高中数学 集体备课材料数列教案 新人教B版必修5.docx
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高中数学集体备课材料数列教案新人教B版必修5
2019-2020年高中数学集体备课材料——数列教案新人教B版必修5
一、数列的基本概念：
数列、项数、首项、末项，通项公式
数列的通项公式：
；
所有的数列都有通项公式吗？
练习1：
求数列的项数和通项公式：
（1）.,
（2）
（3）,
（4），
二、介绍十个基本数列：
以进一步巩固求数列的项数、通项公式
举例
通项
*自然数列：
*倒数数列：
*平方数列：
*裂项数列：
*开方数列：
*奇数列：
*偶数列：
*符号列：
*重复数字列：
*等差数列：
*等比数列：
*斐波那契数列：
*周期数列：
三、数列的分类：
举例说明
（1）根据数列的单调性
单增数列例
单减数列例
常数数列例
摆动数列例
方法：
后一项与前一项作差比较。
（2）根据数列中项的个数
有穷（限）数列：
无穷（限）数列：
练习2：
判断下列数列的单调性
（1）
（2）（3）
*（4）数列的最大项
*（5）数列的前项中最大项；最小项
典型例题：
一、根据数列通项公式写出数列的前几项
例1、根据数列通项公式写出数列的前五项
（1）
（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）
例2、一个无穷数列的前三项是1，2，3，下列可以作为其通项公式的是（）
A、B、C、D、
二、根据数列的前几项写出数列通项公式
例3、根据数列的前几项写出数列通项公式
三、根据通项判断某数是不是数列中的项
例4、已知数列，
（1）证明：
数列是单增数列
（2）判断30、128是不是数列中的项？
第二节等差数列
一、等差数列定义：
二、通项公式：
推导方法：
推论：
例1、知三求一
1、若，则=_______2、若，则d=_______
3、若，则=_______4、若，则n=_______
5、若则______，d=______
6、，则数列有多少项在300到500之间？
例2、判断某数是不是数列中的项
已知数列，①判断是否是数列中的项；②求数列的第10项，15项，项；③判断，是数列的第几项？
三、通项性质
（1）等差数列中，
（2）等差数列中，如果，则
推广一、
推广二、（等距性）
例3、利用数列性质求数列中的项
1、若，则____，_______。
2、（05福建）若，则_____。
3、若，则=_______。
4、若，则_____。
5、若，则=_______。
6、（05全国）如果数列是等差数列，则（）
A、B、C、D、
练习2．
（1）若+=10，则++=
（2）若=90，则=
（3）
，则
（4）
，则=
四、等差中项：
五、判定和证明
证明方法：
（1）定义
（2）中项性质
判定：
例4、判断下列数列是否是等差数列？
①②③④
⑤⑥⑦
例5、等差数列首项是，公差是d，判断下列是否是等差数列？
如果是，求首项和公差；如果不是，说明理由。
①去掉数列的前m项之后的数列；②数列的奇数项组成的数列；③项数是7的倍数的项组成的数列；④数列的前三项，第二个三项，第三个三项，…组成的数列。
例6、已知成等差数列，求证：
成等差数列。
例7、是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数是（）A、2B、3C、4D、5
①②③④⑤
例8、已知都是等差数列，且，，那么有所组成的数列的第37项的值是（）A、0B、37C、100D、-37
练习3
1、，，则
2、，，则；
3、设成等差数列，求证也成等差数列。
4、已知成等差数列，且公差不为0，求证三者倒数不成等差数列。
六、性质应用
1、三角形ABC中，三个内角A、B、C成等差数列，且有，判断三角形形状。
2、在中插入三个数组成一个等差数列，求该数列的公差。
3、在中插入五个数组成一个等差数列，求该五个数的和。
4、三个数成等差数列，其积为48，平方和为56，求这三个数。
5、等差数列中，
，求数列的通项公式。
（06全国）设是公差为正数的等差数列，若，则=（）
A、120B、105C、90D、75
（03全国）等差数列中，已知，，，则n的值为（）
A、48B、49C、50D、51
第三节等差数列的前n项和
一、等差数列的前n项和公式及推导方法
二、公式说明：
（1）可以沟通中间项
（2）
可以将等差数列前n项和和函数联系起来
（3）几个常用的前n项和
自然数列：
奇数列：
偶数列：
三、等差数列前n项和的性质
（1）
（2）
例1、
（1）若=90，则=
（2），，
（3），，则；
（4），（法1：
函数法；法2：
倒序法）
例2、
（1）在等差数列{}中，为前项和，求证：
（2）等差数列{}、{}中，其前项和分别为、，若，则
例3、
（1）已知数列{}中，有，求
（2）已知数列{}中，有，求
第四节奇偶数项和前n项和的最值问题
一、等差数列数列奇数项之和和偶数项之和
在数列中，记所有奇数项的和为，记所有偶数项的和为，
即，
2、若等差数列共有偶数项项（奇数项、偶数项各项）：
即
则，（中间一对）
3、若等差数列共有奇数项项（奇数项比偶数项多项）：
即
则（为中间项），（项数之比）
例1、在等差数列{}中
（1）为前项和，若，，求
（2）
，
，求
例2、等差数列共有奇数项，且，，求此数列的中间项与项数。
二、等差数列前n项和的最值问题
等差数列中，
（1）若，则存在前有限项和的最大值问题；
（2）若，则存在前有限项和的最小值问题；
总之，等差数列中，若，则存在前有限项和最大（小）问题。
（1）若给出的通项公式，可以通过判断从哪一项开始出现正负过渡，从而得出结论。
（2）若给出（关于n的二次函数）的表达式，可以通过配方法求得的最大值。
（3）若给出条件，则可灵活应用性质
例1、
（1）若等差数列18、15、12、…的前n项和最大，则n=__________。
（2）若等差数列-21，-19，-17、…的前n项和最小，则n=__________。
（3）若等差数列的前n项和有，若最小，则m=_______。
例2、若等差数列有，且，前n项和最大，则n=__________。
例3、若等差数列有首项，公差d，，前10项和和前11项和分别满足。
（1）求公差d的取值范围
（2）求使的n的最小值（3）记中最大值为M，求M的值。
例4、
（1）等差数列中，若，前n项和最大，则n=__________。
（2）等差数列中，若，前n项和最大，则n=__________。
例5、等差数列中，前n项和，若，则
（1）_________，
（2）求（3）前多少项和最大？
例6、等差数列前n项和有最大为，且，求使的n的最大值。
例7、等差数列中，若，且，求使的n的最大值。
例8、数列的最大项是__________。
例9、在等差数列中，为前项和。
（1），求前多少项和最大？
前多少项和为零？
（2），求前多少项和最大？
前多少项和为零？
（3），①证明是等差数列；②使最小的序号n的值；③使小于零的序号n的最小值。
第五节等比数列
一、等比数列定义：
二、通项公式：
推导方法：
例1、
（1），，则通项
（2），，则此数列前4项和
（3）公比；=
三、通项性质：
（1）
（2）
（3）
例2、
（1）若，则
=
（2）若，则
，则
（2）在和之间插入共个数，则
四、等比中项：
例4：
（1）与的等比中项为
（2）若，，则
（3）若，，则（4）若，，则
五、判定和证明：
第六节等比数列的前n项和
一、等比数列的前n项和公式
推导方法：
错位相减法
二、性质
（1）
（2）
例1、知项求项：
（1）；则；=
（2），，则
（3），求前项和
例2：
数列{}，为前项和，
（1）此数列为数列（等差、等比）
（2）
（3）=（4）
例3、数列{}的首项为，公比，为前项和，成等差
（1）证明：
成等比
（2）求和
例4、数列的前项和为，
（1）求
（2）求证数列为等比数列
第七节数列通项公式
一、公式法：
二、递推公式：
数列递推：
给出数列初项及递推公式可以确定一个数列。
了解递推公式是给出数列一种重要方法，会根据递推公式写出数列的前几项，并进行必要的猜想、归纳、推理及证明。
三、递推公式通常有四种给出形式：
（一）与的递推关系：
①若数列满足，其中关于n的函数，则可采用“累差迭加法”求和。
例1、
（1）已知数列满足，求的通项公式。
（2）已知数列满足，求的通项公式。
②若数列满足，其中是关于的函数，则可采用“累商迭乘法”求和。
例2、
（1）已知数列满足，求的通项公式。
（2）已知正数数列满足
，求的通项公式。
（00高考）
（3）（04全国理）数列中，
，则数列
③对于数列中满足的，构造等差数列求解通项公式。
例3、
（1）已知数列满足，求的通项公式。
（2）已知数列满足，求的通项公式。
（2）已知数列满足，对于，有，求的通项公式。
④对于数列中满足，一般采用取倒数，构造等差数列求解。
例4、已知数列满足，求的通项公式。
（二）已知求：
；
例5、
（1）已知数列的前n项和是，，求的通项公式。
（2）已知数列的前n项和是，满足，求的通项公式。
（3）已知数列的前n项和是，满足，求的通项公式。
（三）与的关系
例6、（99全国文）已知数列的前n项和是，且，求的通项公式。
（四）与的关系
例7、已知数列的前n项和是，满足，求的通项公式。
（五）其他类型：
例8、已知数列中，，，求的通项公式。
（提示：
递推公式两边去对数）
例9、已知数列中，，，求的通项公式。
例10、已知数列中，，，求的通项公式。
第八节数列求和
法一、利用“化归思想”，根据它们所具有的某些规律，将这些数列转化归结为我们所熟悉的数列，再采用适当的求和方法。
法二、常见的求和方法有“累差迭加法”、“累商迭乘法”、“倒序求和法”、“错位相减法”、“拆项法”以及“通项分析法”。
法三、其中前五种方法，课本上都在例题或习题涉及到，并且在用以上方法求和时，一般要通过分析通项来观察、寻找规律，即所谓利用“通项分析法”求和。
下面试举几例。
（一）“倒序求和法”：
（等差数列前项和的推导方法）
例1、求
的值
（二）“错位相减法”：
（等比数列前项和的推导方法）若在数列中，成等差数列，成等比数列，则可采用“错位相减法”求和。
例2、①求和
。
②已知数列
求
（三）通项化归法：
有些数列的求和，须先将通项变形为我们所熟悉的数列后，再利用等差数列或等比数列的求和公式。
例3、①已知数列求。
2已知数列
，求
（四）拆项法：
所谓“拆项法”，即是将数列的每一项“一拆为二”——每一项拆成两项之差，以达到隔项相消之目的。
例4、
（1）
（2）
（3）
（4）已知数列的前项和满足，记
，求
（五）分组求和法（将一个数列写成多个数列求和的形式）
例5、
（1）已知数列，求
（2）求
（3）求
xx年高考数学题：
1、（湖南文4）在等比数列中，若，，则该数列的前10项和为______________。
2、（天津文20）在数列中，，，．（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．
3、（陕西文20）已知实数列等比数列,其中成等差数列，求数列的通项公式
4、（山东理17）设数列满足
，．（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
5、（山东文18）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．
（1）求数列的等差数列．
（2）令求数列的前项和．
6、（全国2理21）设数列的首项
．
（1）求的通项公式；
7、（全国2文17）设等比数列的公比，前项和为．已知，求的通项公式．
8、（全国1文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．
第九节数列的应用
做题思路：
读题→反复读题→找到切入点→建立数学模型→根据已知知识求解
一、构造等差数列解数列应用题
例1（课本40页例3）李先生今年为上高中的孩子办理了“教育储蓄”。
从8月1日开始，每个月1号都存入100元，存期三年。
（1）已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰，问到期时，李先生一次可支取本息共多少元？
（“教育储蓄”不计利息税）
（2）已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰，问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？
（零存整取需交纳20%的利息税）
例2（同步测控41页6）甲乙两物体分别从相距70m的地方相向运动，甲第一分钟走2m，以后每分钟比前一分钟多走2m，乙每分钟走5m。
（1）甲乙开始运动后几分钟第一次相遇？
（2）如果甲乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前一分钟多走2m，乙继续每分钟走5m，开始运动后几分钟后第二次相遇。
练习：
1．某职工年初向银行贷款2万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，低息贷款年利率为2%，按复利计算（本年的利息计入次年的本金生息），若这次贷款要求分10次等额还清，每年一次，从贷款次年年初开始还，问每年应还多少元？
（精确到元）
2、一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？
2、构造等比数列解数列应用题
例3：
我国1996年人口为11亿，如果每年递增0.2%，则xx年人口为（）（亿）
A、11×0.2%×7B、11×（1+0.2%）7C、11+0.2%×7D、11+11×（1+0.2%）7
例4：
某种细菌在培养过程中，每20次分裂一次（一个分裂为两个），经过三个小时，这种细菌可有一个分解为______个。
例5．某职工年初向银行贷款2万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，低息贷款年利率为2%，按复利计算（本年的利息计入次年的本金生息），若这次贷款要求分10次等额还清，每年一次，从贷款次年年初开始还，问每年应还多少元？
（精确到元）
练习：
时间
该林区有林地
开荒造林面积
xx年底
9.980万公顷
0.030万公顷
xx年底
9.960万公顷
0.030万公顷
xx年底
9.9410万公顷
0.029万公顷
xx年底
9.919万公顷
0.031万公顷
xx年底
9.896万公顷
0.029万公顷
1、某地区由于各种原因林地面积不断减少，已知xx年年底林地面积为10万公顷，从xx年起该林区进行开荒造林，五年统计结果如下表：
据此预测（表中数据可按精确到0.01万公顷进行考虑）
1、若不进行从xx年开始的开荒造林，那么xx年底，该林区的林地面积大约为多少万公顷？
2、如果林地面积按上述规律变化，那么到哪一年年底该林区林地总面积达10.2万公顷？
2、xx年春季，我国发生多起沙尘暴天气，严重危害人民群众的身心健康，沙尘暴主要是由土地沙漠化引起的.据调查某市1995年底有面积为公顷的沙漠，从1996年起，由于人为因素和风的影响以后每年被沙漠化的土地相同.为了防止沙尘暴，减少土地沙漠化，该市从1996年起在沙漠上植树造林，并且以后每年比上一年多植相同面积的树木，据统计，每年沙漠总面积及每年植树面积如图所示，试写出第年年底（从1996年起）沙漠面积与的关系.
3、根据递推关系解数列应用题
例6、一个热气球在第一分钟里上升325米高度，在以后的每一分钟内上升的高度都是它前一分钟上升高度的80%，这个热气球最多能上升_________米。
例7、1991年，某内河可供船只航行的河段长100千米，但由于水资源的过度使用，促使河水断流，从1992年开始，该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的三分之二，试求
（1）到xx年，该内河可行驶的河段长度为多少？
（2）若有一条船每年在该内河上行驶一个来回，问从1991年到xx年这条船航行的总路程为多少公里？
例8、林场荒山3250亩，每年春季在山上植树造林，第一年植树100亩，计划每年比上一年多植树50亩（假设全部成活）
（1）问需要几年，可将此山全部绿化？
（2）已知新种树苗每亩的木材量是，树木每年自然增长率为，设荒山全部绿化后年底的木材总量为,则约为多少万立方米？
例4．某地区位于沙漠边缘地带，到xx年底全县的绿化率只有30%，从xx年开始，计划将每年原有沙漠面积的16%栽树改造为绿洲，而同时，原有绿洲面积的又被侵蚀变为沙漠.
（1）设该地区的面积为1，xx年底绿洲面积为，经过一年绿洲面积为，经过年绿洲面积为，求证：
；
（2）问至少需要经过多少年的努力才能使该地区的绿洲面积超过60%（年数取整数）？
练习：
某生产流水线，由于改进了设备，预计第一年产量的增长率为160%，以后每年的增长率是前一年的一半，设原来的产量是.
（1）写出改进设备后的第一年，第二年，第三年的产量，并写出第年与第年（）的产量之间的关系.
（2）由于设备不断老化，估计每年损失年产量的5%，如此下去，以后每年的产量是否始终是逐年提高？
若是，请给与证明；若不是，请说明从第几年起，产量将比上一年减少？
等差、等比数列知识要点
等差数列
等比数列
函数概念
定义
特征
通
项
通项
公式
求解
方法
函数
关系
前
n
项
和
求和
公式
求解
方法
函数
关系
二者关系
判
定
证
明
1
定义
定义
2
函数关系
函数关系
3
前n项和的函数关系
4
是等差数列，公差为d，则
←→是等差数列，公差为
是等比数列，公比为q，则
为等比数列，公比为
5
是等差数列，公差为d，则
为等差数列，公差为
是等比数列，公比为q，为前n项积，则为等比数列，公比为
6
是等差数列，公差为d，则
是等差数列，公差为
是等差数列，公差为
是等比数列，公比为q，则
是等比数列，公比为
是等比数列，公比为
7
若是正项等比数列，则是等差数列
若是等差数列，则是正项等比数列
8
是等差数列，公差分别为，
则是等差数列，公差为
是等比数列，公比分别为
则是等比数列，公比为
等差数列
等比数列
性
质
单
调
性
项间关系
之间的关系：
之间的关系：
求公差：
求公比：
如果，则的关系：
如果，则的关系：
中
项
关
系
等差中项定义：
等比中项定义：
之间的关系：
之间的关系：
如果m,n,p成等差数列，则的关系：
如果m,n,p成等差数列，则的关系：
首
尾
项
关
系
等距性：
等距性：
与中间项的关系：
与中间项的关系：
常
用
的
题目
插数
问题
奇数项偶数项
奇数项和，偶数项和，公差为d，则
1、若等差数列有2n项，则
+=-==
2、若等差数列有2n+1项，则
+=-==
奇数项和，偶数项和，公比为q，则
若等比数列有2n项，则
+=-=
=
常用
设法
三项
四项
《数列》章节测试题
（出题：
王虎）
一、填空题（下面四个选项中只有一个正确答案，请将其写在题后的答案框内，每小题4分）
1、下列说法正确的是（）
A、数列的首项是，则
B、等差数列的前n项和为和项数n组成的数列是等差数列
C、等比数列的前n项和为和项数n组成的数列是等比数列
D、如果数列的前n项和满足
，则为等差数列
2、已知数列的通项公式，若使此数列的前n项和最大，则n的值为（）
A、12B、13C、12或13D、14
3、等比数列的前4项和1，前8项和17，则它的公比为（）A、2B、-2C、2或-2D、2或-1
4、
（）A、B、C、D、
5、一个无穷数列的前三项是1，2，3，下列可以作为其通项公式的是（）
A、B、C、D、
6、已知成等差数列，成等比数列，那么等于（）
A、B、C、或D、
7、正数a、b中插入三数组成等比数列，则该三个数的乘积是（）A、B、C、D、
8、已知等差数列,中，其前n项和分别为，若，则（）
A、B、C、D、
9、设，若关于x的方程和的四个根可以组成首项为的等差数列，则的值为（）A、B、C、D、
10、数列中，首项
，则数列（）
A、24B、12C、6D、14
二、选择题（请将正确答案写在题后的横线上，每小题5分）
11、已知等差数列中，，__________
12、已知等差数列中，
，则___________
13、在项数是的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于_______
14、已知数列满足，，则数列的通项公式为__________
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
三、解答题（请将正确答案写在题后空白处，共三大题，共40分）
15、（本小题12分）等比数列中，，，求：
（1）数列的通项公式
（2）数列的前n项和。
16、（本小题12分）已知数列的前n项和为，且，，求的通项公式。
17、（本小题16分）已知数列的前n项和
（1）求的通项公式；
（2）证明数列是等差数列；（3）求使得最小的序号n的值；（4）求数列的前n项和。
选做：
（每小题15分）
18、已知关于x的二次方程
的根满足，
（1）试用表示；
（2）求证：
是等比数列；（3）当时，求数列的通项公式。
19、已知数列的前n项和为，，且
，求的通项公式。
数列综合测试题（理科用）
（出题：
高桂珍）
一、选择题（每个5分，共50分）
1、等比数列{}，则公比=（）
2、等差数列{}的公差是，若成等比数列，则（）
3、等比数列{}有，则（）
4、
，则（）
5、等比数列{}有，，则（）A、B、C、D、
6、三内角成等差数列，且三边成等比数列，则形状（）
等腰三角形等腰直角三角形直角三角形不确定
7、是等差数列{}的前项和，若则（）
8、等比数列前项和，若，，成等差数列，则公比（）
或不确定
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