北师大版高中数学必修二学案第一章 41 空间图形基本关系的认识 42 空间图形的公理一.docx

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北师大版高中数学必修二学案第一章41空间图形基本关系的认识42空间图形的公理一

4．1　空间图形基本关系的认识

4．2　空间图形的公理

（一）

学习目标

　1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间的位置关系.2.会用符号表达点、线、面的位置关系.3.掌握空间图形的三个公理及其推论．

知识点一　空间图形的基本位置关系

对于长方体有12条棱和6个面．

思考1　12条棱中，棱与棱有几种位置关系？

思考2　棱所在直线与面之间有几种位置关系？

思考3　六个面之间有哪几种位置关系．

梳理　

位置关系

图形表示

符号表示

点与直线的位置关系

点A在直线a外

A∉a

点B在直线a上

B∈a

点与平面的位置关系

点A在平面α内

A∈α

点B在平面α外

B∉α

直线与直线的位置关系

平行

a∥b

相交

异面

a与b异面

直线与平面的位置关系

线在面内

线面相交

线面平行

平面与平面的位置关系

面面平行

面面相交

异面直线

不同在____________________的两条直线，叫作异面直线

知识点二　空间图形的公理

思考1　照相机支架只有三个脚支撑说明什么？

思考2　一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？

思考3　教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规律？

梳理　

（1）空间图形的公理

公理

内容

图形

符号

作用

公理1

如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线上__________都在这个平面内（即直线在______内）

________，________，且______，________⇒lα

用来证明直线在平面内

公理2

过______________________的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面）

A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α

用来确定一个平面

公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条__________________

________，________⇒α∩β＝l，且P∈l

用来证明空间的点共线和线共点

（2）公理2的推论

推论1：

一条直线和直线外一点确定一个平面（图①）．

推论2：

两条相交直线确定一个平面（图②）．

推论3：

两条平行直线确定一个平面（图③）．

类型一　文字语言、图形语言、符号语言的相互转化

例1　根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．

（1）点P与直线AB；

（2）点C与直线AB；

（3）点M与平面AC；

（4）点A1与平面AC；

（5）直线AB与直线BC；

（6）直线AB与平面AC；

（7）平面A1B与平面AC.

反思与感悟　

（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．

（2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

跟踪训练1　用符号语言表示下列语句，并画成图形．

（1）直线l经过平面α内两点A，B；

（2）直线l在平面α外，且过平面α内一点P；

（3）直线l既在平面α内，又在平面β内；

（4）直线l是平面α与β的交线，平面α内有一条直线m与l平行．

类型二　平面的基本性质的应用

例2　如图，已知：

aα，bα，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：

PQα.

引申探究

将本例中的两条平行线改为三条，即求证：

和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内．　

反思与感悟　在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：

（1）纳入法：

先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．

（2）重合法：

先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合．

跟踪训练2　已知：

如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：

直线l1，l2，l3在同一平面内．

例3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：

CE、D1F，DA三线交于一点．

反思与感悟　

（1）点共线：

证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．

（2）三线共点：

证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．

跟踪训练3　已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：

P，Q，R三点共线．

1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是（　　）

A.A∈l，l∉αB.A∈l，l

α

C.Al，l∉αD.Al，l

α

2．满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线aα，直线bβ且a∥AB，b∥AB的图形是（　　）

3．下列推理错误的是（　　）

A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒lα

B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB

C.l

α，A∈l⇒A∉α

D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合

4．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（　　）

A．点AB．点B

C．点C但不过点MD．点C和点M

5．如图，在△ABC中，若AB，BC在平面α内，判断AC是否在平面α内．

1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．

2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　相交，平行，既不平行也不相交．

思考2　棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交．

思考3　平行和相交．

梳理　a∩b＝O　aα　a∩α＝A　a∥α

α∥β　α∩β＝a　任何一个平面内

知识点二

思考1　不在同一直线上的三点确定一个平面．

思考2　直尺在桌面上．

思考3　这些公共点在同一直线上．

梳理　

（1）两点　所有的点　平面　A∈l

B∈l　A∈α　B∈α　不在一条直线上　通过这个点的公共直线　P∈α　P∈β

题型探究

例1　解　

（1）点P∈直线AB.

（2）点C∉直线AB.

（3）点M∈平面AC.

（4）点A1∉平面AC.

（5）直线AB∩直线BC＝点B.

（6）直线AB平面AC.

（7）平面A1B∩平面AC＝直线AB.

跟踪训练1　解　

（1）A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，如图．

（2）l

α，P∈l，P∈α.如图

（3）lα，lβ.如图．

（4）α∩β＝l，mα，m∥l.如图．

例2　证明　因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线aβ，点P∈β.因为P∈b，bα，所以P∈α.又因为aα，所以α与β重合，所以PQα.

引申探究

解　已知：

a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.

求证：

a，b，c和l共面．

证明：

如图，∵a∥b，

∴a与b确定一个平面α.

∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.

又∵A∈l，B∈l，∴lα.

∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，

同理lβ.

∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，

由公理2的推论知：

经过两条相交直线有且只有一个平面，

∴平面α与平面β重合，

∴a，b，c和l共面．

跟踪训练2　证明　方法一　（纳入平面法）

∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.

∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.

又∵l2α，∴B∈α.同理可证C∈α.

∵B∈l3，C∈l3，∴l3α.

∴直线l1，l2，l3在同一平面内．

方法二　（辅助平面法）

∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.

∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.

∵A∈l2，l2α，∴A∈α.

∵A∈l2，l2β，∴A∈β.

同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.

∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．

∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．

例3　证明　

如图，连接EF，D1C，A1B.

∵E为AB的中点，F为AA1的中点，

∴EF綊

A1B.

又∵A1B綊D1C，

∴EF綊

D1C，

∴E，F，D1，C四点共面，

∴D1F与CE相交，设交点为P.

又∵D1F平面A1D1DA，

CE平面ABCD，

∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．

又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，

根据公理3，可得P∈DA，

即CE、D1F、DA相交于一点．

跟踪训练3　证明　方法一　∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.

又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.

∴由公理3可知：

点P在平面ABC与平面α的交线上，

同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P、Q、R三点共线．

方法二　∵AP∩AR＝A，

∴直线AP与直线AR确定平面APR.

又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.

∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，

∴Q∈PR，∴P、Q、R三点共线．

当堂训练

1．B　2.D　3.C　4.D

5．解　AC在平面α内．因为AB在平面α内，所以A∈α.

又BC在平面α内，所以C∈α，所以AC在平面α内．