初中数学中考导练讲义第15讲一般三角形及其性质.docx
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初中数学中考导练讲义第15讲一般三角形及其性质
第15讲一般三角形及其性质
【章节知识清单】
知识点一：
三角形的分类及性质
关键点拨与对应举例
1.三角形的分类
（1）按角的关系分类
（2）按边的关系分类
失分点警示：
在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时，必须考虑三角形三边关系.
例：
等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为15.
2.三边关系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
3.角的关系
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：
直角三角形的两锐角互余.
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.
利用三角形的内、外角的性质求角度时，若所给条件含比例，倍分关系等，列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰（边）三角形的性质求解.
4.三角形中的重要线段
四线
性质
（1）角平分线、高结合求角度时，注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件.
（2）当同一个三角形中出现两条高，求长度时，注意运用面积这个中间量来列方才能够求解.
角平分线
（1）角平线上的点到角两边的距离相等
（2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）
中线
（1）将三角形的面积等分
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
高
锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部
中位线
平行于第三边，且等于第三边的一半
5.三角形中内、外角与角平分线的规律总结
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=
∠BAC-∠CAE=
（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=
（∠C-∠B）；
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=
∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=
∠A，∠O’=
∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-
∠A.
对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.
知识点二：
三角形全等的性质与判定
6.全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边、对应角相等．
（2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
（3）全等三角形的周长等、面积等．
失分点警示：
运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.
7.三角形全等的判定
一般三角形全等
SSS（三边对应相等）
SAS（两边和它们的夹角对应相等）
ASA（两角和它们的夹角对应相等）
AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）
失分点警示
如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.
直角三角形全等
（1）斜边和一条直角边对应相等（HL）
（2）证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
8.全等三角形的运用
（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：
将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.
（2）全等三角形中的辅助线的作法：
①直接连接法：
如图①，连接公共边，构造全等.
②倍长中线法：
用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.
③截长补短法：
适合证明线段的和差关系，如图③、④.
例：
如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.
【章节典例解析】
【例题1】（2017湖北宜昌）如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【考点】L3：
多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和定理即可判断．
【解答】解：
∵①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，③剪开后的两个图形是三角形，它们的内角和都是180°；
∴①③剪开后的两个图形的内角和相等，
故选B．
【例题2】（2017年江苏扬州）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（ ）
A．6B．7C．11D．12
【考点】K6：
三角形三边关系．
【分析】首先求出三角形第三边的取值范围，进而求出三角形的周长取值范围，据此求出答案．
【解答】解：
设第三边的长为x，
∵三角形两边的长分别是2和4，
∴4﹣2＜x＜2+4，即2＜x＜6．
则三角形的周长：
8＜C＜12，
C选项11符合题意，
故选C．
【例题3】（2016·山东省德州市·3分）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于
AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65°B．60°C．55°D．45°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．
【解答】解：
由题意可得：
MN是AC的垂直平分线，
则AD=DC，故∠C=∠DAC，
∵∠C=30°，
∴∠DAC=30°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，
故选A．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
【例题4】（2016·山东省滨州市·3分）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（ ）
A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°
【考点】等腰三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】计算题．
【分析】根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE，根据平角的定义即可求出选项．
【解答】解：
∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，
∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，
∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，
∴∠B=25°，
∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，
∴∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°，
∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，
故选D．
【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
【章节典例习题】
1.（2017广西河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线B．角平分线C．高D．中位线
2.（2017贵州）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）
A．120°B．90°C．100°D．30°
3.（2017浙江湖州）已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是 5 ．
4.（2017江苏盐城）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= 120 °．
5.（2017•宁德）在△ABC中，AB=5，AC=8，则BC长不可能是（ ）
A．4B．8C．10D．13
6.（2016·青海西宁·2分）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= 2 ．
7.（2017内蒙古赤峰）如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=
，则
S△ABC=
BC×AD=
×BC×ACsin∠C=
absin∠C，
即S△ABC=
absin∠C
同理S△ABC=
bcsin∠A
S△ABC=
acsin∠B
通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：
如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则
a2=b2+c2﹣2bccos∠A
b2=a2+c2﹣2accos∠B
c2=a2+b2﹣2abcos∠C
用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：
（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2．
（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：
S1+S2=S3+S4．
【章节典例习题】参考答案
1.（2017广西河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线B．角平分线C．高D．中位线
【考点】K3：
三角形的面积；K2：
三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答．
【解答】解：
∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，
∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．
故选A．
2.（2017贵州）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）
A．120°B．90°C．100°D．30°
【考点】K8：
三角形的外角性质．
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：
∠A=∠ACD﹣∠B
=120°﹣20°
=100°，
故选：
C．
3.（2017浙江湖州）已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是 5 ．
【考点】L3：
多边形内角与外角．
【分析】用多边形的外角和360°除以72°即可．
【解答】解：
边数n=360°÷72°=5．
故答案为：
5．
4.（2017江苏盐城）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= 120 °．
【考点】K8：
三角形的外角性质；K7：
三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：
由三角形的外角的性质可知，∠1=90°+30°=120°，
故答案为：
120．
5.（2017•宁德）在△ABC中，AB=5，AC=8，则BC长不可能是（ ）
A．4B．8C．10D．13
【考点】K6：
三角形三边关系．
【专题】11：
计算题．
【分析】根据三角形三边的关系得到3＜BC＜13，然后对各选项进行判断．
【解答】解：
∵AB=5，AC=8，
∴3＜BC＜13．
故选D．
【点评】本题考查了三角形三边的关系：
三角形任意两边之和大于第三边．
6.（2016·青海西宁·2分）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= 2 ．
【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
【解答】解：
作PE⊥OA于E，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP=∠AOP=15°，
∴∠AOB=30°，
∵PC∥OB，
∴∠ACP=∠AOB=30°，
∴在Rt△PCE中，PE=
PC=
×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD=PE=2，
故答案是：
2．
7.（2017内蒙古赤峰）如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=
，则
S△ABC=
BC×AD=
×BC×ACsin∠C=
absin∠C，
即S△ABC=
absin∠C
同理S△ABC=
bcsin∠A
S△ABC=
acsin∠B
通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：
如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则
a2=b2+c2﹣2bccos∠A
b2=a2+c2﹣2accos∠B
c2=a2+b2﹣2abcos∠C
用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：
（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2．
解：
S△DEF=
EF×DFsin∠F= 6
；
DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F= 49 ．
（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：
S1+S2=S3+S4．
【考点】KY：
三角形综合题．
【分析】
（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；
（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；
方法2、先用正弦定理得出S1，S2，S3，S4，最后用余弦定理即可得出结论．
【解答】解：
（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8，
∴EF=3，DF=8，
∴S△DEF=
EF×DFsin∠F=
×3×8×sin60°=6
，
DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，
故答案为：
6
，49；
（2）证明：
方法1，∵∠ACB=60°，
∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=AC2+BC2﹣AC•BC，
两边同时乘以
sin60°得，
AB2sin60°=
AC2sin60°+
BC2sin60°﹣
AC•BCsin60°，
∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，
∴S1=
AC•BCsin60°，S2=
AB2sin60°，S3=
BC2sin60°，S4=
AC2sin60°，
∴S2=S4+S3﹣S1，
∴S1+S2=S3+S4，
方法2、令∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，
∴S1=
absin∠C=
absin60°=
ab
∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，
∴S2=
c•c•sin60°=
c2，S3=
a•a•sin60°=
a2，S4=
b•b•sin60°=
b2，
∴S1+S2=
（ab+c2），S3+S4=
（a2+b2），
∵c2=a2+b2﹣2ab•cos∠C=a2+b2﹣2ab•cos60°，
∴a2+b2=c2+ab，
∴S1+S2=S3+S4．
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