北师大版七年级数学下册14整式的乘法公开课优质教案 2.docx
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北师大版七年级数学下册14整式的乘法公开课优质教案2
1.4整式的乘法
（二）
●教学目标
（一）教学知识点
1.经历探索单项式与多项式乘法的运算法则的过程，会进行简单的单项式与多项式的乘法运算.
2.理解单项式与多项式相乘的算理，体会乘法分配律及转化思想的作用.
（二）能力训练要求
1.发展有条理思考和语言表达能力.
2.培养学生转化的数学思想.
（三）情感与价值观要求
在探索单项式与多项式乘法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和勇气.
●教学重点
单项式与多项式相乘的乘法法则及应用.
●教学难点
灵活运用单项式与多项式相乘的乘法法则.
●教学方法
引导探索法.
●教具准备
投影片三张
第一张：
议一议，记作（§1.4.2A）
第二张：
例题，记作（§1.4.2B）
第三张：
练习，记作（§1.4.2C）
●教学过程
Ⅰ.提出问题，引入新课
［师］整式包括什么？
［生］单项式和多项式.
［师］整式的乘法，我们上一节课学习了其中的一部分——单项式与单项式相乘.你认为整式的乘法还应学习哪些内容呢？
［生］单项式与多项式相乘或多项式与多项式相乘.
［师］很好！
我们这节课就接着来学习整式的乘法——单项式与多项式相乘.
Ⅱ.利用面积的不同表示方式或乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，探索单项式与多项式相乘的乘法法则
出示投影片（§1.4.2A）——议一议
为支持北京申办奥运会，京京受画家的启发曾精心制作了两幅画，我们已欣赏过.宁宁也不甘落后，也作了一幅画，如图1－2：
（1）宁宁也作了一幅画，所用纸的大小与京京的相同，她在纸的左右两边各留了
x米的空白，这幅画的画面面积是多少？
一方面，可以先表示出画面的长与宽，由此得到画面的面积为；
另一方面，也可以用纸的面积减去空白处的面积，由此得到画面的面积为.
这两个结果表示同一画面的面积，所以.
（2）如何进行单项式与多项式相乘的运算？
［师］从“议一议”可知求出宁宁画的画面面积有两种方法.一种是直接用画面的长和宽来求；一种是间接地把画面的面积转化为纸的面积减去空白处的面积.下面我们就用这两种方法分别求出画面的面积.
［生］根据题意可知画面的长为（mx－
x－
x）即（mx－
x）米，宽为x米，所以画面的面积为x（mx－
x）米2.
［生］纸的面积为x·mx=mx2米2，空白处的面积为2x·
x=
x2米2，所以画面的面积为（mx2－
x2）米2.
［师］x（mx－
x）与mx2－
x2都表示画面的面积，它们是什么关系呢？
［生］它们应相等，即x（mx－
x）=mx2－
x2.
［师］观察上面的相等关系，等式左边是单项式x与多项式（mx－
x）相乘，而右边就是它们相乘后的最后结果，你能用乘法分配律、同底数幂的乘法性质来说明上面等式成立的原因吗？
［生］乘法分配律a（b+c）=ab+ac.所以x（mx－
x）就需用x去乘括号里的两项即mx和－
x,再把它们的积相加，即x（mx－
x）=x·（mx）+x·（－
x）=mx2－
x2.
［师］你能用上面的方法计算下面的式子吗？
3xy（x2y－2xy+y2）,并说明每一步的理由.
［生］3xy（x2y－2xy+y2）
=3xy·（x2y）+3xy·（－2xy）+3xy·y2——乘法分配律
=3x3y2－6x2y2+3xy3——单项式乘法的运算法则
［师］根据上面的分析，你能用语言来描述如何进行单项式与多项式相乘的运算吗？
［生］单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加.
［生］其实，单项式与多项式相乘，就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，这样新知识就转化成了我们学过的知识.
［师］看来，同学们已领略到了数学的“韵律”这种“转化”的思想是我们学习数学非常重要的一种思想.我们在处理一些问题时经常用到它，例如新知识学习转化为我们学过的、熟悉的知识；复杂的知识转化为几个简单的知识等.
我们通过画面面积的不同表达方法和乘法分配律，得出了单项式乘以多项式的运算法则：
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，下面我们来看它的具体运用.
Ⅲ.练一练，明确单项式乘多项式每一步的算理，体会由单项式与多项式相乘向单项式与单项式相乘的转化
出示投影片（§1.4.2B）
［例1］计算：
（1）2ab（5ab2+3a2b）;
（2）（
ab2－2ab）·
ab;
（3）－6x（x－3y）;
（4）－2a2（
ab+b2）.
解：
（1）2ab（5ab2+3a2b）
=2ab·（5ab2）+2ab·（3a2b）——乘法分配律
=10a2b3+6a3b2——单项式与单项式相乘
（2）（
ab2－2ab）·
ab
=（
ab2）·
ab+（－2ab）·
ab——乘法分配律
=
a2b3－a2b2——单项式与单项式相乘
（3）－6x（x－3y）
=（－6x）·x+（－6x）·（－3y）——乘法分配律
=－6x2+18xy——单项式与单项式相乘
（4）－2a2（
ab+b2）
=－2a2·（
ab）+（－2a2）·b2——乘法分配律
=－a3b－2a2b2——单项式与单项式相乘
［师］通过上面的例题，我们已明白每一步的算理.单项式与多项式相乘根据前面的练习，你认为需注意些什么.
［生］单项式与多项式相乘时注意以下几点：
1.积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同.
2.运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“+”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“+”连结，最后写成省略加号的代数和的形式.
［例2］计算：
6mn2（2－
mn4）+（－
mn3）2.
分析：
在混合运算中，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项.
解：
原式=6mn2×2+6mn2·（－
mn4）+
m2n6
=12mn2－2m2n6+
m2n6
=12mn2－
m2n6
［例3］已知ab2=－6,求－ab（a2b5－ab3－b）的值.
分析：
求－ab（a2b5－ab3－b）的值，根据题的已知条件需将ab2的值整体代入.因此需灵活运用幂的运算性质及单项式与多项式的乘法.
解：
－ab（a2b5－ab3－b）
=（－ab）·（a2b5）+（－ab）（－ab3）+（－ab）（－b）
=－a3b6+a2b4+ab2
=（－ab2）3+（ab2）2+ab2
当ab2=－6时
原式=（－ab2）3+（ab2）2+ab2
=［－（－6）］3+（－6）2+（－6）
=216+36－6
=246
Ⅳ.课时小结
［师］这节课我们学习了单项式与多项式的乘法，大家一定有不少体会.你能告诉大家吗？
［生］这节课我最大的收获是进一步体验到了转化的思想：
单项式与多项式相乘，根据乘方分配律可以转化成单项式与单项式相乘；而上节课我们学习的单项式与单项式相乘，根据乘法交换律和结合律又可转化成同底数幂乘法的运算，……
［师］同学们可回顾一下我们学过的知识，哪些地方也曾用过转化的思想.
［生］我们学习有理数运算的时候，就曾用过，例如有理数乘法法则就是利用同号得正，异号得负确定符号后，再把绝对值相乘，而任何数的绝对值都是非负数，因此有理数的乘法运算就是在确定符号后转化成0和正整数、正分数的运算.
［师］转化思想是我们数学学习中的一种非常重要的数学思想，在将来的学习中，他会成为我们的得力助手.
Ⅴ.课后作业
1.课本习题1.7第1、2题.
2.回顾转化思想在以前数学学习过程中的应用.
Ⅵ.活动与探究
已知A=987654321×123456789,
B=987654322×123456788.
试比较A、B的大小.
［过程］这么复杂的数字通过计算比较它们的大小，非常繁杂.我们观察就可发现A和B的因数是有关系的，如果借助于这种关系，用字母表示数的方法，会给解决问题带来方便.
［结果］设a=987654321,
a+1=987654322;
b=123456788,
b+1=123456789,则
A=a（b+1）=ab+a;
B=（a+1）b=ab+b.
而根据假设可知a>b,所以A>B.
●板书设计
§1.4.2整式的乘法
（二）
——单项式与多项式的乘法
一、议一议
1.用不同的方法表示画面的面积.
一方面，画面面积为x（mx－
x）米2；
一方面，画面面积为（mx2－
x2）米2.
所以x（mx－
x）=mx2－
x2
2.用乘法分配律等说明上式成立
x（mx－
x）
=x·（mx）+x·（－
x）——乘法分配律
=mx2－
x2——单项式与单项式相乘
综上所述，可得
单项式与多项式相乘
单项式与单项式相乘
再把积相加
二、练一练
例1.（由师生共同分析完成）
例2.（由师生共同分析完成）
例3.（由师生共同分析完成）
●备课资料
一、参考练习
1.选择题
（1）12（xmy）n－10（xny）m的结果是（其中m、n为正整数）（）
A.2xm－ynB.2xn－ym
C.2xmynD.12xmnyn－10xmnym
（2）下列计算中正确的是（）
A.3b2·2b3=6b6
B.（2×104）×（－6×102）=－1.2×106
C.5x2y·（－2xy2）2=20x4y5
D.（am+1）2·（－a）2m=－a4m+2（m为正整数）
（3）2x2y·（
－3xy+y3）的计算结果是（）
A.2x2y4－6x3y2+x2y
B.－x2y+2x2y4
C.2x2y4+x2y－6x3y2
D.－6x3y2+2x2y4
（4）下列算式中，不正确的是（）
A.（xn－2xn－1+1）·（－2xy）=－2xn+1y+4xny－2xy
B.（xn）n－1=x2n－1
C.xn（xn－2x－y）=x2n－2xn+1－xny
D.当n为任意自然数时，（－a2）2n=a4n
2.计算
（1）（－4xy3）·（－xy）+（－3xy2）2
（2）［2（x+y）3］·［5（x+y）k+2］2·［4（x+y）1－k］2
（3）（2xyz2）2·（－xy2z）+（－xyz）3·（5yz）·（－3z）
（4）（x3y2+x2y3+1）·（－3xy2）2·（－4xy）
（5）（x2+2xy+y2）·（xy）n
（6）－an+1b·（an－1bn－2anbn－1）
3.求证：
对于任意自然数n,代数式n（n+7）－n（n－5）+6的值都能被6整除.
答案：
1.
（1）D
（2）C（3）C（4）B
2.
（1）13x2y4
（2）800（x+y）9
（3）11x3y4z5
（4）－36x6y7－36x5y8－36x3y5
（5）xn+2yn+2xn+1yn+1+xnyn+2
（6）－a2nbn+1+2a2n+1bn+1+an+1b
3.（略）
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