空间图形的基本关系与公理.docx

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空间图形的基本关系与公理

8-2空间图形的基本关系与公理

基础巩固

一、选择题

1．（文）已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C，A′、B′、C′分别在PA、PB、PC上，若延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点（　　）

A．成钝角三角形　　　　　B．成锐角三角形

C．成直角三角形D．在一条直线上

[答案]　D

[解析]　D、E、F为已知平面与平面A′、B′、C′的公共点，由公理3知，D、E、F共线．

（理）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的（　　）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件

[答案]　A

[解析]　若有三点共线于l，当第四点在l上时共面，当第四点不在l上时，l与该点确定一个平面α，这四点共面于α；若四点共面，则未必有三点共线．

2．（2011·四川理，3）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（　　）

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

[答案]　B

[解析]　本题主要考查空间直线的位置关系，Al1与l2可能异面，相交，则A不对；B正确；C可形成3个平面；D　l1、l2、l3共点可形成3个平面，故选B.

3．若直线l不平行于平面α，且l⃘α，则（　　）

A．α内的所有直线与l异面

B．α内不存在与l平行的直线

C．α内存在唯一的直线与l平行

D．α内的直线与l都相交

[答案]　B

[解析]　本题考查了线面、线线关系问题．

由题意可得，l与α相交，则α内不存在与l平行的直线；

（反证法）假若∃mα，则m∥l，

又∵l⃘α，∴l∥α这与l不平行平面α相矛盾．

故假设错误．

4．已知m、n为异面直线，m平面α，n平面β，α∩β＝l，则l（　　）

A．与m、n都相交

B．与m、n中至少一条相交

C．与m、n都不相交

D．与m、n中的一条直线相交

[答案]　B

[解析]　若m、n都不与l相交，

∵mα，nβ，∴m∥l、n∥l，

∴m∥n∥l，这与m、n为异面直线矛盾，

故l与m、n中至少一条相交．

5．（文）已知a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中：

①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；

②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；

③若α⊥β，α∩β＝a，bβ，a⊥b，则b⊥α；

④若aα，bα，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确命题的序号是（　　）

A．①②③B．①③

C．②③D．①②③④

[分析]　本题是研究直线与平面的平行与垂直关系的问题，解答时注意选择合适的图形来说明，还要能举出反例．

[答案]　C

[解析]　①错误，三个平面可以两两相交且交线互相平行；④错误，a，b相交时结论才成立．

（理）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE与FD1所成角的余弦值等于（　　）

A.

　　　B.

　　　C.

　　　D.

[答案]　B

[解析]　取C1D1的中点G，连OG，GE，易知∠GOE就是两直线OE与FD1所成的角或所成角的补角．

在△GOE中由余弦定理知cos∠GOE＝

＝

＝

.

6．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2，直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

[分析]　本题借助平面的基本性质，考查了逻辑推理及立体几何知识，还考查了空间想象能力以及数形结合思想．

[答案]　C

[解析]　

如图，α1∥α2∥α3，l与α1，α2，α3分别交于点P1，P2，P3；作P3F⊥α1，且P3F与α2交于点E，则FE＝d1，EP3＝d2.

根据“两平行平面与一平面相交所得的交线平行”得P1F∥P2E，则

＝

，显然“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的充分必要条件．

二、填空题

7．下面四个命题：

①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；

②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；

③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；

④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.

其中真命题的序号是________．

[答案]　③

[解析]　①a，c可能相交、平行或异面；②a，c可能相交、平行或异面；③正确．④a，c可能相交，平行或异面．

8．（文）对于空间三条直线，有下列四个条件：

①三条直线两两相交且不共点；

②三条直线两两平行；

③三条直线共点；

④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．

其中，使三条直线共面的充分条件有________．

[答案]　①④

[解析]　①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面内；

②中可有线和平面平行；

③中直线最多可确定3个平面；

④同①.

（理）如图，在四面体ABCD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是________．

[答案]　30°

[解析]　

取AD的中点H.连接FH、HE.

则EH∥CD，FH∥AB，∴∠FEH为EF、CD所成角，

∴EF⊥FH，EH＝2，

又FH＝1，

∴∠FEH＝30°.∴EF与CD所成的角为30°.

三、解答题

9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.

求：

（1）AB与B1C所成的角；

（2）AB与B1D的距离．

[解析]　

（1）∵AB∥CD，∴∠B1CD为AB和B1C所成的角，

∵DC⊥平面BB1C1C，

∴DC⊥B1C，

于是∠B1CD＝90°，

∴AB与B1C所成的角为90°.

（2）∵AB∥CD，AB⃘平面B1DC，DC平面B1DC，

∴AB∥平面B1DC，

从而AB与B1D的距离即为AB与平面B1DC的距离，

连接BC1交BC于O点，

易知BO⊥B1C，BO⊥CD，

∴BO⊥平面B1DC，

∴BO的长为B到平面B1DC的距离，

∵BO＝

，

∴AB与B1D的距离为

.

能力提升

一、选择题

1．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：

①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；

②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；

③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；

④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．

其中真命题是（　　）

A．②③④B．①③④

C．①②④D．①②③

[答案]　C

[解析]　本题考查了立体几何中点线面之间的位置关系的判定，在解题过程中采用了反证的思想，多做有益假设便于做出判断，如①若还能作一条线，则两相交线确定一平面，从而证明AB，B1C1共面与它们异面矛盾，从而假设不正确，①正确，②④也是同样的方法证明．

2．（文）对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（　　）

A．aα，bαB．aα，b∥α

C．a⊥α，b⊥αD．aα，b⊥α

[答案]　B

[解析]　a、b异面时，A错，C错；若D正确，则必有a⊥b，故排除A、C、D，选B.

（理）一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：

①AB⊥EF；②AB与CM成60°的角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.其中正确的是（　　）

A．①②B．③④

C．②③D．①③

[答案]　D

[解析]　如图，画出折叠后的正方体后，由正方体的性质知①③正确，故选D.

二、填空题

3．（2012·丰台模拟）已知线段AB、CD分别在两条异面直线上，M、N分别是线段AB、CD的中点，则MN________

（AC＋BD）（填“>”，“<”或“＝”）．

[答案]　<

[解析]　如图所示，四边形ABCD是空间四边形，而不是平面四边形，要想求MN与AB、CD的关系，必须将它们转化到平面来考虑．我们可以连接AD，取AD的中点为G，再连接MG、NG，在△ABD中，M、G分别是线段AB、AD的中点，则MG∥BD，且MG＝

BD，同理，在△ADC中，NG∥AC，且NG＝

AC，又根据三角形的三边关系知，MN

BD＋

AC＝

（AC＋BD）．

4．（文）a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a平面α，b平面β，则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是________（只填序号）．

[答案]　①

[解析]　由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a与b相交，b与c相交，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；aα，bβ，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．

（理）如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，

①GH与EF平行；

②BD与MN为异面直线；

③GH与MN成60°角；

④DE与MN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

[答案]　②③④

[解析]　还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.

三、解答题

5．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD上的点，请回答下列问题：

（1）满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？

（2）满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？

（3）满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？

[分析]　四边形是平行四边形、矩形、正方形，首先转化为线线平行问题，而证线线平行或用平面几何的方法也可用公理4.

[解析]　本题是一个开放性问题．

（1）E、F、G、H为所在边的中点时，四边形EFGH为平行四边形．证明如下：

∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH∥BD，且EH＝

BD.

同理，FG∥BD，且FG＝

BD，从而EH∥FG，且EH＝FG，

所以四边形EFGH为平行四边形．

一般地

＝

＝

＝

时四边形EFGH为平行四边形．

（2）

＝

＝

＝

且BD⊥AC时，四边形EFGH为矩形．

（3）当E、F、G、H为所在边的中点且BD⊥AC，AC＝BD时，四边形EFGH为正方形．

[点评]　上述答案并不唯一，如当AEAB＝AHAD＝CFCB＝CGCD时，四边形EFGH也为平行四边形．

6．（文）（2011·江苏，16）

如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．

求证：

（1）直线EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD.

[解析]　证明：

（1）在△PAD中，因为E、F分别为AP、AD的中点，所以EF∥PD.

又因为EF⃘平面PCD，PD平面PCD.

所以直线EF∥平面PCD.

（2）连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.

因为平面PAD⊥平面ABCD，

BF平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.

又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.

（理）已知空间四边形ABCD的对角线AC＝10，BD＝6，M，N分别是AB，CD的中点，MN＝7.求异面直线AC与BD所成的角．

[解析]　如图，取BC的中点E，连接EM，EN，因为M，N分别是AB，CD中点，

所以EM∥AC，EN∥BD.

所以∠MEN就是异面直线AC与BD所成的角或所成角的补角．

在△MEN中，由余弦定理得cos∠MEN＝

＝

＝－

，

又因为异面直线所成角的范围是（0,90°]，所以异面直线AC与BD所成的角为60°.

7.

如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点．求异面直线A1E与GF所成角的大小．

[解析]　连接B1G，EG，B1F，CF.

∵E、G是棱DD1、CC1的中点，

∴A1B1綊EG.

∴四边形A1B1GE是平行四边形．

∴B1G∥A1E.

∴∠B1GF（或其补角）就是异面直线A1E与GF所成的角．

在Rt△B1C1G中，B1C1＝AD＝1，C1G＝

AA1＝1，

∴B1G＝

.在Rt△FBC中，BC＝BF＝1，

∴FC＝

.

在Rt△FCG中，CF＝

，CG＝1，∴FG＝

.

在Rt△B1BF中，BF＝1，B1B＝2，∴B1F＝

，在△B1FG中，B1G2＋FG2＝B1F2，

∴∠B1GF＝90°.

因此，异面直线A1E与GF所成的角为90°.