论，根据数学模型的特点，可以选择适当的优化方法，径而可选取和自编计算机源程序，在计算机上进行求解，以获得最佳的设计参数。
§１－１ 机械设计中的优化问题
首先，介绍下面一个简单的例子。
例题：
试设计一个容积为355厘米３的易拉罐盒。
根据手掌的大小要求易拉罐的直径Ｄ：
４厘米≤Ｄ≤７厘米。
按用料最省（易拉罐盒的表面积最小）作为衡量设计方案优劣程度的指标，即设计追求的目标，确定其高度ｈ和直径ｄ。
解：
易拉罐盒的表面积：
我们可以按易拉罐盒的表面积来表示其用料量，以表面积为最小作为衡量设计方案优劣程度的指标，即设计追求的目标，表面积越小，所代表的设计方案也就越好。
要确定易拉罐的高度h和直径d，使易拉罐表面积为最小，同时又必须满足下述条件：
易拉罐的容积：
V＝πｄ2ｈ／4＝355；
易拉罐的直径：
４≤Ｄ≤７，
易拉罐的高度ｈ＞０
的条件。
由此，我们可以用下述数学形式来描述上述设计问题：
取设计变量：
目标函数：
要求满足的条件：
ｇ１（ｘ）＝ｘ１≥０
ｇ２（ｘ）＝ｘ２－４≥０
ｇ３（ｘ）＝７－ｘ２≥０
ｇ４（ｘ）＝πｘ２２ｘ１／４－355
下面我们再以双级圆柱齿轮减速器的优化设计为例，来进一步认识优化设计中的一些问题。
双级圆柱齿轮减速器是应用极为广泛的通用部件之一。
通常它的设计方法是：
根据给定传递的功率P、输出轴的转速n、总传动比u及寿命要求等原始数据，参照所推荐规范或用经验类比预先选择若干参数，然后按照强度、刚度、寿命以及其他方面的要求进行必要的计算，再确定或验算某些参数和尺寸，如果经计算后发现某些参数选择不合理，再作适当的修改，直到比较合理为止。
按照这样的传统设计方法，每一个设计者会设计出不同的减速器方案。
这是因为在设计过程中，许多参数的选择往往是由设计者按一定的经验或用类比法来确定，带有一定程度的随意性。
例如传动比的分配、齿数、螺旋角、齿宽等参数大多数是按设计资料的推荐值由设计者在一定范围内自定。
所以这样设计出来的各种减速器虽然一般都可以使用，但他们的优劣程度不同。
如果要想获得一个较好的方案，就需要多取几种不同组合的参数进行计算，再做比较来选择其中最优者。
这样的设计方法不仅使设计人员要消耗大量的精力和时间用于重复性的繁琐计算，而且由于人力和时间的限制仍然不可能取得最优的设计方案。
下面我们把双级圆柱齿轮减速器的设计问题描述成一个优化设计的问题。
在进行优化设计之前，首先应该提出一个评价设计方案优劣程度的衡量标准。
对于减速器来说，我们总是希望在传递一定功率、转述和满足寿命的要求下，使两级圆柱齿轮的体积和达到最小，以便使减速器的整个体积和重量为最小，如图2－1所示。
两级圆柱齿轮减速器中齿轮体积总和：
式（1－1）
设计的目标是希望两级圆柱齿轮体积和达到最小值。
由式（1－1）可知，影响齿轮体积和Ｖ的独立参数有：
ｍnⅠ、Ｚ１、ｂⅠ、βⅠ、ｕⅠ、ｍnⅡ、Ｚ3、bⅡ、βⅡ，其中ｕⅡ不能作为独立的参数。
这是因为：
两级齿轮传动的传动比之间存在着如下相互依赖的关系：
ｕ总＝ｕⅠｕⅡ
当总传动比ｕ总为给定值时，若取ｕⅠ为独立参数时，则ｕⅡ就不是一个独立的参数。
在双级圆柱齿轮减速器的优化设计中，我们需要恰当地选择上述九个独立的参数，使双级圆柱齿轮体积和达到最小。
这些独立的设计参数称为设计变量。
在选择上述各参数是，还必须考虑以下几个方面的条件限制。
（１）例如高速级齿轮齿面接触疲劳强度和齿根弯曲疲劳强度的限制。
低速级齿轮齿面接触疲劳强度和齿根弯曲疲劳强度的限制。
式中：
Ｔ１、Ｔ２分别表示作用在两对啮合副小齿轮上的转矩；φdⅠ、φdⅡ分别表示第一对齿轮和第二对齿轮的齿宽系数；[σ]H齿轮齿面的接触许用应力；对于斜齿圆柱齿轮传动，其齿面接触许用应力为：
[σ]H＝（[σ]H1+[σ]H2）／2；[σ]F为齿轮的齿根弯曲疲劳许用应力，啮合副中按两轮（ＹFaＹSa／[σ]F）之较大者计算。
其他参数的意义已在机械设计课程中已介绍过。
（２）避免结构干涉的限制：
ａⅡ－0.5ｄa2≥Ｓ
（３）传动比分配的合理要求：
在设计两级圆柱齿轮减速器时，为了使两对齿轮得到充分润滑，还必须将两大齿轮侵入到箱体的油池中，并且尽可能使两大齿轮的直径大致相等，以获得合理的浸油高度。
在分配两级传动比时，需要满足下述限制条件：
ｕⅠ＝（1.3～1.4）ｕⅡ，ｕ总＝ｕⅠｕⅡ即ｕⅡ＝ｕ总／ｕⅠ
或写成：
即：
（１－７）
此外，考虑到机构之间的合理性及一般工艺条件等方面的因素，对某些参数给出一定的选择范围：
２≤ｍn≤10（1－8）；17≤Ｚ≤120（1－9）；
ｕⅠ≤6（1－10）；8°≤β≤15°（1－11）
上述各种条件限制，是对设计参数选择所提出的约束条件。
通过上述分析，我们可以把双级圆柱齿轮减速器的优化设计问题叙述为：
求解一组设计参数（我们把这组设计参数称为设计变量）：
ｘ＝［ｍnⅠ、Ｚ１、ｂⅠ、βⅠ、ｕⅠ、ｍnⅡ、Ｚ3、bⅡ、βⅡ］T
在满足式（1－2）～式（1－11）诸不等式的限制（约束）条件下，使式（1－1）所表达的两对齿轮体积和达到最小。
应用优化方法来解决上述优化问题时，就能够有目的的选取一组最优的设计参数，以达到预期追求的设计最佳效果。
通过上述两个例子我们可以看出：
将一般机械设计问题描述成为一个优化设计问题时，总包含以下三个部分的内容：
一是需要求解的一组独立参数；我们把这些参数作为变量来处理，称为设计变量；二是有一个明确的追求目标，这个目标又可以用设计变量来表达成为某函数关系，称为目标函数；三是若干个必须满足的限制条件，设计变量的选择必须满足这些限制条件。
这些对设计变量选取的限制条件称为设计约束。
按照具体机械设计问题拟定的设计变量、目标函数和设计约束的总体，就组成了优化设计的数学模型。
§１－２ 数学模型的几个基本问题
把一个工程实际问题描述成一个优化设计问题时，其数学模型包括三个内容：
设计变量、目标函数和设计约束。
一、设计变量
每一项工程设计或产品设计总包含着许许多多不同的设计参数。
在确定设计参数时可用一组参数的数值来表示。
这些参数中，有一部分参数可以根据实际的具体情况和比较成熟的经验预先确定，他们在设计过程中始终保持不变，这部分的参数称为设计常量，例如，一般把与材料有关的弹性模量、许用应力等参数作为实际常量来处理。
另一些参数与其他参数之间存在着一定的相互依赖关系，他们虽然是变量，但并非是独立的变量，例如双级圆柱齿轮减速器优化设计中，当总传动比ｕ总给定时，高速级和低速级传动比之间就存在着这样相互依赖关系：
ｕ总＝ｕⅠｕⅡ。
如果高速级传动比ｕⅠ作为独立变量，那么低速级传动比ｕⅡ就是非独立的设计变量。
在优化设计中，我们把那些需要优选的，并作为变量来处理的一组独立的参数称为设计变量。
设计变量可以用这些设计参数组成的列矩阵来表示，记作为：
。
例如在双级圆柱齿轮减速器的优化设计中，设计变量可以表达为；
ｘ＝［ｘ1ｘ2ｘ3ｘ4ｘ5ｘ6ｘ7ｘ8ｘ9］T
＝［ｍnⅠ、Ｚ１、ｂⅠ、βⅠ、ｕⅠ、ｍnⅡ、Ｚ3、bⅡ、βⅡ］T
因此，在以变量ｘ1ｘ2．．．．．ｘｎ为坐标轴的多维空间内，设计变量ｘ将对应着一个以坐标原点为始点的矢量，该矢量称为设计矢量；而设计矢量端点的坐标就是设计变量中各分量的数值。
设计变量的一组数值表示着一个设计方案，它与设计矢量的端点相对应，这个端点称为设计点。
因此，设计矢量和设计点是一对应的，都表示着一个设计方案，是设计变量中的一组设计参数的数值。
设计变量内含有变量的数目称为该优化问题的维数。
在上述双级圆柱齿轮减速器优化设计中有九个变量，因而它是一个九维的优化设计问题。
设计点的集合称为设计空间。
由于工程设计中的变量都属于实数，所以设计空间是以设计变量中各分量为坐标轴所组成的实欧氏空间。
如果用符号Ｒn来表示ｎ维实欧氏空间，可以用集合的概念写出：
设计矢量（或设计点）ｘ∈Ｒn（符号∈表示“属于”，即设计变量ｘ属于ｎ维实欧氏空间内的设计矢量或设计点）
对于二维优化设计问题，设计域是一个设计平面域，每个设计方案都可以用平面上的每一个点的两个坐标值来对应表式。
对于三维优化设计问题，则设计域是一个三维欧氏空间，空间内的每一个点可用三个坐标分量ｘ1、ｘ2、ｘ3值来表示，这些坐标点对应着一个设计方案。
当优化问题的维数ｎ大于三维时，ｎ维欧氏设计空间只能被想象成一个抽象的超越欧氏空间，在这个超越欧氏空间内每个设计点与ｎ个变量的值相对应，都表示一种设计方案。
设计变量有连续量和离散量之分。
如果变量取任何连续数值时均有意义，这种变量称为连续变量。
如果变量只能取间断跳跃的数值才有意义，它就是离散变量。
例如在机械设计中，齿轮齿数必须取整数，齿轮的摸数、螺纹的公称直径、轴承的孔径等必须符合国家标准，显然这些变量都属于离散变量。
二、目标函数
１、当我们对一个实际工程问题进行优化设计时，为了评价设计方案的优劣程度，需要制订出一个衡量的标准。
如果这个衡量标准可以用设计变量来表达成为数学函数关系，那么对这个数学函数进行求优，便可得到设计变量的最优解，即一个最优设计方案。
在优化设计中，用来评价设计方案优劣程度、并能够用设计变量所表达成函数，称为目标函数，其数学表达形式为：
Ｆ（ｘ）＝Ｆ（ｘ1ｘ2．．．．．ｘｎ）
２、在一般情况下，我们总是追求目标函数的极小值，即目标函数值越小，设计方案就越好。
但是某些实际问题中也可能追求目标函数的极大值。
例如追求效率最高，承载能力最大等。
由于求目标函数极大化的问题等价于求目标函数负的极小化的问题，即：
maxＦ（ｘ）＝min［－Ｆ（ｘ）］
因此，为了简化算法和程序起见，我们一律把优化过程看成是追求目标函数极小化的过程，其一般形式为：
minＦ（ｘ）＝Ｆ（ｘ1*ｘ2*．．．．．ｘｎ*）
３、目标函数有单目标函数和多目标函数之分。
仅根据一项设计准则建立的目标函数称为单目标函数；若某项设计需要同时兼顾若干个设计准则，这就将构成多目标函数。
例如，在设计一台机器时，有可能同时需要追求：
整个机器的重量为最轻；制造成本最低；维修费用最少；能耗最小等。
一般来说：
目标函数越多，计算结果也就越趋于完善，但其难度也就越大。
关于多目标函数的优化设计问题，将在本教材的第六章中给予讨论。
三、设计约束
在工程设计中，设计变量的选择，一般总要受到某些条件的限制。
这些限制设计变量取值的条件称为设计约束。
1、设计约束按其形式来分，可分为不等式约束和等式约束两大类，其一般表达式为：
不等式约：
ｇu（ｘ）≥0，ｕ＝1、2、．．．、ｐ；
等式约：
ｈv（ｘ）＝0，ｖ＝1、2、．．．、q
式中，ｇu（ｘ）和ｈv（ｘ）都是设计变量的函数，称为约束函数。
在机械设计中，绝大多数的设计约束为不等式约束，但是有时也会遇到等式约束问题。
例如，在我们介绍的第一个例子易拉罐盒优化设计中，由容积为355厘米３的设计要求可得到等式约束条件：
易拉罐的容积：
V＝πｄ2ｈ／4＝355；
即：
ｇ４（ｘ）＝πｘ２２ｘ１／４－355＝0
此约束条件限制了易拉罐盒的高度ｈ和直径ｄ取值。
2、按照设计约束的性质分，又有性能约束和边界约束两类。
所谓性能约束是指由设计产品时提出的性能要求而制定的约束，例如在双级圆柱齿轮减速器优化设计中由强度条件、不干涉条件等构成的约束就属于性能约束；再如在设计曲柄摇杆机构时，要求各杆的长度满足曲柄存在的条件。
为了保证所设计的机构具有良好的传力效果，要求机构的传动角γ≥[γ]等。
边界约束是指对某些设计变量的取值范围的限制。
例如，在设计连杆机构时，各杆件的长度必须大于零，最长杆件也不能超过某个值。
再如在设计一般传动用的齿轮时，其模数和齿数等都给出了他们的上下界限。
3、带有约束条件的优化问题成为约束优化问题；反之，则为无约束优化问题。
在机械优化设计实际问题中，绝大多数的优化问题都属于约束优化问题。
对于约束优化问题，如果讨论的是一般ｎ维优化问题，设计点ｘ在ｎ维欧氏空间Ｒn内的集合，即设计空间可以分为两部分；一部分是满足全部设计约束的点的集合Ｄ，即：
Ｄ＝｛ｘ│ｇu（ｘ）≥0，ｕ＝1、2、．．．、ｐ；ｈv（ｘ）＝0，ｖ＝1、2、．．．、q｝
称为可行设计域，简称为可行域；其余部分则为非可行域。
在可行域内的设计点称为可行设计点；简称为可行点；否则为非可行点。
当设计点处于不等式约束边界上时，称为边界设计点；边界设计点属于可行设计点，它是约束所允许的极限设计点。
四、数学模型表达式
无约束优化问题数学模型的一般表达形式为：
minＦ（x）
x∈Ｒn
约束数优化问题的数学模型一般表达形式为：
minＦ（x）
x∈Ｄ Ｒn
Ｄ：
ｇu（ｘ）≥0，ｕ＝1、2、．．．、ｐ；
ｈv（ｘ）＝0，ｖ＝1、2、．．．、q
式中，Ｄ表示由ｐ个不等式约束和q个等式约束所确定的可行域，它是ｎ维欧氏空间Ｒn内的一个子集。
符号∈的含义为“属于”；符号 的含义为“包含于”，为．．．．．子集。
在上述数学模型一般表达是中，若目标函数Ｆ（x）和约束函数ｇu（ｘ）、ｈv（ｘ）均为设计变量的线性函数，则这种优化问题属线性规划问题；否则属于非线性规划问题。
在机械设计中，绝大多数的优化问题均属于非线性规划问题。
选取适当优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可以得出设计变量的一组最优解，记作：
ｘ*＝[x1*，x2*，x3*，．．．．，xｎ*]T
使该设计点的标函数Ｆ（x*）为最小，点x*称为最优点（极小点），它代表了一个最优方案。
相应的目标函数Ｆ（x*）称为最优值（极小值）。
一个优化问题的最优解包着最优点（极小点）和最优值（极小值）。
我们把最优点和最优值的总和通称为最优解。
对于一个具体的优化问题，可以参照上面的一般表达式写出其具体的数学模型。
例如在双级圆柱齿轮减速器的优化设计中、其数学模型的表达形式如下（见新教材192页或第二版教材8页）：
１、设计变量：
在两级圆柱齿轮减速器的总传动ｕ总为给定常数时，若取第一对齿轮传动的传动比ｕⅠ为独立变量的话，则第二对齿轮传动的传动比ｕⅡ不能作为独立变量。
在优化设计中，有时为了使优化问题得到简化，将减少设计变量的维数ｎ。
若取第一对齿轮传动和第二对齿轮传动的齿宽系数φd1、φd2为给定常数时，则由于齿宽ｂ1、ｂ2与齿宽系数φd1、φd2有如下关系：
故齿宽ｂ1、ｂ2在齿宽系数φd1、φd2为给定常数时也不能作为独立变量。
因此，在两级圆柱齿轮减速器优化设计中，我们可以取ｍnⅠ、Ｚ１、βⅠ、ｕⅠ、ｍnⅡ、Ｚ3、βⅡ为独立的参数，由这些参数可构成如下设计变量：
ｘ＝［ｍnⅠ、Ｚ１、βⅠ、ｕⅠ、ｍnⅡ、Ｚ3、βⅡ］T
＝［ｘ1ｘ2ｘ3ｘ4ｘ5ｘ6ｘ7］T
２、目标函数：
将设计变量代入上式，并整理得：
３、约束条件：
第一部份，高速级和低速级齿轮分别满足齿面接触疲劳强度和齿根弯曲疲劳强度，将设计变量代入，并整理得：
第二部分，按结构及传动比要求，将：
代入式：
ａⅡ－0.5ｄa2≥Ｓ得：
由式：
得：
ｇ6（ｘ）＝ｘ4－ 1.3ｕ≥０
ｇ7（ｘ）＝ 1.4ｕ—ｘ4≥０
第三部分，几个参数取值范围的限制：
ｇ８（x）＝x1－2≥０
ｇ11（x）＝10—x5≥０
ｇ14（x）＝x6—17≥０
ｇ17（x）＝15π/180—x3≥０
ｇ20（x）＝x7—8π/180≥０
ｇ９（x）＝10—x1≥０
ｇ12（x）＝x2—17≥０
ｇ15（x）＝120—x6≥０
ｇ18（x）＝x3—8π/180≥０
ｇ10（x）＝x5—2≥０
ｇ13（x）＝120—x2≥０
ｇ16（x）＝6—x4≥０
ｇ19（x）＝15π/180—x7≥０
上述优化问题是一个具有7个设计变量和20个不等式约束的7维非线性规划问题。
§１—３ 优化问题的几何描述
优化设计数学模型包含着设计变量、目标函数及约束条件等内容。
通过对优化数学模型的求解从而可求得最优解，即最优设计方案。
为了形象地说明优化问题的一些基本概念，下面再对优化问题作必要的几何描述。
在研究ｎ维优化问题中，可以建立ｎ＋１维坐标系，其中ｎ个坐标代表着ｎ维设计变量，另一个坐标代表其目标函数值。
这样，目标函数在此坐标系中形成一个超曲面。
为了更直观说明问题，下面以二维优化问题为例，来说明优化问题中的几何概念。
设有二维优化问题的数学模型为：
＝（x1—2）2＋x22
可以用图1.9的几何图形来说明优化问题的几个基本概念。
一、目标函数的等值线
图1.9（a）是在x1x2F坐标系中，表示出目标函数F（ｘ）空间曲面的立体图形、约束函数ｇ1（x）、ｇ2（x）、ｇ3（x）的三个柱面，以及这些曲面之间的相互关系。
图1.9（b）所示为设计变量x1、x2组成的二维平面，由ｇ1（x）、ｇ2（x）、ｇ3（x）所包围的区域为可行域D，以外的区域是非可行域。
如果令目标函数F（ｘ）等于一系列常数ｃ1、ｃ2、ｃ3、．．．时，也就是说作一系列平行于ｘ1ｏｘ2平面，且其高度为：
ｃ1、ｃ2、ｃ3、．．．的平面，即F（ｘ）＝ｃｉ。
这些平面将分别与目标函数的曲面相交，得到一系列等值的目标函数曲线，将这些曲线投影到坐标平面上，这些在坐标平面ｘ1ｏｘ2上的一族曲线称为目标函数的等值线。
由此可见，①在每一条等值线上，各点的目标函数值均相等。
在上面的例中，由于F（ｘ）＝（x1—2）2＋x22，若令F（ｘ）＝ｃｉ,ｉ＝1，2，3，．．．，则在坐标ｘ1ｏｘ2平面上可到一族等值线方程为：
（x1—2）2＋x22＝ｃｉ,ｉ＝1，2，3，．．．，
该曲线族是在坐标平面ｘ1ｏｘ2上以ｘ１*（2,0）为圆心，以√ｃｉ为半径的一族同心圆，如图1.9（b）所示。
②目标函数等值线的形状将清晰地表达了目标函数数值变化的情况。
③对于二维目标函数，极值理论证明在极值点附近领域内的等值线是一族近似的同心椭圆。
椭圆族的中心便是极值点，即在目标函数极值点附近领域内函数呈较强的二次形态。
二、约束曲线形成可行域
若令各不等式约束函数ｇ1（x）、ｇ2（x）、ｇ3（x）为零，则相应的约束方程可在坐标平面ｘ1ｏｘ2上画出某些曲线，该曲线称为约束曲线。
在约束曲线的一侧ｇi（x）≥0，而另一侧ｇi（x）＜0。
由这些约束曲线围成的公共区域Ｄ就是可行域。
如图1.9（b）中的阴影所包围的部分。
该封闭域可行域Ｄ是由约束曲线ｇ1（x）、ｇ2（x）、ｇ3（x）围成的。
凡是满足这个三个设计约束的设计点ｘ必满足第四个设计约束ｇ4（x），第四个约束ｇ4（x）是一个消极的约束。
当问题比较复杂时，往往并不能预先观察出那些约束是消极约束，因此在数学模型中仍然需要列出所有的设计约束。
如果在设计约束中还包含有等式约束ｈv（x）＝０，则又给设计变量ｘ带来了特殊的限制。
在二维优化问题中，等式约束表现为坐标平面上的一段曲线，它是满足所有不等式约束和等式约束的点的集合。
也就是说在二维优化问题中，带有等式约束的可行域是一段曲线。
显然这使得可行域大大减小，或可以认为是对可行域的一种降维。
三、最优解
不考虑设计约束时的目标函数极小点ｘ*是无约束极小点，即无约束最优点。
本例中，ｘ1*＝［2,0］T。
在给定约束优化问题中，应该是在可行域Ｄ内寻找目标函数的最小点和最小值，有约束的目标函数最小点称为约束最优点。
在本例中，ｘ2*＝［0.58,1.3
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