数学建模古塔的变形.docx
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数学建模古塔的变形
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
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C
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）
日期：
2013年9月13日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
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人
评
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备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
对古塔变形问题的数学建模
摘要
中国古语有云，“救人一命胜造七级浮屠”，所谓浮屠也就是大众口中的“塔”。
在中国辽阔的大地上，古塔的踪影随处可见。
它们造型精美、结构巧妙，成为可多得的独特景观。
早起的古塔，主要是阁楼式的建筑，从唐朝经过两宋至辽、金，是我国古塔发展的高峰时期，特别是唐和两宋，古塔的建造达到了空前繁荣度，总量较以前大增，材料也更为丰富，除了木材和砖、石以外，还使用了铜、铁、琉璃等、材料上有木塔为主转为以石塔为主，平面则由四方形逐渐演变为六角和八角形。
由于古塔建造年代久远，碍于当时的科技技术，或多或少总存在一些问题，最常见的是地基不均匀沉降，从而导致塔体倾斜。
由于古塔建造的年代不同，地质情况千差万别，建造后所经历的人为破坏和自然力破坏也不尽相同，因此对古塔倾斜后处理与加固技术多种多样，归纳起来不外乎两类，即复位纠偏和加补强。
根据管理部门调查表，分别4次观测一个上千年的古塔在长时间承受自重、气温、风力，地震、飓风的影响下，古塔会产生各种变形，如倾斜、弯曲、扭曲等，为保护古塔变形情况，文物部门需要适时对古塔进行观测，了解各种变形情况，以制定必要的保护措施。
我们根据4次测量的数据，建立了古塔倾斜变形的预测模型。
根据这个模型，我们可以比较准确的预测出每一年的变形情况，然后根据情况文物部对其制定合理的保护措施。
针对问题1，我们首先要根据这几年来四次古塔的数据变化情况，用建模软件MATLAB制作成模型图，用数学建模中拟合的方法来画出塔的基本形状，再确定古塔每层的中心点，建立中心点拟合线方程模型，观察是否有倾斜、扭曲、变形等情况。
针对问题2，古塔倾斜的原因主要与日光照射、地基活动有关。
首先朝向阳面的地基水分较少，阴面的地基水分较多，于是1万多吨的塔，开始向水分较多，地基松软的方向倾斜。
另外大量的地下水开采影响了地基的稳固，而古塔附近的铁路运输，也会造成震动。
而且，受到地基的不均匀沉降、地震、大风等影响，都会有可能倾斜等变形情况。
针对问题3，根据管理部门委托的测绘公司的数据表来看，古塔每年都以很小的角度在偏移，由于各种人为或者自然原因，使得古塔慢慢的倾斜为斜塔，斜塔并不一定都会倒塌，只要塔的重心线（通过重心点所引的垂直线）还在塔的底面积范围内，塔就是安全的。
因此纠偏要根据每座塔的具体情况而定。
且一般来说，有些塔在倾斜的过程中，原本松软的地基会被渐渐压实，然后与倾斜角度构成新的平衡，便就此稳定下来。
关键词：
古塔变形变形趋势预测倾斜弯曲扭曲维护文物中心位置
0问题背景
在中国辽阔美丽的大地上，随处都可以看到古塔的踪影。
这些千姿百态的古塔，其造型之美，结构之巧，雕刻、装饰之华丽，均堪与我国其它种类的古代建筑相比。
然而，在我国早期的古代建筑物中有楼有阁，有台有榭，有廊有庑，有民居有桥梁有陵墓，唯独没有塔。
原来塔这种建筑并不是我国的固有类型，而是外国的一种建筑。
在传入我国以后，塔又和我国原有的建筑形式相结合，形成了一种具有中国民族传统特色的新的建筑类型。
由于古塔距今历史久远，期间经过各种风吹雨打，自然以及人为损坏，因此需要相关管理部门对古塔做测量，并且针对不同的变形情况制定不同的维护方法，以保证古塔的保留，防止历史建筑物的坍塌导致文化遗产的流逝与人员伤害。
1问题重述
古塔，是中国五千年文明史的载体之一，古塔为祖国城市山林增光添彩，塔被佛教界人士尊为佛塔。
矗立在大江南北的古塔，被誉为中国古代杰出的高层建筑。
但由于存在时间久远，受各方面影响，古塔的可能会发生变形。
如果不能及时发生古塔的变形，去及时维护，古塔就有可能遭受无法挽回的损失。
古塔的变形，由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。
为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。
管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。
请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：
问题1：
给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
问题2：
分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
问题3：
分析该塔的变形趋势。
2问题分析
由给出了的一个古塔实例以及相应数据（附件1，该实例古塔的4次观测数据）的条件下，要求建立该古塔的各层中心位置的通用方法，且列表给出各次测量的古塔各层的中心位置。
并进一步分析该古塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，最后分析该古塔的变形趋势。
问题1中要我们确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心位置。
首先，我们假设各测量点都是选取得科学合理的位置，都是围绕中心点的，并且同一层测量点大致在同一平面上，由已知数据（附件1）也可以看出它们是大致在同一平面上。
那么，我们由已知条件知道每层给出的各测量点的数据，我们通过画三维图形可以看出，那近似于一个的多边形，所以我们就可以把问题转变为求多边形的中心位置，然后记录各个中心位置坐标数据。
问题2中要我们分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
我们可以根据问题1中求得的各层的中心位置坐标，然后将各层的中心位置坐标，接连起来，观察它。
理论上正常古塔的中心位置坐标连线应该大致是一条垂直于X轴和Y轴平行Z轴的直线。
如果中心位置坐标连线，还是直线但不平行于Z轴了，说明该古塔发生了倾斜，如果中心位置坐标连线不是一条直线，而是一条有一个弧度的曲线，那么说明该古塔发生了弯曲，如果中心位置坐标连线不是一条直线，而是一条有多个弧度的曲线，那么说明该古塔发生了扭曲。
问题3要我们分析该塔的变形趋势时，我们通过分析每一个中心点的变化趋势，来判断整个塔的变形趋势，与预测古塔以后可能会发生的变形情况。
3模型假设
假设1：
各测量点都是选取的都是科学合理的位置。
假设2：
每层的测量点都是围绕着这一层的中心点。
假设3：
同一层测量点都大致在同一平面上。
假设4：
各层测量点构成的几何图形的中心是与这一层的中心位置相重合的。
假设5：
测量点的位置都是古塔上固定的位置。
4符号说明
-------------第
层中心；
--------------------层数
；
---------------------测量点标记
；
-------------
轴坐标；
-------------------
轴坐标；
------------------
轴坐标；
------------------拟合线
轴坐标；
------------------拟合线
轴坐标；
-------------------拟合线
轴坐标；
---------------------第
层中心的
轴坐标；
----------------------第
层中心的
轴坐标；
----------------------第
层中心的
轴坐标；
----------------------测量点数
----------------------时间
----------------------时间差
--------------------
坐标差
--------------------
坐标差
--------------------
坐标差
---------------------
真实值与计算的近似值之差
---------------------
真实值与计算的近似值之差
--------------------方程中的参数
-------------------------第
层的方程参数
5模型建立与求解
5.1确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出古塔各层中心坐标
根据几何中心计算方法，我们可以得出计算各层中心位置的通用方法。
即：
我们把每层的8个测量值，分别求x，y，z的均值，得到的坐标就是每层的中心位置。
表1：
1986年各层中心位置
楼层
中心位置坐标
x/m
y/m
z/m
1
566.6648
522.7105
1.7874
2
566.7196
522.6684
7.3202
3
566.7735
522.6273
12.7552
4
566.8161
522.5944
17.0783
5
566.8621
522.5591
21.7205
6
566.9084
522.5244
26.2351
7
566.9467
522.5081
29.8369
8
566.9843
522.4924
33.3509
9
567.0218
522.4764
36.8549
10
567.0569
522.4230
40.1721
11
567.1045
522.4230
44.4409
12
567.1518
522.3836
48.7119
13
567.0850
522.7403
52.8343
塔顶
567.2473
522.2437
55.1232
表1数据分析：
我们可以从表中发现，中心位置的x轴坐标，在逐渐增加，而y轴坐标在逐渐减少。
而正常的塔，理论而言，x轴和y轴坐标因该是不变的。
注：
表1数据的计算代码见附件5。
结论：
说明该古塔发生了倾斜变形。
表2：
1996年各层中心位置
层
中心位置坐标
x/m
y/m
z/m
1
566.6650
522.7102
1.7830
2
566.7205
522.6674
7.3146
3
566.7751
522.6256
12.7508
4
566.8183
522.5922
17.0751
5
566.8649
522.5563
21.7160
6
566.9118
522.5210
26.2295
7
566.9506
522.5042
29.8322
8
566.9884
522.4881
33.3454
9
567.0265
522.4714
36.8482
10
567.0620
522.4572
40.1676
11
567.1102
522.4173
44.4354
12
567.1578
522.3775
48.7074
13
567.0912
522.7340
52.8300
塔顶
567.2543
522.2366
55.1198
表2数据分析：
我们可以从表中发现，中心位置的x轴坐标，在逐渐增加，而y轴坐标在逐渐减少。
而正常的塔，理论而言，x轴和y轴坐标因该是不变的。
注：
表2数据的计算代码见附件5。
结论：
说明该古塔发生了倾斜变形。
表3：
2009年各层中心位置
层
中心位置坐标
x/m
y/m
z/m
1
566.7268
522.7015
1.7645
2
566.7640
522.6693
7.3090
3
566.8001
522.6384
12.7323
4
566.8293
522.6132
17.0697
5
566.8603
522.5866
21.7094
6
566.9471
522.5342
26.2110
7
566.9792
522.5123
29.8246
8
567.0305
522.4797
33.3398
9
567.0816
522.4466
36.8438
10
567.1370
522.3937
40.1611
11
567.1799
522.3547
44.4326
12
567.2225
522.3160
48.6998
13
567.2712
522.2715
52.8183
塔顶
567.336
522.2148
55.091
表3数据分析：
我们可以从表中发现，中心位置的x轴坐标，在逐渐增加，而y轴坐标在逐渐减少。
而正常的塔，理论而言，x轴和y轴坐标因该是不变的。
注：
表3数据的计算代码见附件5。
结论：
说明该古塔发生了倾斜变形。
表4：
2011年古塔各层中心位置坐标
层
中心位置坐标
x/m
y/m
z/m
1
566.7270
522.7014
1.7632
2
566.7462
522.6690
7.2905
3
566.8004
522.6387
12.7269
4
566.8297
522.6427
17.0520
5
566.8610
522.5860
21.7039
6
566.9478
522.5335
26.2045
7
566.9800
522.5115
29.8170
8
567.0313
522.4788
33.3366
9
567.0825
522.4457
36.8222
10
567.1381
522.3926
40.1441
11
567.1810
522.3535
44.4248
12
567.2238
522.3147
48.6838
13
567.2725
522.2701
52.8131
塔顶
567.3375
522.2135
55.087
表4数据分析：
我们可以从表中发现，中心位置的x轴坐标，在逐渐增加，而y轴坐标在逐渐减少。
而正常的塔，理论而言，x轴和y轴坐标因该是不变的。
注：
表4数据的计算代码见附件5。
结论：
说明该古塔发生了倾斜变形。
5.2分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况
我们由已知的空间直线的标准点向式方程
整理得直线射影式方程
其中
；
；
；
。
这样直线可以看作是用这2个方程表示的平面相交的直线，所以可以分别对2个方程进行数据拟合。
设
表示按拟合方程求得的近似值。
一般地，它不同于实测值
，两者之差
同理可得
当Q取最小值时a，b，c，d的值即为方程的系数，即满足下列方程时Q值最小。
有
令
方程组（6）可写成
其中：
根据n组数据点解方程组就可以得到a，b，c，d的值，也就可以得到拟合线方程。
然后我们就可以通过中心位置点拟合线和拟合线方程来判断，古塔是否已经发生倾斜，弯曲或扭曲。
（1）通过前的算法模型，我们建立出1986年中心位置拟合线方程为：
注：
a，b，c，d参数的计算代码见附件6。
图11986年古塔数据综合分析
分析1986年古塔变形情况：
通过观察图1的第4个子图，我们可以看出中心位置点基本上都是在拟合线上或附近的，说明我们的建立的模型正确的，是可靠性较高的模型。
我们通过分析表1中心点的位置坐标，中心点x坐标有逐层增加的趋势，y坐标有减小的趋势，然后结合拟合线方程和图4中的第1个子图，可知中心拟合线不与z轴平行，有向x轴数值增加方向倾斜。
我们再分析图1中的第3个子图，这是一个府视图，我们可以观察到古塔的测量点曲线图的曲线密集程度分布是不均匀的，也说明古塔发生变形。
注：
图1生成的代码见附件7。
结论：
综上分析我们可以得出古塔发生了倾斜变形，往x轴数值增加方向与y轴数值减少方向倾斜。
（2）通过前的算法模型，我们可以建立起1996年中心位置拟合线方程为：
注：
a，b，c，d参数的计算代码见附件6。
图21996年古塔数据综合分析
分析1996年古塔变形情况：
通过观察图2的第4个子图，我们可以看出中心位置点基本上都是在拟合线上或附近的，说明我们的建立的模型正确的，是可靠性较高的模型。
我们通过分析表2中心点的位置坐标，中心点x坐标有逐层增加的趋势，y坐标有减小的趋势，然后结合拟合线方程和图4中的第1个子图，可知中心拟合线不与z轴平行，有向x轴数值增加方向倾斜。
我们再分析图2中的第3个子图，这是一个府视图，我们可以观察到古塔的测量点曲线图的曲线密集程度分布是不均匀的，也说明古塔发生变形。
注：
图2生成的代码见附件7。
结论：
综上分析我们可以得出古塔发生了倾斜变形，往x轴数值增加方向与y轴数值减少方向倾斜。
（3）通过前的算法模型，我们可以建立起2009年中心位置拟合线方程为：
注：
a，b，c，d参数的计算代码见附件6。
图32009年古塔数据综合分析
分析2009年古塔变形情况：
通过观察图3的第4个子图，我们可以看出中心位置点基本上都是在拟合线上或附近的，说明我们的建立的模型正确的，是可靠性较高的模型。
我们通过分析表3中心点的位置坐标，中心点x坐标有逐层增加的趋势，y坐标有减小的趋势，然后结合拟合线方程和图4中的第1个子图，可知中心拟合线不与z轴平行，有向x轴数值增加方向倾斜。
我们再分析图3中的第3个子图，这是一个府视图，我们可以观察到古塔的测量点曲线图的曲线密集程度分布是不均匀的，也说明古塔发生变形。
注：
图3生成的代码见附件7。
结论：
综上分析我们可以得出古塔发生了倾斜变形，往x轴数值增加方向与y轴数值减少方向倾斜。
（4）通过前的算法模型，我们可以建立2011年中心位置拟合线方程为：
注：
a，b，c，d参数的计算代码见附件6。
图42011年古塔数据综合分析
分析2011年古塔变形情况：
通过观察图4的第4个子图，我们可以看出中心位置点基本上都是在拟合线上或附近的，说明我们的建立的模型正确的，是可靠性较高的模型。
我们通过分析表4中心点的位置坐标，中心点x坐标有逐层增加的趋势，y坐标有减小的趋势，然后结合拟合线方程和图4中的第1个子图，可知中心拟合线不与z轴平行，有向x轴数值增加方向倾斜。
我们再分析图4中的第3个子图，这是一个府视图，我们可以观察到古塔的测量点曲线图的曲线密集程度分布是不均匀的，也说明古塔发生变形。
注：
图4生成的代码见附件7。
结论：
综上分析我们可以得出古塔发生了倾斜变形，往x轴数值增加方向与y轴数值减少方向倾斜。
表5：
各层两次测量期间中心位置变化情况
1996-1986
2009-1996
2011-2009
变化量
1
0.0002
-0.0003
-0.0044
0.0618
-0.0087
-0.0185
0.0002
-0.0001
-0.0013
2
0.0009
-0.0010
-0.0056
0.0435
0.0019
-0.0056
-0.0178
-0.0003
-0.0185
3
0.0016
-0.0017
-0.0044
0.0250
0.0128
-0.0185
0.0003
0.0003
-0.0055
4
0.0022
-0.0022
-0.0032
0.0110
0.0210
-0.0054
0.0004
0.0295
-0.0177
5
0.0028
-0.0028
-0.0045
-0.0046
0.0303
-0.0066
0.0007
-0.0006
-0.0056
6
0.0034
-0.0034
-0.0056
0.0353
0.0132
-0.0185
0.0007
-0.0007
-0.0065
7
0.0039
-0.0039
-0.0047
0.0286
0.0081
-0.0076
0.0008
-0.0008
-0.0076
8
0.0041
-0.0043
-0.0055
0.0421
-0.0084
-0.0056
0.0008
-0.0009
-0.0032
9
0.0047
-0.0050
-0.0067
0.0551
-0.0248
-0.0044
0.0009
-0.0009
-0.0216
10
0.0051
0.0342
-0.0045
0.0750
-0.0635
-0.0065
0.0011
-0.0011
-0.0170
11
0.0057
-0.0057
-0.0055
0.0697
-0.0626
-0.0028
0.0011
-0.0012
-0.0078
12
0.0060
-0.0061
-0.0045
0.0647
-0.0615
-0.0076
0.0013
-0.0013
-0.0160
13
0.0062
-0.0063
-0.0043
0.1800
-0.4625
-0.0117
0.0013
-0.0014
-0.0052
塔顶
0.0070
-0.0071
-0.0034
0.0817
-0.0218
-0.0288
0.0015
-0.0013
-0.0040
表5数据分析：
首先我们分析z轴上的数据变化，我们从z轴数值变化可知，z轴数值一直都是在减少，说明该古塔的各层中心高度一直在降低，但各层间的减少量不一样，说明不是地基下沉引起的变化，说明该古塔一定有倾斜变形。
我们再分析下x轴上的数据变化，我们从x轴数值变化可知，该古塔的中心位置坐标的x轴坐标几乎都在增加，有明显的趋势，说明古塔有往x轴正方
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