届人教B版文科数学第8章 立体几何 40 单元测试.docx

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届人教B版文科数学第8章立体几何40单元测试

40　直线、平面垂直的判定与性质

基础巩固

1.若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=直线l,则（　　）

A.垂直于平面β的平面一定平行于平面α

B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面α

C.垂直于平面β的平面一定平行于直线l

D.垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直

2.设α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是（　　）

A.若a∥α,b∥α,则a∥b

B.若a⊥α,a∥b,则b⊥α

C.若a⊥α,a⊥b,则b∥α

D.若a∥α,a⊥b,则b⊥α

3.

如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列正确的是（　　）

A.平面ABC⊥平面ABD

B.平面ABD⊥平面BDC

C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE

D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE

4.已知l,m,n是三条不同的直线,α,β是不同的平面,则α⊥β的一个充分条件是（　　）

A.l⊂α,m⊂β,且l⊥m

B.l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥n

C.m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥m

D.l⊂α,l∥m,且m⊥β

5.已知在空间四边形ABCD中,AD⊥BC,AD⊥BD,且△BCD是锐角三角形,则必有（　　）

A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABC

C.平面ADC⊥平面BDCD.平面ABC⊥平面BDC

6.

如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于△ABC所在的平面,那么（　　）

A.PA=PB>PC

B.PA=PB

C.PA=PB=PC

D.PA≠PB≠PC

7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一个动点,当点M满足　　　　　　　　　　　时,平面MBD⊥平面PCD（只要填写一个你认为正确的条件即可）. 

8.

如图,∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有　　　　　　　;与AP垂直的直线有　　　　　. 

9.设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:

　　　　　　　　　（用序号表示）. 

10.

如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点.

（1）求证:

B1D1∥平面A1BD;

（2）求证:

MD⊥AC;

（3）试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.

11.

（2017河北邯郸二模）如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC=

点E在AD上,且AE=2ED.

（1）已知点F在BC上,且CF=2FB,求证:

平面PEF⊥平面PAC;

（2）若△PBC的面积是梯形ABCD面积的

求点E到平面PBC的距离.

12.（2017山西孝义考前模拟）如图

（1）,五边形ABCDE中,ED=EA,AB∥CD,CD=2AB,∠EDC=150°.如图

（2）,将△EAD沿AD折到△PAD的位置,得到四棱锥P-ABCD,点M为线段PC的中点,且BM⊥平面PCD.

图

（1）

图

（2）

（1）求证:

平面PAD⊥平面ABCD;

（2）若四棱锥P-ABCD的体积为2

求四面体BCDM的体积.

能力提升

13.已知两条不重合的直线m,n和两个不重合的平面α,β,有下列命题:

①若m⊥n,m⊥α,则n∥α;

②若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β;

③若m,n是两条异面直线,m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β;

④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α.

其中正确命题的个数是（　　）

A.1B.2C.3D.4

14.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在（　　）

A.直线AB上

B.直线BC上

C.直线AC上

D.△ABC内部

15.

如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是（　　）

A.平面ABD⊥平面ABC

B.平面ADC⊥平面BDC

C.平面ABC⊥平面BDC

D.平面ADC⊥平面ABC

16.若有直线m,n和平面α,β,下列四个命题中,正确的是（　　）

A.若m∥α,n∥α,则m∥n

B.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β

C.若α⊥β,m⊂α,则m⊥β

D.若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α

17.如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1.

（1）若D为线段AC的中点,求证:

AC⊥平面PDO;

（2）求三棱锥P-ABC体积的最大值;

（3）若BC=

点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.

高考预测

18.在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=

DC=1,BP=BC=

PC=2,AB⊥平面PBC,F为PC中点.

（1）求证:

BF∥平面PAD;

（2）求证:

平面ADP⊥平面PDC;

（3）求VP-ABCD.

参考答案

40　直线、平面垂直的判定与性质

1.D　解析对于A,垂直于平面β的平面与平面α平行或相交,故A错;对于B,垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内,故B错;对于C,垂直于平面β的平面与直线l平行或相交,故C错;易知D正确.

2.B　解析如图

（1）β∥α,知A错;如图

（2）知C错;如图（3）,a∥a',a'⊂α,b⊥a',知D错;由线面垂直的性质定理知B正确.

3.C　解析因为AB=CB,且E是AC的中点,

所以BE⊥AC.

同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.

因为AC在平面ABC内,

所以平面ABC⊥平面BDE.

又AC⊂平面ACD,

所以平面ACD⊥平面BDE,故选C.

4.D　解析对于A,l⊂α,m⊂β,且l⊥m,如图

（1）,α,β不垂直;

对于B,l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥n,如图

（2）,α,β不垂直;

图

（1）

图

（2）

对于C,m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥m,直线l没有确定,则α,β的关系也不能确定;

对于D,l⊂α,l∥m,且m⊥β,则必有l⊥β,根据面面垂直的判定定理知,α⊥β.

5.C　解析∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,

∴AD⊥平面BDC.

又AD⊂平面ADC,

∴平面ADC⊥平面BDC.故选C.

6.C　解析∵M为AB的中点,△ACB为直角三角形,

∴BM=AM=CM.

又PM⊥平面ABC,

∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,故PA=PB=PC.

7.DM⊥PC（或BM⊥PC）　解析∵PC在底面ABCD上的射影为AC,且AC⊥BD,

∴BD⊥PC.

∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,

∴平面MBD⊥平面PCD.

8.AB,BC,AC　AB　解析∵PC⊥平面ABC,

∴PC垂直于直线AB,BC,AC.

∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,

∴AB⊥平面PAC,

∴AB⊥AP,与AP垂直的直线是AB.

9.①③④⇒②（或②③④⇒①）　解析逐一判断.若①②③成立,则m与α的位置关系不确定,故①②③⇒④错误;同理①②④⇒③也错误;①③④⇒②与②③④⇒①均正确.

10.

（1）证明由直四棱柱,得BB1∥DD1,

又∵BB1=DD1,

∴四边形BB1D1D是平行四边形,

∴B1D1∥BD.

而BD⊂平面A1BD,B1D1⊄平面A1BD,

∴B1D1∥平面A1BD.

（2）证明∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,

∴BB1⊥AC.

∵BD⊥AC,且BD∩BB1=B,

∴AC⊥平面BB1D.

而MD⊂平面BB1D,

∴MD⊥AC.

（3）解当点M为棱BB1的中点时,平面DMC1⊥平面CC1D1D.

证明如下:

取DC的中点N,D1C1的中点N1,连接NN1交DC1于O,连接OM,如图所示.

∵N是DC的中点,且BD=BC,

∴BN⊥DC.

又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线,而平面ABCD⊥平面DCC1D1,

∴BN⊥平面DCC1D1.

又可证得O是NN1的中点,

∴BM∥ON且BM=ON,即四边形BMON是平行四边形,

∴BN∥OM.

∴OM⊥平面CC1D1D.

∵OM⊂平面DMC1,

∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.

11.

（1）证明∵AB⊥AC,AB=AC,∴∠ACB=45°.

∵底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,

∴∠ACD=45°,∴AD=CD,∴BC=

AC=2AD.

∵AE=2ED,CF=2FB,∴AE=BF=

AD,

∴四边形ABFE是平行四边形,∴AB∥EF.

又AB⊥AC,∴AC⊥EF.

∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥EF.

∵PA∩AC=A,∴EF⊥平面PAC.

∵EF⊂平面PEF,∴平面PEF⊥平面PAC.

（2）解∵PA⊥底面ABCD,且AB=AC,

∴PB=PC,

取BC的中点G,连接AG,则AG⊥BC,AG=CD=1.

设PA=x,连接PG,则PG=

∵△PBC的面积是梯形ABCD面积的

倍,

∴

×2×PG=

×（1+2）×1,即PG=2,求得x=

∵AD∥BC,AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴AD∥平面PBC,∴点E到平面PBC的距离即是点A到平面PBC的距离,

∵VA-PBC=VP-ABC,S△PBC=2S△ABC,

∴点E到平面PBC的距离为

PA=

.

12.

（1）证明取PD的中点N,连接AN,MN,则MN∥CD,且MN=

CD,又AB∥CD,AB=

CD,∴MN∥AB,MN=AB,

∴四边形ABMN是平行四边形,∴AN∥BM,

又BM⊥平面PCD,∴AN⊥平面PCD,∴AN⊥PD,AN⊥CD,由ED=EA,即PD=PA,及N为PD的中点,

得△PAD为等边三角形,∴∠PDA=60°,

又∠EDC=150°,∴∠CDA=90°,

∴CD⊥AD,又AN∩AD=A,∴CD⊥平面PAD,

又CD⊂平面ABCD,∴平面PAD⊥平面ABCD.

（2）解设四棱锥P-ABCD的高为h,四边形ABCD的面积为S,

则VP-ABCD=

Sh=2

又S△BCD=

S,四面体BCDM的底面BCD上的高为

∴四面体BCDM的体积VBCDM=

×S△BCD×

Sh=

.

13.C　解析①若m⊥n,m⊥α,则n可能在平面α内,故①错误;

②∵m⊥α,m∥n,∴n⊥α.又∵n⊥β,

∴α∥β,故②正确;

③过直线m作平面γ交平面β于直线c,

∵m,n是两条异面直线,∴设n∩c=O.

∵m∥β,m⊂γ,γ∩β=c,∴m∥c.

∵m⊂α,c⊄α,∴c∥α.

∵n⊂β,c⊂β,n∩c=O,c∥α,n∥α,

∴α∥β.故③正确;

④∵α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,∴n⊥α.故④正确.

故正确命题有三个,故选C.

14.A　解析由BC1⊥AC,又BA⊥AC,则AC⊥平面ABC1,

因此平面ABC⊥平面ABC1,

因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上.

15.D　解析由题意知,在四边形ABCD中,CD⊥BD,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,两平面的交线为BD,所以CD⊥平面ABD,因此有AB⊥CD,又因为AB⊥AD,且CD∩AD=D,所以AB⊥平面ADC,于是得到平面ADC⊥平面ABC,故选D.

16.D　解析如图

（1）,β∥α,m⊂β,n⊂β,有m∥α,n∥α,但m与n可以相交,故A错;

如图

（2）,m∥n∥l,α∩β=l,有m∥β,n∥β,故B错;

如图（3）,α⊥β,α∩β=l,m⊂α,m∥l,故C错.故选D.

点评:

D选项证明如下:

如图（4）,α⊥β设交线为l,在α内作n⊥l,则n⊥β,

∵m⊥β,∴m∥n,

∵n⊂α,m⊄α,∴m∥α.

17.

（1）证明在△AOC中,因为OA=OC,D为AC的中点,所以AC⊥DO.又PO垂直于圆O所在的平面,所以PO⊥AC.

因为DO∩PO=O,所以AC⊥平面PDO.

（2）解因为点C在圆O上,

所以当CO⊥AB时,C到AB的距离最大,且最大值为1.

又AB=2,所以△ABC面积的最大值为

×2×1=1.

又因为三棱锥P-ABC的高PO=1,

故三棱锥P-ABC体积的最大值为

×1×1=

.

（3）解（方法一）在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°.

所以PB=

.

同理PC=

所以PB=PC=BC.

在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面,如图所示.

当O,E,C'共线时,CE+OE取得最小值.

又因为OP=OB,C'P=C'B,

所以OC'垂直平分PB,即E为PB中点.

从而OC'=OE+EC'=

亦即CE+OE的最小值为

.

（方法二）在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°,

所以∠OPB=45°,PB=

.

同理PC=

.

所以PB=PC=BC,所以∠CPB=60°.

在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面,如图所示.

当O,E,C'共线时,CE+OE取得最小值.

所以在△OC'P中,由余弦定理得,

OC'2=1+2-2×1×

×cos（45°+60°）

=1+2-2

=2+

.

从而OC'=

.

所以CE+OE的最小值为

.

18.

（1）证明取PD的中点E,连接EF,AE.

因为F为PC中点,所以EF为△PDC的中位线,即EF∥DC且EF=

DC.

又AB∥CD,AB=

CD,

所以AB∥EF且AB=EF.

所以四边形ABFE为平行四边形,

所以BF∥AE.

又AE⊂平面PAD,BF⊄平面PAD,

所以BF∥平面PAD.

（2）证明因为BP=BC,F为PC的中点,

所以BF⊥PC.

又AB⊥平面PBC,AB∥CD,

所以CD⊥平面PBC.

又BF⊂平面PBC,所以DC⊥BF.

又DC∩PC=C,所以BF⊥平面PDC.

由

（1）知,AE∥BF,所以AE⊥平面PDC.

又AE⊂平面ADP,

所以平面ADP⊥平面PDC.

（3）解因为AB⊥平面PBC,AB⊂平面ABCD,

所以平面ABCD⊥平面PBC且交线为BC.

又BP=BC=

PC=2,所以PB⊥BC.

所以PB⊥平面ABCD,即PB是四棱锥的高.

所以VP-ABCD=

SABCD·PB=

×（1+2）×

=1.