五升六暑期数学思维拓展资料.docx
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五升六暑期数学思维拓展资料
说明
中小学学科奥林匹克竞赛（简称学科奥赛）是我国覆盖面最广、参加人数最多、影响最大的一项中小学生学科竞赛活动。
学科奥林匹是由体育奥林匹克借鉴、引申而来。
国际数学奥林匹克（简称IMO）、国际物理奥林匹克（简称IPHO）、国际化学奥林匹克（简称ICHO）等是国际上影响较大的中学生学科竞赛活动，每年都受到千百万青少年的向往与关注。
本教材的编写宗旨是：
第一：
高。
来源于教材，又高于教材。
第二：
准。
科学准确，结构合理。
第三：
新。
书中所选用的题型新颖独特，趣味性强。
第四：
精。
精选例题，难而不怪，灵活性强，高而可攀。
本教材各个年级分暑假和寒假两册，暑假12讲，寒假8讲。
以讲授为辅，引导为主的原则，让学生从分析中找到解题方法和技巧，层层引导，使得学生养成独立思考的习惯。
由于人力有限，在编排过程中难免出现一些疏漏之处，敬请家长朋友和每位学子批评指正。
最后祝每一位同学学习进步！
精诚培优小学组
目录
第1讲数的整除……………………………………………1
第2讲解决问题的策略……………………………………5
第3讲组合图形的面积……………………………………9
第4讲平均数问题…………………………………………14
第5讲消元法解题…………………………………………18
第6讲等式的性质、解方程………………………………22
第7讲分数的意义、性质…………………………………26
第8讲行程问题
（一）……………………………………30
第9讲行程问题
（二）……………………………………35第10讲行程问题（三）……………………………………39第11讲圆的周长和面积……………………………………44
第12讲列方程解应用题……………………………………48
综合巩固训练……………………………………………………53
第一部分五年级课本知识复习与提高
第1讲数的整除
整数a能除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能b整除（也可以说b能整除a）。
数的整除具有以下性质：
性质1：
如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。
性质2：
如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。
性质3：
如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。
利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。
为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：
（1）能被2整除的数：
一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。
（2）能被5整除的数：
一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。
（3）能被3（或9）整除的数：
一个数各个数位上的数字之和如果能被3（或9）整除，那么这个数就能被3（或9）整除。
（4）能被4（或25）整除的数：
一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）能被8（或125）整除的数：
一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）能被7整除的数：
把一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数字的2倍，若差是7的倍数，则原数就能被7整除；若差太大或心算不易看出是不是7的倍数，就需要继续重复上述过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是不是7的倍数的过程如下：
13-3×2=7，所以133是7的倍数（能被7整除）；又例如判断6139是不是7的倍数的过程如下：
613-9×2=595,59-5×2=49，所以6139是7的倍数（能被7整除）。
（7）能被11整除的数：
若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数就能被11整除。
（8）能被7（或11，13）整除的数：
一个数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或11，13）整除，那么这个数能被7（或11，13）整除。
例如128114，由于128-114=14，14是7的倍数，所以128114能被7整除。
又如94146，由于146-94=52，52是13的倍数，所以94146能被13整除。
【例1】在□内填上适当的数，使下面的数能被4整除。
25□17□4251□4□00□
分析：
根据能被4整除的数的特征，一个数末两位数能被4整除，这个数就能被4整除，所以这组题要考虑末两位数的情况。
【例2】在□内填上适当的数，使下面的数能被9整除。
8□4597□8□2
分析：
根据能被9整除的数的特征综合判断。
【例3】在□内填上适当的数，使下面的数能同时被8，9，25整除。
□1994□□
分析：
能同时被8，9，25整除，就要同时具备能被8，9，25整除的数的特征。
【例4】在75938□□的方框中填什么数字，就能被45整除？
填什么数字就能被36整除？
75938□□75938□□
分析：
因为45=5×9，我们可以想这个数能被45整除，就要既能被5整除又能被9整除。
【例5】六位数a8919b能被33整除，求a与b分别是多少？
分析：
因为33=11×3，所以要想这个数能被33整除，就要既能被3整除又能被11整除。
【例6】证明：
任意两个自然数的和、差、积中，至少有一个能被3整除。
分析：
从两个数除以3的余数情况来考虑：
两个数中只要有一个数的余数是0，则积能被3整除；若两个数除以3的余数相同，则差能被3整除；若两个数除以3的余数分别为1和2，则和能被3整除。
所以任意两个自然数的和、差、积中，至少有一个能被3整除。
1、在□里填上适当的数，使下面的数能被25整除。
100□17□□257□415□
2、在□里填上适当的数，使下面的数能被8或125整除。
3924□7□3924□7□
3、在□里填上适当的数，使下面的数能被9整除。
222□5□□44
4、有两堆糖果，第一堆有535块，第二堆有825块，哪一堆可以平均分给15个小朋友？
5、在□内填上适当的数，使下面的数能同时被3，4，5整除。
1919□4□
6、六位数865□□□能被3，4，5整除，要使这个数尽可能的小，□里应怎样填？
865□□□
7、在6927□□的方框里填什么数字能被18整除？
填什么数字能被90整除？
6927□□6927□□
8、某小学五年级（3）班期中数学考试的平均成绩是90分，总分是A95B，这个班有多少名学生？
9、一个六位数325A6B能被88整除，则A与B分别是多少？
10、只修改21475的某一个数字，就可以使修改后的数能被225整除，怎样修改？
11、甲数比乙数答5，乙数比丙数也大5，试说明：
三个数之和、三个数只积都能被3整除。
12、已知数29832983……298302能被18整除，那么n的最小值是多少？
n个2983
家长签名：
第2讲解决问题的策略
这一讲的策略主要涉及还原和列举两种策略。
有些题目中只交代了发展过程和最后结果，要求最初的状态，这类数学问题顺向思考很难解答，如果能从问题或结果出发，一步一步倒着推理，逐步靠拢已知条件，这样的题目用还原的策略解决比较方便。
有些问题的答案有多种，用算式不容易表示，可以用一一列举的方法解决。
用列举法解题要注意以下几点：
1、列举时应有条理，保证既不遗漏又不重复。
2、根据题意，可以将较复杂的问题分类考虑，或者排除不符合条件的情况，缩小列举的范围。
3、用列举的方法将已知条件列起来后，还要仔细看看能否找出规律。
【例1】红、黄、蓝三种不同颜色的小旗各一面，按不同的顺序排列表示不同信号，这三种小旗可以表示多少种不同的信号？
分析：
按照一定的顺序进行排列出来。
【例2】用0，4，7，3四个数字组成一个三位数，可以组成多少个不同的偶数？
分析：
要组成的是偶数，个位只能是4和0。
再一一列举出来。
【例3】1到100共100个的然数中，含有数字1的数共有多少个？
分析：
把100个自然数排列起来：
个位上数字相同的数排在同一列，十位上数字相同的数排在同一行。
从排列中可以看出，数字1在个位和十位上的各有10个，在百位上的有1个，共21个。
因为11是由两个数字1组成的一个数，所以含有数字1的数是20个。
【例4】一个长方形周长是50厘米，且长和宽都是整数，当长和宽分别是多少时，它的面积最大？
当长和宽分别是多少时，它的面积最小？
分析：
可以用列表格列举出长和宽，并计算面积。
当长是13厘米，宽是12厘米时，它的面积最大；当长是24厘米，宽是1厘米时，它的面积最小。
可以看出它的周长不变时，长和宽的差最小时，面积最大；长和宽的差最大时，面积最小。
【例5】商场出售彩色电视机，第一天售出总数的一半多10台，第二天售出剩下的一半多20台，还剩下95台。
商场原来有彩电多少台？
分析：
根据还原法进行解答。
【例6】有甲、乙两堆小球，各有若干个，先从甲堆拿出和乙堆同样多的小球放到乙堆，再从乙堆拿出和这时甲堆同样多的小球放到甲堆。
这时，甲、乙两堆都有小球16个，问甲、乙两堆最初各有小球多少个？
分析：
根据题意我们可以倒过来想，同时可以借助表格来推导。
在倒推时要注意理解：
从乙堆拿出和这时甲堆同样多的小球放到甲堆，说明甲现在的数量中有一半是乙给的，所以之前的甲有8个，乙有24个；同样从甲堆拿出和乙堆同样多的小球放到乙堆，说明乙现在的数量中有一半是甲给的，所以最初甲有20个，乙有12个。
1、用2，3，4，5四张数字卡片，每次取两张组成两位数，可以组成多少个奇数？
2、有8张1元，4张2元，2张5元，从中拿出12张，有几种拿法？
3、一家五口人站成一排照全家福，爸爸、妈妈分别站在左、右两边，共有多少种站法？
4、甲、乙是两个不同的自然数，且甲+乙=82，那么甲乘乙的积的最大值是多少？
5、在1至500的自然数中，有多少个数出现1或5的？
6、有一截篱笆全场32米，把它靠墙围成一个长方形（长、宽均为整数米），所围面积最大是多少平方米？
7、a，b，c三个数都是不同的自然数，且a+b+c=15，那么c×b×c的积最大可能是多少？
最小呢？
8、用质量分别为1克、2克、4克、8克、16克的五个砝码和一架天平可称出多少种不同的质量？
9、一种有益的细菌种每小时可增长1倍。
现有一批这样的细菌，10小时后达到100万个。
当它们达到25万个时，经历了多长时间？
10、商店运来一批鸡蛋，上午卖了总数的一半少15个，下午又卖出余下的一半少20个，还剩下140个鸡蛋。
这批鸡蛋一共有多少个？
11、仓库原来有一批化肥，第一次运出总数的一半，第二次运进45吨，第三次又运出现有化肥的一半还多5吨，结果还剩下650吨。
仓库原来有化肥多少吨？
12、甲、乙、丙三层书架共放有图书900本，从乙层拿30本放甲层后，又从甲层拿50本放丙层，结果三层书架的本数正好相等。
问：
甲、乙、丙三层原来各有图书多少本？
家长签名：
第3讲组合图形的面积
在计算平面图形的面积时，除了运用公式，我们还要善于发现图形之间的关系，巧妙的解答。
【例1】下图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
分析：
因为是两个相同的三角形，所以面积一样，重叠部分也是一样的，所以多出的部分也是一样的面积。
【例2】在右图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大75平方厘米，已知正方形ABCD的边长为15厘米，DF的长是多少厘米？
分析：
甲三角形的面积比乙三角形的面积大75平方厘米，其实就是正方形ABCD的面积比三角形ACF的面积大75平方厘米。
【例3】右图是一块长方形公园绿地，绿地长24米，宽16米，中间有一条宽为2米的道路，求草地（阴影部分）的面积。
分析：
阴影部分其实可以看成一块长为22米，宽为14米的长方形。
【例4】如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：
厘米）
分析：
这道题可以用不同的解法解答。
【例5】下图中，边长为10和15的两个正方体并放在一起，求三角形ABC（阴影部分）的面积。
分析：
三角形ADC的面积是10×15÷2=75，而三角形ABC的高是三角形BCD高的15÷10=1.5倍，它们都以BC边为底，所以，三角形ABC的面积是三角形BCD的1.5倍。
阴影部分的面积是：
7.5÷（1＋1.5）×1.5=45。
【例6】在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。
分析：
将三角形分解成几个小三角形，再根据“DC=2BD，CE=3AE”这个条件来考虑等高情况下，底的关系与面积的关系来进行分解解答。
1、求下图中阴影部分的面积。
2、求图中阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
3、下图的长方形是一块草坪，中间有两条宽1米的走道，求植草的面积。
4、图中两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。
5、图中三角形ABC的面积是36平方厘米，AC长8厘米，DE长3厘米，求阴影部分的面积（ADFC不是正方形）。
6、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？
7、下图中，BD=2厘米，DE=4厘米，EC=2厘米，F是AE的中点，三角形ABC的BC边上的高是4厘米，阴影面积是多少平方厘米？
8、已知正方形乙的边长是8厘米，正方形甲的面积是36平方厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？
9、在正方形ABCD中，AB是4厘米，三角形BCF比三角形DEF的面积多2平方厘米，求DE的长。
家长签名：
第二部分五年级奥数知识辅导与拓展
第4讲平均数问题
把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的数就是平均数。
如果灵活的运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？
下面的数量关系必须牢记：
平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
【例1】有4箱水果，已知苹果、梨、桔子平均每箱42个，梨、桔子、桃平均每箱36个。
苹果和桃平均每箱37个。
求一箱苹果多少个？
一箱桃多少个？
分析：
方法一：
由①-②可知：
1箱苹果比一箱桃多126-108=18个，再根据等式③就可以算出，一箱桃有（74-18）÷2=28个，1箱苹果有28+18=46个。
方法二：
将①+②+③就有了2箱苹果、2箱梨、2箱桔子、2箱桃。
（126+108+74）÷2=308÷2=154个，就是苹果、梨、桔子、桃各一箱的重量。
减去①便得到桃的重量：
154-126=28个，由③可得苹果：
74-28=46个
【例2】一次数学测试，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分，男生平均每人90.5分，求这个班男生有多少人？
分析：
女生比全班平均分高，男生比全班平均分低，利用移多补少的方法进行解答。
【例3】五个数的平均数是18，把其中一个数改为6后，这五个数的平均数是16，这个改动的数原来是多少？
分析：
求出改动前的总和与改动后的总和，再根据两个总和只差可求出原数。
【例4】一位同学在期中测试中，除数学外，其它几门功课的平均成绩是94分，如果数学算在内，平均每门95分。
已知他数学得了100分，问这位同学一共考了多少门功课？
分析：
100分比95分多5分，这5分必须填补到其它几门功课的成绩中去，是其平均分94变为95分。
【例5】把五个数从小到大排列，其平均数是38，前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48，中间一个数是多少？
分析：
先求出五个数的和，再求出前三个数的和，最后求出后三个数的和，再根据几个数的关系求得。
【例6】小华的前几次数学测验的平均成绩是80分，这一次得了100分，正好把这几次的平均分提高到85分。
这一次是他第几次测验？
分析：
最后一次得100分，使得几次平均成绩变成85分，说明给前面几次各弥补了5分。
便可算得前面进行了几次测验。
1、一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分，问甲、丁各得多少分？
2、两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下。
甲组有6人，平均每人跳140下，乙组平均每人跳160下，乙组有多少人？
3、把甲级和乙级糖混在一起，平均每千克买7元。
已知甲级糖有4千克，平均每千克8元，乙级糖有2千克，平均每千克多少元？
4、甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是90分。
可是，甲在抄分数时，把自己的分数错抄成87分，因此算得的四人平均分为88分。
求甲在这次考试中得了多少分？
5、两组数据，第一组16个数据的和是98，第二组的平均数是11.两组数的平均数是8，那么第二组有几个数据？
6、把五个数从小到大排列，平均数是38，前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48，中间的一个数是多少？
7、东东参加数学测试，他第一次得了60分，第二次得了70分，第三次得了65分，第四次的成绩比这四次的平均分还多15分，那么东东第四次测验得了多少分？
8、把一份书稿平均分给甲乙两人去打，甲每分钟打30个字，乙每分钟打20个字。
求甲乙平均每分钟打多少字？
9、十名参赛者的平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分，那么第5人和第6人的平均分是多少分？
10、有一条山路，一辆汽车上山时每小时行30千米，从原路返回下山时每小时行50千米，求汽车上、下山的平均速度。
家长签名：
第5讲消元法解题
在有些应用题里，给出了两个或者两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未知数的数量。
我们在解题时，可以通过比较条件，分析对应的未知数量变化的情况，想办法消去其中的一个未知量，从而把一道数量关系较复杂的题目变成比较简单的题目解答出来。
这样的解题方法，我们通常把它叫做“消去法”。
解答消元问题时需注意以下几点：
1、把条件写成几个等式，并排列在一起进行比较，如果有一种量的数相同，就很容易把这种量消去。
2、如果两种量的数都不相同，可以用一个数去乘等式的两边，使其中的一个量的数相同，然后消去这个量。
3、解答后，可以把结果代入条件列出的每一个等式中计算，检验是否符合题意。
【例1】学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯，共用去134元；第二次又买了同样的3个水瓶和16个茶杯，共用去118元。
水瓶和茶杯的单价各是多少元？
分析：
将题中的两个条件用两个等式表示出来，再比较分析并解答。
【例2】买3个篮球和5个足球共、用去480元，买同样的6个篮球和3个足球共用去519元。
篮球和足球的单价各是多少元？
分析：
将题中的两个条件用两个等式表示出来，再比较分析并解答。
【例3】买15张桌子和15把椅子共用去2550元；买同样的12张桌子和20把张椅子，需要2440元。
买一张桌子和一把椅子各需要多少元？
分析：
可先根据第一个条件求出1张桌子和1把椅子共多少钱。
再求出其它。
【例4】7袋大米和3袋面粉共重425千克同样的3袋大米和7袋面粉共重325千克。
求每袋大米和每袋面粉的重量。
分析：
先将两个条件合并为一个条件，便可求出1袋大米和1袋面粉共多少钱，再求得问题。
【例5】买9张桌子和3把椅子共1020元，5张桌子的价钱比8把椅子的价钱多了180元。
桌子和椅子的价钱各是多少元？
分析：
将题中8把椅子的价钱转化成5张桌子的价钱，再分析解答。
【例6】有苹果、梨、橘子三种水果。
已知1千克苹果、1千克梨和2千克橘子共值18元；1千克苹果、2千克梨和1千克橘子共值16.4元；2千克苹果、1千克梨和1千克橘子共值17.6元。
每种水果的单价各是多少元？
分析：
将三个条件列成三个等式，再将三个等式合并就可求出1千克苹果、1千克梨和1千克橘子共值多少元，然后就可求得问题。
1、食堂第一次运来6袋大米和４袋面粉，一共重400千克；第二次又运来9袋大米和4袋面粉，一共重550千克。
每袋大米和每袋面粉各重多少千克？
2、3包味精和7包糖共重3800克，同样的3包味精和14包糖共重7300克。
每包味精和每包糖各重多少克？
3、育新小学买了8个足球和12个篮球，一共用去了984元；青山小学买了同样的16个足球和10个篮球，一共用去1240元。
每个足球和每个篮球各多少元？
4、3头牛和6只羊一天共吃草93千克，6头牛和5只羊一天共吃草130千克。
每头牛每天比每只羊多吃多少千克？
5、3件上衣和7条裤子共430元，同样的7件上衣和3条裤子共470元。
每件上衣和每条棵子各多少元？
6、一个杯子向空瓶里倒水，如果倒进了3杯水，连瓶共重440克，如果倒进5杯水，连瓶共重600克。
想一想，一杯水和一个空瓶各重多少克？
7、用12.7元钱正好能买3支钢笔、4支圆珠笔；如果买4支钢笔、3支钢笔还缺1.2元。
钢笔和圆珠笔的单价分别是多少元？
8、王老师支文化用品商店买办公用品，她计算后知道：
如果买3把小刀、7支铅笔、1块橡皮共用13.8元；如果买4把小刀、10支铅笔、1块橡皮共用19元。
王老师最后只买了1把小刀、1支铅笔、1块橡皮一共花了多少钱？
9、5辆自行车和2辆电动车总价5500元，2辆自行车和5辆电动车总价10600元，自行车和电动车的单价各是多少元？
10、为发奖品，甲班用8.5元买了2支钢笔、7支钢笔，乙班用8.9元买了同样的3支钢笔、5支圆珠笔。
求一支钢笔和一支圆珠笔的价格各是多少元？
11、3包味精和6包糖共重3300克，7包糖比3包味精重3200。
每包味精和每包糖各多少克？
12、甲有6瓶小葵花蜂蜜，乙有5瓶枸杞蜂蜜，共值640元，如果甲、乙两人对换2瓶，则每人所有蜂蜜和价值相等。
小葵花蜂蜜和枸杞蜂蜜各是多少钱一瓶？
家长签名：
第6讲等式的性质、解方程
等式的性质是：
①等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得结果仍是等式。
②等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为零），所得的结果仍是等式。
在课本上，我们学过了依据等式的性质解方程，在这一讲中，我们将学习更多的解方程的技巧。
用移项的方法要记住，移项变号的口诀“已知未知闹分离，分离要靠移完成。
移加变减减变加，移乘变除除变乘。
”
【例1】7（3+x）=56
分析：
7（3+x）=56中的括号可以运用乘法分配律去掉，也可以把括号看成一个整体，先计算（3+x）是多少，在计算x的值。
【例2】7（3+x）+2（x+5）=121
分析：
解答这样的方程，必然要用到乘法分配律去括号。
【例3】100-5（10-2x）=80
分析：
此题在去括号时，要注意正确的判断符号的变化。
我们可以记住下面规律：
符号相同就写加符
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