1三角形的证明.docx

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1三角形的证明

课题

1.1.1等腰三角形

课型

新授

授课时间

月日（第周星期）

教

学

目

标

1．知识与技能：

理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理；熟悉证明的基本步骤和书写格式．

2．过程与方法：

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；

鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平．

3．情感态度与价值观：

启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯．

教学重点

探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法

教学难点

明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等

教学方法

六环节教学法

教学过程

教学内容与师生活动（教学环节、设计意图）

一、创设情境，展示目标：

回顾旧知导出公理

活动内容：

提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：

1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等，那么这两条直线平行；

2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；

3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；

5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；

在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：

1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；

2.回忆全等三角形的性质。

活动目的：

经过一个暑假，学生难免有所遗忘，因此，在第一课时，回顾有关内容，既是对前面学习内容的一个简单梳理，也为后续有关证明做了知识准备；证明这个推论，可以让学生熟悉证明的基本要求和步骤，为后面的其他证明做好准备。

二、自学指导，自主探究：

活动内容：

在提问：

“等腰三角形有哪些性质？

以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？

并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？

”的基础上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。

具体操作中，可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足。

活动目的：

通过折纸活动过程，获得有关命题的证明思路，并通过进一步的整理，再次感受证明是探索的自然延伸和发展，熟悉证明的基本步骤和书写格式。

三、分组讨论，合作探究：

活动内容：

在学生小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上两个个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生挑选其一证明.其后，教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法，给学生明晰证明过程。

（1）等腰三角形的两个底角相等；

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合

活动目的：

和学生一起完成性质定理的证明，可以让学生自主经历命题的证明过程；明晰证明过程，意图给学生明晰一定的规范，起到一种引领作用；活动2，则是前面命题的直接推论，力图让学生形成拓广命题的意识，同时也是一个很好的巩固练习。

四、交流展示，精讲点拨：

活动内容：

学生自主完成P4第2题：

如图（图略）,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD，

（1）求证：

△ABD是等腰三角形；

（2）求∠BAD的度数。

活动目的：

巩固全等三角形判定公理的应用，复习等腰三角形“等边对等角”的用法。

五、当堂训练，反馈巩固：

一、

填空题

1．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝44°，则∠B＝度．

2．已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长等于．

3．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，延长BC到D，使CD＝AC，则∠CDA＝度.

4．如图，已知AB＝AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝．

5．等腰直角三角形中，若斜边为16，则直角边的长为．

二、选择题

6．一个正三角形的边长为a，它的高是（）

A．

aB．

aC．

aD．

a

7．至少有两边相等的三角形是（）

A．等边三角形B．等腰三角形

C．等腰直角三角形D．锐角三角形

8．如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则（）

A．l垂直ABB．l平分AB

C．l垂直平分ABD．l与AB的关系不能确定

9．等腰三角形的对称轴有（）

A．1条B．2条C．3条D．1条或3条

10．正三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（）

A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形

三、解答题

11．已知：

如图，点D是△ABC内一点，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：

AD平分∠BAC．

第11题图

12．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和11厘米两部分，求此三角形的底边长．

六、总结梳理，拓展延伸：

活动内容：

让学生畅谈收获，包括具体结论以及其中的思想方法等。

活动目的：

形成及时总结语反思的意识与习惯，提高学生能力。

板书设计

1.1.1等腰三角形定理的推导过程

一、公理：

二、等腰三角形的性质

课后反思

课题

1.1.2等腰三角形

课型

新授

授课时间

月日（第周星期）

教

学

目

标

1．知识与技能：

探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性．

2．过程与方法：

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性；在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：

对称性，发展学生的几何直觉．

3．情感态度与价值观：

鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲；体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．

教学重点

经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论．

教学难点

证明的基本步骤和书写格式

教学方法

六环节教学法

教学过程

教学内容与师生活动（教学环节、设计意图）

一、创设情境，展示目标：

活动内容：

在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：

在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一些相等的线段吗?

你能证明你的结论吗?

活动目的：

回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力。

二、自学指导，自主探究：

活动内容：

在等腰三角形中自主作出一些线段（如角平分线、中线、高等），观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。

活动目的：

让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。

活动目的：

通过折纸活动过程，获得有关命题的证明思路，并通过进一步的整理，再次感受证明是探索的自然延伸和发展，熟悉证明的基本步骤和书写格式。

三、分组讨论，合作探究：

通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出：

等腰三角形两个底角的平分线相等；

等腰三角形腰上的高相等；

等腰三角形腰上的中线相等．

并对这些命题给予多样的证明。

四、交流展示，精讲点拨：

活动内容：

提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？

并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：

在课本图1—4的等腰三角形ABC中，

（1）如果∠ABD=

∠ABC，∠ACE=

∠ACB呢?

由此，你能得到一个什么结论?

（2）如果AD=

AC，AE=

AB，那么BD=CE吗?

如果AD=

AC，AE=

AB呢?

由此你得到什么结论?

活动目的：

提高学生变式能力、问题拓广能力，发展学生学习的自主性。

五、当堂训练，反馈巩固：

在探索得到了等边三角形的性质的基础上，让学生独立完成以下练习。

如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.

求证:

AE=CD

活动意图：

在巩固等边三角形的性质的同时，进一步掌握综合证明法的基本要求和步骤，规范证明的书写格式。

六、总结梳理，拓展延伸：

本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段，并由特殊结论归纳出一般结论。

板书设计

1.1.2等腰三角形例题

一、公理：

等腰三角形的性质

课后反思

课题

1.1.3等腰三角形

课型

新授

授课时间

月日（第周星期）

教

学

目

标

1．知识与技能：

探索等腰三角形判定定理，理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明；了解反证法的基本证明思路，并能简单应用．

2．过程与方法：

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力以及逆向思维能力．

3．情感态度与价值观：

鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲；体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．

教学重点

理解等腰三角形的判定定理

教学难点

反证法的应用

教学方法

六环节教学法

教学过程

教学内容与师生活动（教学环节、设计意图）

一、创设情境，展示目标：

复习引入：

活动过程：

通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。

问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？

这个命题的题设和结论分别是什么？

二、自学指导，自主探究：

活动内容：

问题2.我们是如何证明上述定理的？

问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？

活动意图：

设计是问题串是为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔。

学生独立思考是对上节课内容有效地检测手段。

三、分组讨论，合作探究：

活动过程与效果：

教师：

上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径．例如“等边对等角”，反过来成立吗?

也就是：

有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?

[生]如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了．

[师]你是如何想到的?

[生]由前面定理的证明获得启发，比如作BC的中线，或作A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．

[师]很好．同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨论．

[生]我们组发现，如果作BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，但无法用公理和已证明的定理证明它们全等．因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，是不能够判断两个三角形全等的．后两种方法是可行的．

[师]那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来．（教师可让两个同学在黑板上演示，并对推理证明过程讲评）

（证明略）

[师]我们用“反过来”思考问题，获得并证明了一个非常重要的定理——等腰三角形的判定定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形．这一定理可以简单叙述为：

等角对等边．我们不仅发现了几何图形的对称美，也发现了数学语言的对称美．

四、交流展示，精讲点拨：

活动过程与效果：

我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结论．如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗?

我们一起来“想一想”：

小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?

如果成立，你能证明它吗?

有学生提出：

“我认为这个结论是成立的．因为我画了几个三角形，观察并测量发现，如果两个角不相等，它们所对的边也不相等．但要像证明“等角对等边”那样却很难证明，因为它的条件和结论都是否定的．”的确如此．像这种从正面人手很难证明的结论，我们有没有别的证明思路和方法呢?

我们来看一位同学的想法：

如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与Ac要么相等，要么不相等．

假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC

你能理解他的推理过程吗?

再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△AB∠A+∠B+∠C=180°,“∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．

引导学生思考：

上一道面的证法有什么共同的特点呢?

引出反证法。

都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法．

接着用“反过来”思考问题的方法获得并证明了等腰三角形的判定定理“等角对等边”，最后结合实例了解了反证法的含义．

五、当堂训练，反馈巩固：

活动过程与效果：

将书中的随堂练习提前到此，是为了及时巩固判定定理。

引导学生进行分析。

已知：

如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．

求证：

AB=AC．

证明：

∵AD∥BC，

∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），

∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．

∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．

∴AB=AC（等角对等边）．

1.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长..

2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数?

六、总结梳理，拓展延伸：

（1）本节课学习了哪些内容？

（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？

（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系．

（4）举例谈谈用反证法说理的基本思路

板书设计

1.1.3等腰三角形例题

一、等腰三角形的性质定理

二、等腰三角形的判定定理

三、反证法

课后反思

课题

1.1.4等腰三角形

课型

新授

授课时间

月日（第周星期）

教

学

目

标

1．知识与技能：

理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题．

2．过程与方法：

经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维；经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力．

3．情感态度与价值观：

积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

教学重点

等边三角形判定定理的发现与证明；含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明

教学难点

含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明；引导学生全面、周到地思考问题

教学方法

六环节教学法

教学过程

教学内容与师生活动（教学环节、设计意图）

一、创设情境，展示目标：

活动内容：

教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：

等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？

又如何判别一个三角形是等腰三角形呢？

从而引入新课。

活动目的：

开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫。

二、自学指导，自主探究：

你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?

你能证明你的结论吗?

把你的证明思路与同伴交流．

（教师应给学生自主探索、思考的时间）

三、分组讨论，合作探究：

活动内容：

学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：

等腰三角形（含等边三角形）性质判定的条件

等边对等角等角对等边

“三线合一”即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合有一角是60°

等边三角形三个角都相等，且每个角都是60°三个角都相等的三角形是等边三角形

活动目的：

经历定理的探究过程，即明确有关定理，同时提高学生的自主探究能力。

四、交流展示，精讲点拨：

活动内容：

教师直接提出问题：

我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：

含30°角的直角三角形。

拿出三角板，做一做：

用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?

能拼出一个等边三角形吗?

在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？

说说你的理由．

活动目的：

让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

五、当堂训练，反馈巩固：

活动1：

直接提请学生思考刚才命题的逆命题：

在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°吗?

如果是，请你证明它．

在师生分析的基础上，给出证明：

已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=

AB．

求证：

∠BAC=30°

证明：

延长BC至D，使CD=BC，连接AD.

∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．

又∵AC=AC．

∴△ACB≌△ACD（SAS）．

∴AB=AD．

∵CD=BC，∴BC=

BD．

又∵BC=

AB，∴AB=BD．

∴AB=AD=BD，

即△ABD是等边三角形．

∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．

活动2：

呈现例题，在师生分析的基础上，运用所学的新定理解答例题。

[例题]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高CD的长.

分析：

观察图形可以发现在Rt△ADC中，AC=2a而∠DAC是△ABC的一个外角，而∠DAC=2×15°=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD．

解：

∵∠ABC=∠ACB=15°

∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°

∴CD=

AC=

×2a=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．

活动目的：

在例题求解中巩固新知。

六、总结梳理，拓展延伸：

让学生对课堂学习进行小结，注意总结具体的知识、结论，以及解决问题的方法和蕴含其中的思想，如分类讨论思想、逆向思维等。

板书设计

1.1.4等腰三角形例题

一、等边三角形的性质定理

二、等边三角形的判定定理

课后反思

课题

1.2.1直角三角形

课型

新授

授课时间

月日（第周星期）

教

学

目

标

1．知识与技能：

掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题；结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．

2．过程与方法：

进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维；进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．

3．情感态度与价值观：

积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

教学重点

了解勾股定理及其逆定理的证明方法；结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．

教学难点

勾股定理及其逆定理的证明方法．

教学方法

六环节教学法

教学过程

教学内容与师生活动（教学环节、设计意图）

一、创设情境，展示目标：

通过问题1，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质。

[问题1]一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少?

B1C1呢?

解：

在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm，

∴BC＝

AB＝

×10＝5cm．

∵CB1⊥AB，∴∠B+∠BCB1＝90°

又∵∠A+∠B＝90°

∴∠BCB1＝∠A＝30°

在Rt△ACB1中，BB1＝

BC＝

×5＝2.5cm．

∴AB1＝AB＝BB1＝10-2.5＝7.5（cm）．

∴在Rt△C1AB1中，∠A＝30°

∴B1C1＝12AB1＝

×7.5＝3.75（cm）．

解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的“30°角的直角三角形的性质”．由此提问：

“一般的直角三角形具有什么样的性质呢?

”从而引入勾股定理及其证明。

二、自学指导，自主探究：

教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗?

请同学们打开课本P18，阅读“读一读”，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理，证明勾股定理的方法．

三、分组讨论，合作探究：

阅读完毕后，针对“读一读”中使用的两种证明方法，着重讨论第一种，第二种方法请有兴趣的同学课后阅读．

（1）．勾股定理及其逆定理的证明．

已知：

如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．

求证：

a2+b2＝c2．

证明：

延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE（如图），

则△ABC≌△BED．

∴∠BDE＝90°，ED＝a（全等三角形的对应角相等，对应边相等）．

∴四边形ACDE是直角梯形．

∴S梯形ACDE＝0.5（a+b）（a+b）＝0.5（a+b）2．

∴∠ABE＝180°－（∠ABC＋∠EBD）＝180°－90°＝90°，

AB＝BE．

∴S△ABE＝0.5c2

∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，

∴0.5（a+b）2＝0.5c2+0.5ab+0.5ab，

即0.5a2+ab+0.5b2＝0.5c2+ab，

∴a2+b2＝c2

教师用多媒体显示勾股定理内容，用课件演示勾股定理的条件和结论，并强调．具体如下：

勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗?

师生共同来完成．

已知：

如图：

在△ABC中，AB2+AC2＝BC2

求证：

△ABC是直角三角形．

分析：

要从边的关系，推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角（构造的三角形的直角）相等，可证．

证明：

作Rt△A′B′C′，使∠A′＝