变量代换方法在求解微分方程中的应用.docx
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变量代换方法在求解微分方程中的应用
变量代换方法在求解微分方程中的应用
在微分方程的理论中，变量代换方法有着广泛的应用。
通过对原方程的变量或因变量用新的变量代换，使原方程化为相对容易解的方程类型，从而达到快捷求解的目的。
然而，值得注意的是，不同的类型的方程，其采用的变量代换可能不尽相同，本文对各种变量代换方法在求解微分方程中应用进行讨论和总结。
2变量代换方法在几类微分方程求解中的应用
定义1如果一阶微分方程具有形式dy=f（x）g（y），则该方程称为可分离变量微分方程.
若设g（y）H0，则可将方程化为"gd^j=f（x）dx.即将两个变量分离在等式两端.
其特点是：
方程的一端只含有y的函数与dy，另一端只含有x的函数与dx.对于该类程,我们通常采用分离变量的方法来处理。
例1求微分方程/=2xy的通解.
解因为一=2xy，分离变量，一=2xdx，两端积分，In|y|=x2+C，|yex^1
dxdx
所以y=±eX七.令c=±eC1，于是y=CeX为所求.
注：
以后为了方便，可将ln|y|就写成Iny，注意结果中C可正可负.
对于上面的例子，我们可以采用分离变量的方法来求解，而有些方程虽然不是变量
分离方程，但是可以通过适当的变量代换，转换为分离变量方程。
对于新方程应用分离变量的方法，求出通解后再带回原变量就可以得到其通解。
如何寻求恰当的变量代换将给定的方程化为分离变量方程，没有一般的方法，但是对于一些特殊类型的方程，这种变量代换却有固定的形式。
下面介绍几类这样的方程。
2.1一阶齐次方程
1.形如dy=f（ax+by）的齐次方程（其中a,b（bHO））为常数）dx
作变量代换，U=ax+by可将方程化为分离变量方程，将u=ax+by和詈a+b2代入方程，整理后可得：
齐…⑴）
例2解方程（2y+x+1dx-（4y+2x+3dy=0解将方程整理后可得
dy（2y+x）+1
dx"2（2y+x）+3
故令U=2y+x，带入后可得
也=一q分离变量后，两边积分可得
dx2u+3
ln|4u+q+4u=8x+C再代回原变量，得方程的通解为
ln|4u+rn+4u=8x+C
2.形如dx
fyy
=f-的齐次方程
pl..
x—f（u）-u此时方dx
lx丿
作变量代换u＜，则齐u+燈，代回原方程，整理后可得
程转化为分离变量方程，故可求出其通解。
解方程业=^1解
dx3x+2y
令uf可得y=ux，代入方程得xdu
2—『）分离变量,
-2u+3
再积分，化简整理可得
（u-1）x4=c（u+1）,再代回原变量，得原方程的通解
（（y-xi=c（y+x»
2.2
该类型还可以推广到形如
dx
xgxfVxJ
伯努利方程
形如巴+p（x）y=Q（x）yn（n工0,1）①的方程称为伯努力方程。
dx
注：
此方程的特点是未知函数的导数仍是一次的，但未知函数出现n次方，nHl时为
非线性的.
我们也可通过适当的变量替换，化为线性的微分方程。
求解方法为:
将方程①的两端同乘以y』，得+p（x）y1^=Q（x），
dx
设变量替换z-y1』，贝U陛=（1-nW』^^，即厂鱼=丄史；代入原方程，得
dxdxdx1—ndx
AH-y
荷-+P（x）Z=Q（x），即-+（1_n尸（x）Z=（1_n）Q（x），
这是一个非齐次线性微分方程.
按非齐次线性微分方程的求解方法求出通解；再以
Z=yJ换回原变量，即为所求.
求微分方程一+—=a（lnx）y2的通解.
dxx
这是一个伯努力方程.
yd乘方程的两端，得
y^dy+丄y4=a（lnx），dxx
于是，令z=y」，则空一y
dx
弋，即y弋记，
代入原方程，得-空+」z=a|nx，
dxx
dz1
或空-丄z=—a|nX，这是一个一阶非齐次线性微分方程.按照非齐次线性微分方程dxx
的常数变易法可求其通解。
2.3二阶线性微分方程
形如
（1）
y+py+qy=f
其中P、q、f都是已知的连续函数,为二阶线性微分方程的一般形式。
（2）
y+py+qy=o
称为与之对应的齐次方程。
对于上两方程有下面两定理:
定理1若y是
（2）的一个非零解，则由变量代换y=yu可求得
（1）通解
^oy^C2y^y3其中
C1，C2是任意常数且
y2=yiJ（y：
）e"dx
y2=y1J（y：
e"jy1e〃］x
y1u+yU，
证明设y=y1u是⑴的解，其中是U待定函数，则有y=
y=y1u+2yi+y1u将y、y、y代入⑴整y后并注意yr解得:
r'、
+2y丨’f
J*屮
L"dxj
c2中Jeh
:
P+2yy1}dx］
-e
1y1丿［
y1
■
Jpdxdx+J（y：
e—JPdx・【y1feJPdxd^>^C2
y2>y3分别为（3），（4）可直接验证（3）
（5）是关于U的一阶线性微分方程，从而可得:
_2
uPJyie
所以
（1）的解为y=y』=0yr+c2y2+y3其中
是的
（2）特解又仏不是常数，所以y=ciy1+c2y2+y3是的通解。
定理2二阶线性微分方程
A（x）宁+B（x）2+ay十淇中A"。
，a是常数，可经自变量代换化为常系数
线性微分方程的充要条件是：
B（x）-1，c为常数，在满足条件下由变换
2
为k2#+Ckdy+ayf®k可取任意非零实数
1
证明①在满足条件下将变换）代人（6）可验证结论正确。
②若可把（6）化为：
2
护a1dt+a2y=W
把tN（x代入⑺得：
业二型•虫=%•丄
dtdxdtdxcp（X）
dtdxL护（X）」
42g
2『（X）」dx
（8）
dx
从而由于⑺和（8）是通解方程，所以把护（X）=k丄代入后一个等式可得
TA?
）
1B（x）——A'（x）=a*=c2
2.31二阶常系数线性微分方程
形如
（9）
y中Py中qy=e"（其中P，q为常数）
的微分方程称为二阶常系数微分方程。
像这样的方程总可以经过变量代换y=Z-将原方程（9）转化成关于Z的线性齐
次方程，其中A是可以确定的待定常数，事实上，由于方程（9）有形如A孑形式的特解,
所以令y=Z-Ae"则有y=Z_A。
e，y=z—Aa£
将这三个式子代入方程（9）得
".2ox"a.oxox
（10）
（11）
z-Aae+Pz_pAaeqz-qAe=e
整理得
Z+Pz+qz-e"xAa2+pa+q）+1=0
要使方程称为齐次方程，当且仅当
e°x〔A（a2+pa+qH1]=0
从而
（12）
容易看出，当a不是对应其次线性方程的特征方程>/+pk+q=0的根，用（12）式
所确定的A代替变量代换中的A后，方程可化⑴为一个齐次方程。
当a为特征方程的一个单根或重跟式，同理可得:
1
①a为单根时，A=-
2a+p
②a为重跟时，
2
=e可经过变量代换
综上可得一下定理和推论:
定理3若a不是特征方程的根，则方程y+py+qy
y=z+
a+pa+q
1e转化成7的齐次方程。
推论1若a是特征方程的单根时，则方程
y+py+qy=eE可经过变量代换
y=z+
a+pa+q
xe许其中+P=（□2+pa
+C）2］转化成Z的齐次方程。
Ma
推论2若a是特征方程的重根时，则方程
y+py+qy^e*可经过变量代换
对方程
于是可令
整理得
y"+兄才J其中2=02+pa+qL］转化成Z的齐次方程。
（13）
y+Py+qy=eX+bx+c）
当a不是特征方程的根时，方程（13）有形如++F形式的特解,
y=z-e''Xbx2+Ex+F）做法同前面一样，代入中并
ID&2+pa+qHaL2+Ea2+pa+q2D（2a+p）+B（+
Z+P7+qZ-42入
[fG+pa+qH（2a+p）+2D+c
于是令:
得:
dG2+Pa+q）+A=0
G2+pa+q）+2D（2a+p）+B=0
Ft2+Pa+q）+e（2a+p2D+C=0
A
D=-2
ot+pa+q
2
2A（2a+P）-BG+pa+q
E：
=
（a2+pa+q）
F=
22
2At+Pa+q）-C（a2+pa+q）2A（2+p）-bG?
+Pa+q宓+p）
一2
23
（a+pCt+q）
定理4
如a不是特征根，贝昉程y+Py+qy=e"（Ax2+Bx+C）,总可经过变量代换:
y=z—
ex
e
A2丄2A3+p）-bG2+pa+q丿丄
-2x+；2+
a+pG+qQ2+po+q）
22
+2A（2a+p）-bG+pa+ql2a+p）Q2+pa+q）
22
+q）2AG+pa+q）—C（a2+pa+q）
3
转化为关于Z的齐次方程。
（14）
方程y中Py+qy=eE（AcosPx+BsinPx）
当a不是特征根时，方程（14）有形如^（CcosPx+Dsin卩X）式的特解，于是可令:
y=z~e（CcosPx+Dsin^x）用与前面一样的做法，代入原方程并整理可得结果。
定理5若a±iP不是对应的其次线性微分方程的特征方程的根时，则方程
y+py+qy=^（AcosPx+bsinPx）总可以经过变量代换
oxfAm+Bn门An-Bm.门〕
y=z-eI—22cosPx+22sinPx|
Im+n-m-n丿
22
转化成关于Z的线性齐次方程，其中m=a+pa+q+P,2Pa+pP
2.32二阶变系数线性微分方程
形如y+p（x）y+q（x）y=Q（15）的方程，称为二阶变系数微分方程，其中p（x），q（x）都是连续函数。
当p（x）,q（x）满足一定条件是，通过适当的变量代换，方程可化为变系数微分方程，进而求出其通解。
，只需引入变量
引理假如y+p（x）y+q（x）y=f（X）方程中q（x）=—|p^x）+2p（x»
121
y=e2"mj'xdx）》（x）则方程可化为V（X）+mv（X）=fkleNKmjWNx
定理6当q（x）-pd）2-1仪）=弓时，方程可通过变量代换"吩）材4盼
42x
化成欧拉方程且通解为
1
①c<-时,
4
r1_c%1_4c1_ptF1-4cr
1
②c一时,
4
弋+C2'n®白。
（沖
=ox—中ax
1-C
OcoS吟
°I2
Inx+
C2Sin
lnxI
I2丿」
1
证明设y=u（x）2胎Nx，这里a（X为待定的连续可微函数,
此时有
y=u（X才炉"p（x沪+1u（XW（X）-p（X沧卅"p（x沪
厂口皿⑹“恤酋統旳+孙:
卜仗）-p（x）ym沪
将y,y,y代入方程（15）得,
^「1
U（x）+o（xU（x）+F（x）—4
21'1'12t
P（X）—2p（x）、a（x^a（x）ju（x）=0
（16）
1'c
q（x）——p（Xp（X）=—2
42X
•••（16）式化为u（X）+a（xU（X）+
Lx
（X）+丄a2（x）u（x）=0
4J
（17）
若设a（x）=c，则（17）为欧拉方程，将其代入（17）得
x
cc'2c
u（x）+xu（X）+—u（x）=0
4X
（18）
2
+2c
2"'Q—_
xu（x）+cxu（X）+—u（x）=0
（19）
令t=InX，则X=e，（18）式化为
2+2c
U（X）+（c—1u（t）+c/'（t）=0
（20）
（20）式便成为常系数线性微分方程，未知函数为u（t），自变量换成t,求解（20），再由t=lnx
代回U（t），得到u（x）,从而得到方程（15）的通解，具体解法如下:
方程对应的特征方程为
A2+（c-1A+C
2+2c
2+2c
2
：
=0，判别式i：
=（Q-1）-4—=1一4c
可分为三种情况讨论:
1
①当也>0即c<4时,
特征方程有两个相异的实根方程
1-c+-4c
几2
1—c-*1一4c
方程（20）的通解为
u（t）=cie
+c2e2
1_c—1-4c
1
②当△=0即C=丄时,
4
3
特征方程有两个二重根5二
将t=1nx代入上式得
i_c七口c2
Ux）=CiX
所以方程（15）的通解为
F1_c七—zc
c—x2+
X
2'
若c=0即4q（X）—P（X）-2p（X）=0时，方程的通解为
y=（cix+c2）玄呼严
方程（20）的通解为
u（tEci+cztgt
将t=lnX代入上式
3
u（x）=（ci+C2nx）x8
•••方程的通解为
y=（ci+C21
特征方程有一对共轭复根
1—c+J4cTi
1-c-J4cTi
2
方程（20）的通解为
r
Q4CT
J4c—i
[C—cos
t
12丿
^asin
t
12丿
1-c
将t=lnx代入上式，有
U（X）=g2t
c—
■4c-1J
cos1
sin
J4cTt
.2」
方程通解为
InX+c2sin-
丿C2I
-1
C1cos
.\/4c-1
2Inxj]
dp=0的通解。
3应用举例
例1（二阶线性微分方程）求微分方程12dy■「+厶
4XdX（X4x丿
解A（x）=」
4X
B（x）nx3卜叫AJ
'丿Vx4X；
TAT）
•••可由变换t=J
益二X化为:
2
器呼3=0
3t_L
ype+c2e
22
所以y=C1ex^C2ex
例2（二阶常系数微分方程）求解方程y-8y+7y=3x
解：
特征方程^2-8入+7=0,解得几「=7,几2=1，由于a=0不是特征根，根据
定理2，原方程可经过变量代换
L—〔弓/一存+詈］』，将原方程化为
z-8z+7z=0进行求解。
1
解这里P（X）=2x-―,q（x）=x
例3（二阶变系数微分方程）求解
X2。
且q（x）—1p（X）—1p（x）=—寸丄，
X
此处符合情况①。
31212
将，p（xA2x-1代入通解公式化简得方程的通解为y=（OX2+C2e^x
4X
4结束语
以上讨论了变量代换方法在常见的几种微分方程中的应用，其解题的关键时找到合适的函数做变换，在寻找的过程中我们的目标始终是化一阶微分方程为变量分离方程、
二阶变系数（常系数）微分方程为我们所熟知的齐次线性微分方程来求解。
易知以上
的变量代换最终的目的都是使得方程的阶数降低或化繁为简，同时所作的变量代换的形
式与微分方程有密切的关联。
在寻找变量代换的合适函数时，我们可以知道，不管那种
变量代换，它们都是有法可依的，关键要我们仔细观察。
参考文献
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