牛吃草类型应用题解题方法.doc

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例1牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长．这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天．问：

可供25头牛吃几天？

分析与解：

这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到

不变的量．总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分．牧场上原有的草是不变的，

新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新

长出的草是不变的．下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量．

设1头牛一天吃的草为1份．那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草

也被吃完．前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加20天新长出的草，

后者是原有的草加10天新长出的草．

200－150＝50（份），20－10＝10（天），

说明牧场10天长草50份，1天长草5份．也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5头牛以

外的牛吃的草就是牧场上原有的草．由此得出，牧场上原有草

（10－5）×20＝100（份）

或（15－5）×10＝100（份）．

现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份．当有25头牛时，其中的5头专吃新长出来的草，

剩下的20头吃原有的草，吃完需100÷20＝5（天）．

所以，这片草地可供25头牛吃5天．

在例1的解法中要注意三点：

（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的．

（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量．

（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天．

例2一个水池装一个进水管和三个同样的出水管．先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管．如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空．那么出水管比进水管晚开多少分钟？

分析：

虽然表面上没有“牛吃草”，但因为总的水量在均匀变化，“水”相当于“草”，进水管进的

水相当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，所以也是牛吃草问题，解法自然也与例1

相似．

出水管所排出的水可以分为两部分：

一部分是出水管打开之前原有的水量，另一部分是开始排

水至排空这段时间内进水管放进的水．因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用

的时间及排水量入手解决问题．

设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2个出水管8分钟所排的水是2×8＝16（份），3个出水管5

分钟所排的水是3×5＝15（份），这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间

内的进水量．两者相减就是在8－5＝3（分）内所放进的水量，所以每分钟的进水量是

水管排原有的水，可以求出原有水的水量为

解：

设出水管每分钟排出的水为1份．每分钟进水量

答：

出水管比进水管晚开40分钟．

例3由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可供多少头牛吃10天？

分析与解：

与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少．但是，我们同样

可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量．

设1头牛1天吃的草为1份．20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100－90＝10（份），说明寒

冷使牧场1天减少青草10份，也就是说，寒冷相当于10头牛在吃草．由“草地上的草可供20头牛

吃5天”，再加上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草，所以牧场原有草

（20＋10）×5＝150（份）．

由150÷10＝15知，牧场原有草可供15头牛吃10天，寒冷占去10头牛，所以，可供5头牛吃10

天．.

例4自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上．问：

该扶梯共有多少级？

分析：

与例3比较，“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成了“梯级”，“牛”变成了“速度”，

也可以看成牛吃草问题．

上楼的速度可以分为两部分：

一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度．男

孩5分钟走了20×5＝100（级），女孩6分钟走了15×6＝90（级），女孩比男孩少走了100－90＝10

（级），多用了6－5＝1（分），说明电梯1分钟走10级．由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自

己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有

（20＋10）×5＝150（级）．

解：

自动扶梯每分钟走

（20×5－15×6）÷（6－5）＝10（级），

自动扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）．

答：

扶梯共有150级．

例5某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟．如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？

分析与解：

等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛

吃草问题的解法求解．

旅客总数由两部分组成：

一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后

新来的旅客．

设1个检票口1分钟检票的人数为1份．因为4个检票口30分钟通过（4×30）份，5个检票口20分

钟通过（5×20）份，说明在（30－20）分钟内新来旅客（4×30－5×20）份，所以每分钟新来旅客

（4×30－5×20）÷（30－20）＝2（份）．

假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出

原有旅客为

（4－2）×30＝60（份）

或（5－2）×20＝60（份）．

同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需

要

60÷（7－2）＝12（分）．

例6有三块草地，面积分别为5，6和8公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天．问：

第三块草地可供19头牛吃多少天？

分析与解：

例1是在同一块草地上，现在是三块面积不同的草地．为了解决这个问题，只需将

三块草地的面积统一起来．

[5，6，8]＝120．

因为5公顷草地可供11头牛吃10天，120÷5＝24，所以120公顷草地可供11×24＝264（头）牛吃10

天．

因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6＝20，所以120公顷草地可供12×20＝240（头）牛吃14

天．

120÷8＝15，问题变为：

120公顷草地可供19×15＝285（头）牛吃几天？

因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：

“一块匀速生长的草地，可供264头牛吃10天，或供240头牛吃14天，那么可供285头牛吃几天？

”

这与例1完全一样．设1头牛1天吃的草为1份．每天新长出的草有

（240×14－264×10）÷（14－10）＝180（份）．

草地原有草（264－180）×10＝840（份）．可供285头牛吃

840÷（285－180）＝8（天）．

所以，第三块草地可供19头牛吃8天

我将“牛吃草”归纳为两大类，用下面两个例题来说明

例1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天。

那么它可供21头牛吃几天？

例2.有三块草地，面积分别为5，6和8公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天．问：

第三块草地可供19头牛吃多少天？

分析与解：

例1是在同一块草地上，例2是三块面积不同的草地．（这就两者本质的区别）

第一章：

核心思路

[普通解法请参考上面三位前辈的帖子。

我没把链接做好，不好意思]

现在来说我的核心思路：

例1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天。

那么它可供21

头牛吃几天？

将它想象成一个非常理想化的数学模型：

假设27头牛中有X头是“剪草工”

，这X头牛只负责吃“每天新长出的草，并且把它们吃完”，这样以来草场相当于不长草，

永远维持原来的草量，而剩下的（27－X）头牛是真正的“顾客”，它们负责把草场原来的草吃

完。

（请慢慢理解，这是关键）

例1：

解:

设每天新增加草量恰可供X头牛吃一天,21牛可吃Y天（后面所有X均为此意）

可供27头牛吃6天，列式:

（27－X）·6注：

（27－X）头牛6天把草场吃完

可供23头牛吃9天，列式:

（23－X）·9注：

（23－X）头牛9天把草场吃完

可供21头牛吃几天？

列式：

（21－X）·Y注：

（21－X）头牛Y天把草场吃完

因为草场草量已被“清洁工”修理过，总草量相同，所以，联立上面1、2、3

（27－X）·6＝（23－X）·9＝（21－X）·Y

（27－X）·6＝（23－X）·9【1】

（23－X）·9＝（21－X）·Y【2】

解这个方程组，得X＝15（头）Y＝12（天）

例2：

有三块草地，面积分别为5，6和8公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一

块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天．问：

第三块草地可供19头牛吃

多少天？

解析：

现在是三块面积不同的草地．为了解决这个问题，需要将三块草地的面积统一起

来．（这是面积不同时得解题关键）

求【5，6，8】得最小公倍数为120

1、因为5公顷草地可供11头牛吃10天，120/5＝24，所以120公顷草地可供11*24＝264（头）

牛吃10天．

2、因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120/6＝20，所以120公顷草地可供12*20＝240（头）

牛吃14天．

3、1208＝15，问题变为：

120公顷草地可供19/15＝285（头）牛吃几天？

这样一来，例2就转化为例1，同理可得：

（264－X）·10＝（240－X）·14＝（285－X）·Y

（264－X）·10＝（240－X）·14【1】

（240－X）·14＝（285－X）·Y【2】

解方程组：

X=180（头）Y=8（天）

典型例题“牛吃草”已介绍完毕。

第二章：

“牛吃草”变型.

以下几道题目都是“牛吃草”的变型，解法和上面我讲的一摸一样，因为我在前边写的很详细

了，所以下面的例题不再给出详解，略作说明即可。

请大家自行验证。

例3由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少．已知某块

草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可供多少头牛吃10天？

解析：

本题的不同点在草匀速减少，不管它，和前边设X、Y一样来理想化，解出的X为负

数（无所谓，因为X是我们理想化的产物，没有实际意义），解出Y为我们所求。

例4自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩每分

钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到

达楼上．问：

该扶梯共有多少级？

解析：

总楼梯数即总草量，设略

列式（20－X）·5＝（15-X）·6

X=－10（级）？

？

？

（例3已说过，X是理想化的产物，没有实际意义）

将X=－10代入（20－X）·5得150级楼梯

例5某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．从开始检票到等

候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟．如果同时打

开7个检票口，那么需多少分钟？

解析：

原有旅客即原有草量，新来排队得旅客即每天新长出得草量，其它不用我多说了吧。

例6现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。

若用8台抽水机10天可以抽干；

用6台抽水机20天能抽干。

问：

若要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？

解析：

原有水量即原有草量，新匀速注入得水即每天新长出得草量，继续。

。

。

。

。

。

例7一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如

5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？

解析：

（10-X）*3=（5-x）*8=（n-x）*2。

例8、牧场有一片青草，每天生成速度相同。

现在这片牧场可供16头牛吃20天，或者供80

只羊吃12天，如果一头牛一天吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃

可以吃多少天？

解析：

思路，把羊转化为牛

4羊＝1牛，“也可以供80只羊吃12天”相当于“20头牛吃12天”

现在是“10头牛与60只羊一起吃这一片草”相当于“10＋60÷4＝25头牛吃草”

[16-x]*20=[20-x]*12=[25-x]*y

x=10y=8

例9.某牧场上长满牧草,,每天匀速生长,这片牧草供17头牛吃30天,19头牛吃24天,现有一群

牛吃了6天,主人卖掉了4头牛,余下的牛吃了两天后刚好把草吃完,问这群牛原有几头?

解：

设原有Y头，x还是“剪草的”

[17-x]*30=[19-x]*24=[y-x]*6+[y-4-x]*2

注意：

剩下的2天已经卖掉了4头牛，要分开计算

（y-x-4）*（6+2），这样列式就错了

x=9y=40