初中数学最值问题集锦+几何地定值与最值.docx

初中数学最值问题集锦+几何地定值与最值.docx

《初中数学最值问题集锦+几何地定值与最值.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学最值问题集锦+几何地定值与最值.docx（12页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

初中数学最值问题集锦+几何地定值与最值

几何的定值与最值

几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：

分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．

几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：

1．特殊位置与极端位置法；

2．几何定理（公理）法；

3．数形结合法等．

注：

几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性（目标不明确），解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、

逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．

【例题就解】

【例1】如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，则CD长度的最小值为．

思路点拨如图，作CC′⊥AB于C，DD′⊥AB于D′，

DQ⊥CC′，CD2=DQ2+CQ2，DQ=

AB一常数，当CQ越小，CD越小，

本例也可设AP=

，则PB=

，从代数角度探求CD的最小值．

注：

从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：

（1）中点处、垂直位置关系等；

（2）端点处、临界位置等．

⌒

【例2】如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动，切点为T，圆交AC、BC于M、N，则对于所有可能的圆的位置而言，MTN为的度数（）

A．从30°到60°变动B．从60°到90°变动

C．保持30°不变D．保持60°不变

思路点拨先考虑当圆心在正三角形的顶点C时，

其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．

注：

几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，

动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变

化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，

研究的量取得定值与最值．

【例3】如图，已知平行四边形ABCD，AB=

，BC=

（

>

），P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q，求AP+BQ的最小值．

思路点拨设AP=

，把AP、BQ分别用

的代数式表示，运用不等式

（当且仅当

时取等号）来求最小值．

⌒

【例4】如图，已知等边△ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A、B的点M，设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N，证明：

线段AK和BN的乘积与M点的选择无关．

思路点拨即要证AK·BN是一个定值，在图形中△ABC

的边长是一个定值，说明AK·BN与AB有关，从图知AB为

△ABM与△ANB的公共边，作一个大胆的猜想，AK·BN=AB2，

从而我们的证明目标更加明确．

注：

只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．

【例5】已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形（∠Z=90°），它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC（∠C=90°）的三边上，求△ABC直角边长的最大可能值．

思路点拨顶点Z在斜边上或直角边CA（或CB）上，当顶点Z在斜边AB上时，取xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z在（AC或CB）上时，设CX=

，CZ=

，建立

，

的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．

注：

数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：

（1）利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；

（2）构造二次函数求几何最值．

学力训练

1．如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为，最小值为．

2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R（均不同于点O），则△PQR的周长的最小值为．

3．如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则

的最大值等于．

4．如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为（）

A．1B．

C．

D．

5．如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是（）

A．

B．

C．

D．

6．如图、已知矩形ABCD，R，P户分别是DC、BC上的点，E，F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）

A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小

C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定

7．如图，点C是线段AB上的任意一点（C点不与A、B点重合），分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．

（1）求证：

MN∥AB；

（2）若AB的长为l0cm，当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长?

若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由．

（2002年云南省中考题）

8．如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足，求证：

不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角．

9．已知△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F．

（1）当点P在线段AB上时（如图），求证：

PA·PB=PE·PF；

（2）当点P为线段BA延长线上一点时，第

（1）题的结论还成立吗?

如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由．

10．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是（）

A．8B．12C．

D．14

11．如图，AB是半圆的直径，线段CA上AB于点A，线段DB上AB于点B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是（）

A．

B．

C．

D．

12．如图，在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．

13．如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．

14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计（求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽），才能使矩形花坛的面积最大?

15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场（平面图如图所示）．其中，正方形MNPQ与四个相同矩形（图中阴影部分）的面积的和为800平方米．

（1）设矩形的边AB=

（米），AM=

（米），用含

的代数式表示

为．

（2）现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．

①设该工程的总造价为S（元），求S关于工的函数关系式．

②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?

若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．

③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务?

若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．

（镇江市中考题）

16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积（精确到1m2）．

参考答案