高考数学全国卷1理科.docx
《高考数学全国卷1理科.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学全国卷1理科.docx（17页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
高考数学全国卷1理科
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
理科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共6页.考试时间120分钟.满分150分.
答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第I卷答题
卡和第n卷答题纸规定的位置.参考公式：
样本数据x1,x2,xn的标准差
球的面积公式s4R2
第I卷（选择题共60分）
、选择题：
本大题共
12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
12i
1.复数（i是虚数单位）的虚部是
1i
C.3D.1
2.已知R是实数集，M
x-1,Nyy&—11,则NCrM
x
3.现有10个数，其平均数是4,且这10个数的平方和是200,那么这个数组的标准差是
A.1B.2C.3D.4
4.设Sn为等比数列｛an｝的前n项和，8a2a50则S4
，S2
A.5B.8C.8D.15
5.已知函数f（x）sin（2x7,若存在a（0,），使彳ff（xa）f（xa）恒成立，则a的值是
c.一
4
.3
8.已知三角形ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为——，则这个二
2
角形的周长是
第n卷（非选择题共90分）
注意事项:
1.请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第n卷答题纸的指定位置.书写的答
案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案.
2.不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效.在试题卷上答题无效.
震的能量是2008年地震能量的倍.
16.给出下列命题：
①已知a,b带m正数，且a-^a,则ab;
b1b
②已知f（x）是f（x）的导函数，若xR,f（x）0,则f
（1）f
（2）一定成立；
③命题“xR,使得x22x10”的否定是真命题；
④“x1,且y1”是“xy2”的充要条件.
其中正确命题的序号是.（把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题：
本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知向量a（1,cos"x）与b（<3sin—cos',y）共线，且有函数yf（x）.222
4-22
（l）若f（x）1,求cos（——2x）的值；
3
（n）在ABC中，角A,B,C,的对边分别是a,b,c,且满足2acosCc2b,求函数
f（B）的取值范围
18.（本小题满分12分）
已知等差数列an的前n项和为Sn,公差d0,且S3S550,ai,a4,ai3成等比数歹U.
（I）求数列an的通项公式；
b„
（n）设上是首项为1,公比为3的等比数列，求数列bn的前n项和Tn.an
19
.（本小题满分12分）
已知四棱锥ABCDE,其中
ABBCACBE1,CD2,CD面ABC,BE//CD,F为AD的中点.
（I）求证：
EF//面ABC;
（n）求证：
面ADE面ACD；
（III）求四棱锥ABCDE的体积.
20.（本小题满分12分）
在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间对应的一组数据:
时间x
（秒）
5
10
15
20
30
40
深度y
（微米）
6
10
10
13
16
17
现确定的研究方案是：
先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.
（I）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；
（n）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y关于x的线性回归方
4139
程？
—x139,规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误
1326
差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠.
21.（本小题满分12分）
axb
已知函数f（x）二一在点（1,f
（1））的切线方程为xy30.
x1
（I）求函数f（x）的解析式；
（n）设g（x）lnx,求证：
g（x）f（x）在x[1,）上恒成立.
22.（本小题满分14分）
实轴长为4^3的椭圆的中心在原点，其焦点\,,F2在x轴上.抛物线的顶点在原点O,对
称轴为y轴，两曲线在第一象限内相交于点A,且AF1AF2,△AF1F2的面积为3.
（I）求椭圆和抛物线的标准方程;
（n）过点A作直线l分别与抛物线和椭圆交于B,C,若AC2AB，求直线l的斜率k.
*x
参考答案及评分标准
・选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
二.填空题（本大题共4小题,
每小题4分，共
16分.）
13.2
19
14.—3
3
15.102
16.①③
三.解答题
17.（本小题满分
12分）
解：
（I）•••a与b共线
3sinx
2
xcos
2
xcos-
2
y
y.3sin
一cos-
2cos
.31
——sinx（1
22
cosx）sin（x—）-
62
•'f（x）
sin（x
1,
即sin（x—）
cos（2
3
2x）
cos2（—
x）
2.、
2cos（一x）
21
2sin（x—）1
62
（n）已知2acosCc
2b
由正弦定理得:
2sinAcosC
sinC
2sinB2sin（A
C）
2sinAcosC
sinC
2sinAcosC2cosAsinC
•••cosA-
2
ABC中
f（B）
sin（B
6）
1
2
B-
3
sin（B6）
1,1f（B）
B-
6
3
2
5
6
10分
，函数
3.
f（B）的取值范围为（1,3]
2
12分
12d）
50
18.（本小题满分12分）
解：
（I）依题意得
32
3ald5al
2
2
（a13d）a1（a1
解得
a13
d2
anai（n1）d32（n1）2n1,即an2n1.
7分
（n）bn-3n1,bnan3n1（2n1）3n1
an
Tn353732（2n1）3n1
12分
n1、
3（13）
32（2n1）3
13
2n3n
Tnn3n
19.（本小题满分12分）
解：
（I）取AC中点G连ZFGBG,
2•.F,G分别是AD,AC的中点
1_1
FG//CD且FG=-DC=1.
3••BE//CDFG与BE平行且相等
EF//BG.2分
EF®ABC,BG面ABC
EF//面ABC4分
（n）•••△ABC为等边三角形BG±AC
又•••DC面ABC,BG面ABCDC±BG
・•・BG垂直于面ADC的两条相交直线AC,DG
BG±面ADC.•••EF//BG
EF±面ADC•••EF面ADE,•••面ADEX面ADC.
（出）连结EC该四棱锥分为两个三棱锥
E-ABC和E-ADC.
VaBCDEVeABCVeACD
2.3^3_3
1264
12分
另法：
取BC的中点为O,连结AO,则AO
BC,又CD平面ABC,
CDAO,BCCDC
AO平面BCDE,•••AO为Vabcde的高，
AO,Sbcde
2
（12）13
22
Vabcde
20.（本小题满分12分）
组数据中选取2组数据共有15种情况：
（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）
种.
12分
所以，该研究所得到的回归方程是可靠的.
21.（本小题满分12分）
解：
（I）将x1代入切线方程得y2
-ba
•••f
（1）——2,化简得ba4.2分
11
2-
f（x）
a（x1）（axb）2x
22
（1x）
f
（1）
2a2（ba）
2bb
T2
解得：
a
2,b2
•'f（x）
2x2x21
（n）由已知得lnx
2x
x21
在［1,
）上恒成立
化简得（x21）lnx
2x
即x2lnxlnx2x
0在［1,
设h（x）x2lnxlnx
2x
2,
,、C,1
h（x）2xlnxx-x
10分
x12xlnx0,x
12分
g（x）f（x）在x［1,
22.（本小题满分14分）
mn
，椭圆的方程为
2
x
12
yAc3,，yA1,代入椭圆的方程得
将点A坐标代入得抛物线方程为x2
（2）设直线l的方程为y1k（x2V2）,B（x1,y/C（x2,y2）
由记2AB得x22月2（x12典）,
化简得2x1x22,2
联立直线与抛物线的方程y1k（x2>/2）,
2
x8y
得x28kx16..2k80
10分
x12^28k①
联立直线与椭圆的方程y1k（x2，2）
x24y212
得（14k2）x2（8k16,2k2）x32k216,2k80
一一2一
12分
cc162k8k…
-x22V27—②
14k2
•・•2x1x22（8k2,2）162k228k2.22.2
14k2
2k、_
整理得：
（16k4..2）（12）0
14k
•,2广……»..2
14分
k—,所以直线l的斜率为——.
44
升级会员 