工业机器人技术第3章　工业机器人运动学和动力学.pptx

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第3章工业机器人运动学和动力学,第3章工业机器人运动学和动力学工业机器人的运动学工业机器人的动力学并联机器人的运动学及动力学工业机器人的运动轨迹规划,第3章工业机器人运动学和动力学,3.1工业机器人的运动学工业机器人位姿描述点的位置描述如图3.1所示，在直角坐标系A中，空间任一点P的位置可用（31）的位置矢量AP表示为其中，px、py、pz是点P的三个位置坐标分量。

（3.1）,第3章工业机器人运动学和动力学,图3.1,点的位置描述,第3章工业机器人运动学和动力学2.点的齐次坐标如果用4个数组成的（41）列阵表示三维空间直角坐标系A中点P，则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标，如下：

齐次坐标并不是唯一的，当列阵的每一项分别乘以一个,非零因子时，即,（3.2）,（3.3）,第3章工业机器人运动学和动力学3.坐标轴方向的描述用i、j、k来表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的单位向量，用齐次坐标来描述X、Y、Z轴的方向，则有规定：

列阵abc0T中第四个元素为零，且a2+b2+c2=1,表示某轴（或某矢量）的方向；列阵abcT中第四个元素不为零，则表示空间某点的位置。

第3章工业机器人运动学和动力学例如，在图3.2中，矢量v的方向用（41）列阵表示为矢量v所坐落的点为坐标原点，表示为当=60，=60，=45时，矢量为,第3章工业机器人运动学和动力学,图3.2,坐标轴方向的描述,第3章工业机器人运动学和动力学4.动坐标系位姿的描述动坐标系位姿的描述就是用位姿矩阵对动坐标系原点位置和坐标系各坐标轴方向的描述，该位姿矩阵为（44）的方阵，如上述直角坐标系可描述为：

（3.4）,第3章工业机器人运动学和动力学5.刚体位姿的描述机器人的每一个连杆均可视为一个刚体，若给定了刚体上某一点的位置和该刚体在空中的姿态，则这个刚体在空间上是唯一确定的，可用唯一一个位姿矩阵进行描述。

如图3.3所示，设OXYZ为与刚体Q固连的一个坐标系，称为动坐标系。

刚体Q在固定坐标系OXYZ中的位置可用齐次坐标形式表示为,第3章工业机器人运动学和动力学,图3.3,刚体的位姿,体的位姿表示为（44）矩阵：

第3章工业机器人运动学和动力学令n、o、a分别为X、Y、Z坐标轴的单位方向矢量，即刚（3.5）,（3.6）,第3章工业机器人运动学和动力学6.手部位姿的描述机器人手部的位姿如图3.4所示，可用固连于手部的坐标系B的位姿来表示。

坐标系B由原点位置和三个单位矢量唯一确定，即原点：

取手部中心点为原点OB；接近矢量：

关节轴方向的单位矢量a；姿态矢量：

手指连线方向的单位矢量o；法向矢量：

n为法向单位矢量，同时垂直于a、o矢量，即n=oa。

第3章工业机器人运动学和动力学手部位姿矢量为从固定参考坐标系OXYZ原点指向手部坐标系B原点的矢量p。

手部的位姿可由（44）矩阵表示：

（3.7）,第3章工业机器人运动学和动力学,图3.4,机器人手部的位姿,第3章工业机器人运动学和动力学7.目标物位姿的描述任何一个物体在空间的位置和姿态都可以用齐次矩阵来表示，如图3.5所示。

楔块Q在（a）图的情况下可用6个点描述,矩阵表达式为,（3.8）,第3章工业机器人运动学和动力学若让其绕Z轴旋转90，记为Rot（z，90）；再绕Y轴旋转90，即Rot（y，90），然后再沿X轴方向平移4，即Trans（4，0，0），则楔块成为（b）图位姿，其齐次矩阵表达式为,用符号表示对目标物的变换方式可以记录物体移动的过,程，也便于矩阵的运算，所以应该熟练掌握。

（3.9）,第3章工业机器人运动学和动力学,图3.5目标物的位姿（a）楔块的初始姿态；（b）楔块绕Z轴旋转90后的姿态,第3章工业机器人运动学和动力学齐次变换及运算平移的齐次变换如图3.6所示为空间某一点在直角坐标系中的平移，由A（x，y，z）平移至A（x，y，z），即或写成（3.10）,（3.11）,第3章工业机器人运动学和动力学,图3.6,点在直角坐标系中的平移,第3章工业机器人运动学和动力学,记为：

a=Trans（x，y，z）a其中，Trans（x，y，z）称为平移算子，x、y、z分别表示沿X、Y、Z轴的移动量。

即（3.12）,第3章工业机器人运动学和动力学注：

算子左乘：

表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐标变换。

算子右乘：

表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。

该公式亦适用于坐标系的平移变换、物体的平移变换，如机器人手部的平移变换。

第3章工业机器人运动学和动力学2.旋转的齐次变换点在空间直角坐标系中的旋转如图3.7所示，A（x，y，z）绕Z轴旋转角后至A（x，y，z），A与A之间的关系为,（3.13）,第3章工业机器人运动学和动力学,图3.7,点在空间直角坐标系中的旋转,第3章工业机器人运动学和动力学推导如下：

因A点是绕Z轴旋转的，所以把A与A投影到XOY平面内，设OA=r，则有同时有,其中，=+，即,（3.14）,（3.15）,（3.16）,第3章工业机器人运动学和动力学,所以所以由于Z坐标,不变，因此有,（3.17）,（3.18）,（3.19）,第3章工业机器人运动学和动力学写成矩阵形式为记为：

其中，绕Z轴,a=Rot（z，）a旋转算子左乘是相对于固定坐标,（3.21）,（3.20）系，即,第3章工业机器人运动学和动力学,同理，,（3.22）,（3.23）,第3章工业机器人运动学和动力学图3.8所示为点A绕任意过原点的单位矢量k旋转角的情况。

kx、ky、kz分别为k矢量在固定参考坐标轴X、Y、Z上的三个分量，且。

可以证明，其旋转齐次变换矩阵为,（3.24）,第3章工业机器人运动学和动力学,图3.8,点的一般旋转变换,第3章工业机器人运动学和动力学注：

该式为一般旋转齐次变换通式，概括了绕X、Y、Z轴进行旋转变换的情况。

反之，当给出某个旋转齐次变换矩阵，则可求得k及转角。

变换算子公式不仅适用于点的旋转，也适用于矢量、坐标系、物体的旋转。

左乘是相对固定坐标系的变换；右乘是相对动坐标系的变换。

3.平移加旋转的齐次变换平移变换和旋转变换可以组合在一起，计算时只要用旋转算子乘上平移算子即可实现在旋转上加平移，在此不多赘述。

第3章工业机器人运动学和动力学工业机器人的连杆参数和齐次变换矩阵连杆参数及连杆坐标系的建立以机器人手臂的某一连杆为例，如图3.9所示，连杆n两端有关节n和n+1。

描述该连杆可以通过两个几何参数：

连杆长度和扭角。

由于连杆两端的关节分别有其各自的关节轴线，通常情况下这两条轴线是空间异面直线，那么这两条异面直线的公垂线段的长an即为连杆长度，这两条异面直线间的夹角n即为连杆扭角。

第3章工业机器人运动学和动力学,图3.9,连杆的几何参数,第3章工业机器人运动学和动力学如图3.10所示，相邻杆件n与n1的关系参数可由连杆转角和连杆距离描述。

沿关节n轴线两个公垂线间的距离dn即为连杆距离；垂直于关节n轴线的平面内两个公垂线的夹角n即为连杆转角。

这样，每个连杆可以由4个参数来描述，其中两个是连杆尺寸，两个表示连杆与相邻连杆的连接关系。

当连杆n旋转时，n随之改变，为关节变量，其他3个参数不变；当连杆进行平移运动时，dn随之改变，为关节变量，其他3个参数不变。

确定连杆的运动类型，同时根据关节变量即可设计关节运动副，从而进行整个机器人的结构设计。

已知各个关节变量的值，便可从基座固定坐标系通过连杆坐标系的传递，推导出手部坐标系的位姿形态。

第3章工业机器人运动学和动力学,图3.10,连杆的关系参数,第3章工业机器人运动学和动力学建立连杆坐标系的规则如下：

连杆n坐标系的坐标原点位于n+1关节轴线上，是关节n+1的关节轴线与n和n+1关节轴线公垂线的交点；Z轴与n+1关节轴线重合；X轴与公垂线重合，从n指向n+1关节；Y轴按右手法则确定。

连杆参数与坐标系的建立如表3.1所示。

第3章工业机器人运动学和动力学,表3.1,连杆参数及坐标系,第3章工业机器人运动学和动力学2.连杆坐标系之间的齐次变换矩阵各连杆坐标系建立后，n1系与n系间变换关系可用坐标系的平移、旋转来实现。

从n1系到n系的变换步骤如下：

令n1系绕Zn1轴旋转n角，使Xn1与Xn平行，算子为Rot（z,n）；沿Zn1轴平移dn，使Xn1与Xn重合，算子为Trans（0,0,dn）；沿Xn轴平移an，使两个坐标系原点重合，算子为Trans（an,0,0）；绕Xn轴旋转n角，使得n1系与n系重合，算子为Rot（x,n）。

该变换过程用一个总的变换矩阵An来表示连杆n的齐次变换矩阵为：

第3章工业机器人运动学和动力学,第3章工业机器人运动学和动力学工业机器人的运动学方程机器人运动学方程通常把描述一个连杆坐标系与下一个连杆坐标系间相对关系的齐次变换矩阵叫Ai变换矩阵，简称Ai矩阵。

如A1矩阵表示第一个连杆坐标系相对固定坐标系的位姿；A2矩阵表示第二个连杆坐标系相对第一个连杆坐标系的位姿；Ai表示第i个连杆相对于第i1个连杆的位姿变换矩阵。

那么，第二个连杆坐标系在固定坐标系中的位姿可用A1和A2的乘积来表示，即：

T2=A1A2（3.26）,第3章工业机器人运动学和动力学依此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵:

T6=A1A2A3A4A5A6,（3.27）,该等式称为机器人运动学方程。

方程右边为从固定参考系到手部坐标系的各连杆坐标系之间变换矩阵的连乘；方程左边T6表示这些矩阵的乘积，即机器人手部坐标系相对于固定参考系的位姿。

分析该矩阵：

前3列表示手部的姿态；第四列表示手部中心点的位置。

可写成如下形式：

（3.28）,第3章工业机器人运动学和动力学2.正向运动学及实例正向运动学主要解决机器人运动学方程的建立及手部位姿的求解，即已知各个关节的变量，求手部的位姿。

如图3.11所示，SCARA装配机器人的3个关节轴线是相互平行的，0、1、2、3分别表示固定坐标系、连杆1的动坐标系、连杆2的动坐标系、连杆3的动坐标系，分别坐落在关节1、关节2、关节3和手部中心。

坐标系3即为手部坐标系。

连杆运动为旋转运动，连杆参数n为变量，其余参数均为常量。

该机器人的参数如表3.2所示。

第3章工业机器人运动学和动力学,图3.11SCARA装配机器人的坐标系（a）坐标系一；（b）坐标系二,第3章工业机器人运动学和动力学,表3.2,SCARA装配机器人连杆参数,第3章工业机器人运动学和动力学该平面关节型机器人的运动学方程为T3=A1A2A3（3.29）其中：

A1连杆1的坐标系相对于固定坐标系的齐次变换矩阵；A2连杆2的坐标系相对于连杆1坐标系的齐次变换矩阵；A3手部坐标系相对于连杆2坐标系的齐次变换矩阵。

第3章工业机器人运动学和动力学T3为手部坐标系（即手部）的位姿，由于其可写成（44）的矩阵形式，即可得向量p、n、o、a，把1、2、3代入即可。

如图3.11（b）所示，当转角变量分别为1=30，2=60，3=30时，则可根据平面关节型机器人运动学方程求解出运动学正解，即手部的位姿矩阵表达式,（3.33）,第3章工业机器人运动学和动力学3.反向运动学及实例反向运动学解决的问题是：

已知手部的位姿，求各个关节的变量。

在机器人的控制中，往往已知手部到达的目标位姿，需要求出关节变量，以驱动各关节的电机，使手部的位姿得到满足，这就是运动学的反向问题，也称逆运动学。

如图3.12所示，以6自由度斯坦福（STANFORD）机器人为例，其连杆坐标系如图3.13所示，设坐标系6与坐标系5原点重合，其运动学方程为：

T6=A1A2A3A4A5A6（3.34）现在给出T6矩阵及各杆参数a、d,求关节变量16，其中3=d3。

第3章工业机器人运动学和动力学其中，A1为坐标系1，相当于固定坐标系O的Z0轴旋转1，然后绕自身坐标系X1轴做1的旋转变换，1=90,所以,（3.35）,第3章工业机器人运动学和动力学,图3.12,斯坦福（STANFORD）机器人,第3章工业机器人运动学和动力学,图3.13斯坦福（STANFORD）机器人的连杆坐标系（a）连杆坐标系一；（b）连杆坐标系二；（c）连杆坐标系三,出,第3章工业机器人运动学和动力学只要列，在式（3.34）两边分别左乘运动学方程，即可得展开方程两边矩阵，对应项相等，即可求得1，同理可顺次求得2、3、6等。

上述求解的过程称为分离变量法，即将一个未知数由矩阵方程的右边移向左边，使其与其他未知数分开，解出这个未知数，再把下一个未知数移到左边，重复进行，直到解出所有的未知数。

第3章工业机器人运动学和动力学应该注意，求解逆解时可能存在的问题有：

解不存在或解的多重性。

由于旋转关节的活动范围很难达到360，仅为360的一部分，即机器人都具有一定的工作区域，当给定手部位置在工作区域外时，则解不存在。

实际上，由于关节的活动范围的限制，机器人有多组解时，可能有某些解不能达到。

一般来说，非零的连杆参数越多，达到某一目标的方式越多，运动学逆解的数目越多。

所以，应该根据具体情况，在避免碰撞的前提下，按“最短行程”的原则来择优，即使每个关节的移动量最小。

又由于工业机器人连杆的尺寸大小不同，因此应遵循“多移动小关节,少移动大关节”的原则。

第3章工业机器人运动学和动力学,3.2工业机器人的动力学工业机器人速度分析工业机器人速度雅可比矩阵数学上，雅可比矩阵（JacobianMatrix）是一个多元函数的偏导矩阵。

假设有六个函数，每个函数有六个变量，即,（3.36）,第3章工业机器人运动学和动力学,可写成,Y=F（X）将其微分，得可简写成,（3.37）,第3章工业机器人运动学和动力学对于工业机器人速度分析和静力分析中遇到类似的矩阵，我们称为机器人的雅可比矩阵，简称雅可比。

以2自由度平面关节机器人为例，如图3.14所示，机器人的手部坐标（x,y）相对于关节变量（1,2）有即（3.38）,（3.39）,第3章工业机器人运动学和动力学,图3.14,2自由度平面关节机器人,第3章工业机器人运动学和动力学,求微分有写成矩阵为令,（3.40）,（3.41）,（3.42）,第3章工业机器人运动学和动力学则式（3.41）可简写为dX=Jd,由此可求得对于n自由度机器人，关节变量q=q1q2qnT,当关节为转动关节时，qi=i；当关节为移动关节时，qi=di,则dq=dq1dq2X=X（q）可知,dqnT反映关节空间的微小运动。

由dX=J（q）dq（3.44）,（3.43）,第3章工业机器人运动学和动力学,12,量分别记为J、J，则,2.工业机器人速度分析把式（3.44）两边各除以dt，得或若把J（q）矩阵的有V=J11+J22，说关节不动而某一关节,第1列与第2列矢明机器人速度雅运动时产生的端,（3.45）,可比的每一列表示其他点速度。

（3.46）,第3章工业机器人运动学和动力学2自由度手部速度为若已知关节上与是时间的函数，则可求出该机器人手部在某一时刻的速度V=f（t），即手（3部.4瞬7）时速度。

反之，给定机器人手部速度，可由解出相应的关节速度，式中J1为机器人逆速度雅可比矩阵。

第3章工业机器人运动学和动力学逆速度雅可比J1出现奇异解的情况如下：

工作域边界上的奇异。

机器人手臂全部伸开或全部折回时，叫奇异形位，该位置产生的解称为工作域边界上的奇异。

工作域内部奇异。

机器人两个或多个关节轴线重合引起的奇异，当出现奇异形位时，会产生退化现象，即在某空间某个方向（或子域）上，不管机器人关节速度怎样选择，手部也不可能动。

第3章工业机器人运动学和动力学工业机器人静力学分析操作臂中的静力如已知外界环境对机器人最末杆的作用力和力矩，则可以先分析最后一个连杆对上一个连杆的力和力矩，依次递推，直到分析完第一个连杆对机座的力和力矩，从而计算出每个连杆上的受力情况。

操作臂中单个杆件受力分析如图3.15所示。

第3章工业机器人运动学和动力学,图3.15,操作臂中单个杆件受力分析,第3章工业机器人运动学和动力学利用静力平衡条件，杆上所受合力和合力矩为零。

为方便表示手部端点的力和力矩，可写成一个6维矢量：

的驱动力或力矩,各关节驱动器式，即,可写成一个n维矢量的形（3.48）,（3.49）,第3章工业机器人运动学和动力学2.机器人力雅可比矩阵假定关节无摩擦，忽略各杆件的重力，则有=JTF（3.50）证明：

如图3.16所示，各个关节的虚位移组成机器人关节虚位移矢量qi；末端操作器的虚位移矢量为X，由线虚位移d矢量和角虚位移矢量组成。

（3.51）,（3.52）,第3章工业机器人运动学和动力学,图3.16,关节及末端操作器的虚位移,第3章工业机器人运动学和动力学,设发生上述虚位移时，各关节力为i（i=1，2，n）,环境作用在机器人手部端点上的力和力矩分别为fn,n+1和nn,n+1由上述力和力矩所做的虚功可以由下式求出：

W=1q1+2q2+nqnfn,n+1dnn,n+1W=TqFTX,（3.53）或写成（3.54）,根据虚位移原理，机器人处于平衡状态的充分必要条件是对任意的符合几何约束的虚位移，有W=0,又因dX=Jdq,代入得,W=TqFTX=TqFTJq=（JTF）Tq,（3.55）式中，q,表示几何上允许位移的关节独立变量，对任意的q，欲使W=0成立，必有=JTF（3.56）,第3章工业机器人运动学和动力学3.机器人静力计算的两类问题从操作臂手部端点力F与广义关节力矩之间的关系式=JTF可知，操作臂静力计算可分为两类：

已知外界对手部作用力F，求满足静力平衡条件的关节驱动力矩（=JTF）。

已知关节驱动力矩，确定机器人手部对外界环境的作用力F或负荷质量（逆解，即求解F=（JT）1）。

当自由度n6时，力雅可比可能不是方阵，JT没有逆解,一般情况下不一定能得到唯一的解。

、,第3章工业机器人运动学和动力学工业机器人动力学分析动力学分析的两类问题工业机器人动力学分析的两类问题是：

给出已知的轨迹点的关节变量、，即机器人的关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量，用以实现对机器人的动态控制；已知关节驱动力矩，求机器人系统的相应的各瞬时的运动，用于模拟机器人运动。

分析机器人动力学的方法很多，有拉格朗日方法、牛顿-欧拉方法、高斯方法、凯恩方法等。

其中，拉格朗日方法不仅求解复杂的系统动力学方程简单，而且容易理解。

第3章工业机器人运动学和动力学2.拉格朗日方程首先，定义拉格朗日函数是一个机械系统的动能EK和势能EP之差，即,L=EKEP由于系统的动能EK是广义关节变量qi,和,（3.57）的函数，系统,和,势能EP是qi的函数，因此，拉格朗日函数L也是qi的函数。

机器人系统的拉格朗日方程为（3.58）,第3章工业机器人运动学和动力学那么，用拉格朗日法建立机器人动力学方程的步骤如下所述：

选取坐标系，选定独立的广义关节变量qi，i=1，2，n；选定相应的广义力Fi；求出各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数；代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。

第3章工业机器人运动学和动力学3.关节空间和操作空间动力学关节空间即n个自由度操作臂末端位姿X是由n个关节变量决定的，这n个关节变量叫n维关节矢量q，q所构成的空间称为关节空间。

操作空间即末端操作器的作业是在直角坐标空间中进行的，位姿X是在直角坐标空间中描述的，这个空间叫操作空间。

关节空间动力学方程为,其中,（3.59）,是（n1）离心力和哥氏力矢量，2自由度节机器人有,（3.61）,第3章工业机器人运动学和动力学对于n个关节的操作臂，D（q）是（nn）的正定对称矩阵,是q的函数。

如图3.17所示，2自由度平面关节机器人有平面关（3.60）,第3章工业机器人运动学和动力学G（q）是（n1）的重力矢量，与操作臂的形位q有关，2自由度平面关节机器人有式（3.59）是操作臂在关节空间中的动力学方程的一般形式，它反映了关节力矩与关节变量、速度、加速度之间（3的.62函）数关系。

第3章工业机器人运动学和动力学,图3.17,2自由度平面关节机器人,空间之间的关系可由以下三式求出：

第3章工业机器人运动学和动力学与关节空间动力学方程相对应，在笛卡尔操作空间中，可用直角坐标变量，即末端操作器的位姿矢量来表示机器人动力学方程。

操作空间动力学方程如下：

两个（3.63）（3.64）（3.65）（3.66）,第3章工业机器人运动学和动力学,3.3并联机器人的运动学及动力学并联机器人机构位置分析位置反解在串联机器人机构的位置分析中，正解比较容易，而反解比较困难；但在并联机器人机构的位置分析中，反解比较简单，而正解却十分复杂，这正是并联机器人机构分析的特点。

下面以6-SPS并联机构为例，讨论并联机构的位置反解方法。

第3章工业机器人运动学和动力学6-SPS并联机构（如图3.18所示）的上下平台以6个分支相连，每个分支两端是两个球铰，中间是一个移动副。

驱动器推动移动副移动，改变各杆的长度，从而改变平台在空间的位置和姿态。

当给定上平台在空间的位置和姿态时，求各个杆长，即各运动副的位移，这就是该机构的位置反解。

第3章工业机器人运动学和动力学,图3.186-SPS并联机构（a）机构简图；（b）坐标系示意图,第3章工业机器人运动学和动力学首先，在机构的上、下平台上各建立一个坐标系，如图3.18所示，动坐标系PXYZ建立在上平台上，坐标系OXYZ建立在下平台上。

在动坐标系中的任一向量R可以通过坐标变换方法变换到固定坐标系中R=TR+P（3.67）,第3章工业机器人运动学和动力学式中的T为平台姿势的方向余弦矩阵，其中的第1、2、3列分别为动坐标系的X、Y和Z在固定坐标系中的方向余弦，P为上平台选定的参考点矢量，即动坐标系的原点在固定坐标系中的位置矢量。

当给定机构的各个结构尺寸后,利用几何关系可以很容易地写出上、下平台各铰链点（bi，Bi,i=1，2，3，6）在各自坐标系中的坐标值，再由式（3.67）即可求出上、下平台铰链点在固定坐标系OXYZ中的坐标值。

这时，6个驱动器杆长矢量li（i=1，2，3，6），可在固定坐标系中表示为li=biBi，i=1，2，3，6（3.68）,第3章工业机器人运动学和动力学,或从而，得,到机构的位置反解计算方程为,（3.70）,（3.69）,第3章工业机器人运动学和动力学2.位置正解1）位置正解的数值方法由于并联机构结构的复杂性，位置正解的难度较大，其中一种比较有效的方法是采用数值方法求解一组非线性方程,从而求得与输入位移对应的动平台的位置和姿态。

数值法的优点是数学模型的建立相对容易，并且省去了繁琐的数学推导；可求解任何并联机构，并立即进行位置分析和后续的研究工作；应用比较方便，而且对那些尚未得到封闭解的并联机构，这种方法仍有重要的意义。

但这种方法的不足之处是计算速度比较慢，不能求得机构的所有位置解，并且最终的结果与初值的选取有直接的关系。

第3章工业机器人运动学和动力学式（3.67）中的矩阵T虽然有9个元素，但它们皆依赖于上平台的动坐标系相对于固定平台的定坐标系的3个独立的转角x、y、z，矩阵T的各元素可以具体写成,（3.71）,第3章工业机器人运动学和动力学式中，c（）=cos，s（）=sin。

因此确定上平台的位置和姿势的独立参数有6个，它们确定上平台动坐标系的原点位置的坐标Xp、Yp、Zp，以及确定上平台姿势的3个独立转角x、y、z。

上平台上的各铰链点在固定坐标系中的位置向量都可以表示成这6个独立参数的函数，即bi=fi（Xp，Yp，Zp，x，y，z）,i=1，2，3，6（3.72）当给定6个驱动器的位移li（i=1，2，3，6）后，为求上平台6个独立的输出参数，可以建立如下方程组：

（3.73）,第3章工业机器人运动学和动力学式（3.73）为含6个未知数、6个非线性方程的方程组，可以借助非线性方程组的解法从式（3.73）中解出6个未知数。

例如，若采用最小二乘法，则可以建立下面的目标函数数值算法将求解出使式（