空间基本图形的公理.docx

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空间基本图形的公理

宝石学校活页课时教案（首页>

班级:

高一年级科目:

数学

周次

教案时间

2018年11月日

月教案序号

课题

1-5-2空间图形的公理

课型

新授

教案目标

（识记、理解应用、分析、创见>

知识目标：

在掌握五类位置关系的分类及其有关概念的基础上,继续学习和掌握平面的基本性质,即公理1,2,3.提高学生的归纳、类比能力.

能力目标：

通过对长方体的观察，直观的了解点线面的位置关系，感受数学来源与生活，培养和发展空间想象能力.

情感目标：

结合三种语言的相互转换，体会数学图形的直观美和数学语言的简洁美.

教案重点

及难点

教案重点:

4个公理和等角定理的应用.

教案难点:

空间图形的位置关系和公理的归纳.

教案方法

学法：

观察、思考、交流、讨论、概括。

教法：

“问题探究式”教案法。

教案反馈

板

书

设

计

1-5-2空间图形的公理

公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内>.

公理2经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面（即可以确定一个平面>.

公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.常常将平面α与平面β的公共直线即交线a记作α∩β=a.

公理4平行于同一条直线的两条直线平行.

定理空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

一、情境导入

1、导入

大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：

“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？

对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.b5E2RGbCAP

2、复习：

①为了直观地了解点、线、面的位置关系,我们先观察一个长方体.如图2.

该长方体中有几个顶点?

几条棱?

几个面?

图2

②观察图2所示的长方体,归纳空间点与直线的位置关系?

③归纳空间点与平面的位置关系?

④归纳空间两条直线的位置关系?

⑤归纳空间直线与平面的位置关系?

⑥归纳空间平面与平面的位置关系?

2、学习新课

1、提出问题

¢Ù把一根直尺边缘上的任意两点放在平整的桌面上,可以看到直尺边缘与桌面重合,这是显而易见的事实,用公理的形式把它表示出来.p1EanqFDPw

¢Ú在日常生活中,照相机的脚架,施工用的撑脚架,天文望远镜的脚架等都制成三个脚,这样,可以使这些物体放置得很平稳.我们知道,两点确定一条直线.那么怎样确定一个平面呢?

归纳出公理.DXDiTa9E3d

¢Û经过一条直线和这条直线外一点,可以确定一个平面吗?

经过两条相交直线,可以确定一个平面吗?

经过两条平行直线,可以确定一个平面吗?

¢Ü长方体表面中的任意两个面,要么平行,要么交于一条直线.其实空间任意两个不重合的平面都有这样的性质.那么,两个平面在什么情况下相交?

并归纳出公理.RTCrpUDGiT

¢Ý在平面内,平行于同一条直线的两条直线平行,那么在空间中呢?

¢Þ在平面内,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.（如图3,AO∥A′O′,BC∥B′O′,∠AOB和¡ÏA′O′B′相等,¡ÏAOC和¡ÏA′O′B′互补.>在空间中呢?

5PCzVD7HxA

图3

讨论结果:

¢Ù公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内>.

如图4,直线AB在平面¦Á内,记作直线AB

¦Á.

图4

¢Ú公理2经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面（即可以确定一个平面>.

如图5,经过不在同一条直线上的三点A,B,C的平面¦Á,又可记作¡°平面ABC”.

图5

¢Û上边三种情况都可以确定一个平面,把这三个结论通常看成平面的性质.

¢Ü公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.常常将平面¦Á与平面¦Â的公共直线即交线a记作¦Á¡É¦Â=a.jLBHrnAILg

¢Ý公理4平行于同一条直线的两条直线平行.

在图6的长方体中,a∥b,b∥c,不难看出a∥c.

图6

¢Þ在空间亦有:

定理空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

2、应用示例

例1在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.求证:

四边形EFGH是平行四边形.xHAQX74J0X

活动:

只需证明FG∥EH,且FG=EH即可.

证明:

如图7,连接BD.

图7

因为FG是¡÷CBD的中位线,

所以FG∥BD,FG=

BD.

又因为EH是¡÷ABD的中位线,

所以EH∥BD,EH=

BD.

根据公理4,FG∥EH,且FG=EH.

所以四边形EFGH是平行四边形.

变式训练

如图7,空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD.

求证:

四边形EFGH是菱形.

证明:

连接EH,因为EH是¡÷ABD的中位线,所以EH∥BD,且EH=

BD.

同理,FG∥BD,EF∥AC,且FG=

BD,EF=

AC.

所以EH∥FG,且EH=FG.

所以四边形EFGH为平行四边形.

因为AC=BD,

所以EF=EH.

所以四边形EFGH为菱形.

例2如图8（1>,将无盖正方体纸盒展开,直线AB,CD在原正方体中的位置关系是¡ª¤（>

A.平行B.相交且垂直C.异面直线D.相交成60°

解:

如图8（2>,将上面的展开图还原成正方体,点B与点D重合.容易知道AB=BC=CA,

从而¡÷ABC是等边三角形,所以选D.

图8

变式训练

图9表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有______________对.LDAYtRyKfE

图9

三、巩固训练

1、画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.

图15

2、已知¡÷ABC三边所在直线分别与平面¦Á交于P、Q、R三点，求证：

P、Q、R三点共线.

3、O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：

此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.Zzz6ZB2Ltk

图17

4、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.

图18

5、拓展提升

下列命题中正确的个数是（>

¢Ù若直线l上有无数个点不在平面¦Á内，则l∥α

¢Ú若直线l与平面¦Á平行，则l与平面¦Á内的任意一条直线都平行

¢Û如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行

¢Ü若直线l与平面¦Á平行，则l与平面¦Á内的任意一条直线都没有公共点

A.0B.1C.2D.3dvzfvkwMI1

图19

四、课堂小结

本节课学习了五种类型的位置关系,以及4个公理和等角定理,学习了两直线平行的判定方法.

五、作业

习题1—4A组4、5.

申明：

所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。